杆类构件的应力分析与强度计算

1、67 / 19第七章杆类构件的应力分析与强度计算习题7.1图示阶梯形圆截面杆AC,承受轴向载荷 R =200 kN与F2 =100 kN , AB段的直径di =40mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求 BC段的直径。I1AE3CF解:ABBC即，解出:mm 二 49mm题7.1图如图所示：物体仅受轴力的作用，在有两个作用力的情况下经分析受力情况有:AB段受力：Fnab 二 Fi BC 段受力：Fnbc 二 h F? 段正应力：6b =弘=仃彎 些Aabx d10.04 兀段正应力：Cb-FnbC =4 阻=4 Fi 2F2BCAbc"d22y2而BC与AB段的正应力相同27.

2、2图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500 mm，载荷F = 50 kN。试求图示斜截面农=30° m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。解：拉杆横截面上的正应力 -0 =匕1 = F 50000卩玄二i00MPa0 A A 500"0应用斜截面上的正应力和剪应力公式：CT o匚30_ 厂0 cos :30=sin 2:有图示斜截面m-m上的正应力与切应力为：匚 30 = 75MPa30 = 43.3MPa当=0时，正应力达到最大，其值为；max“OOMPa即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为lOOMPa。当=45时，切应力最大，其值为 -

3、max - =50MPa2即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45 的斜截面上，其值为 50MPa。铜杆，横截面面积 A =300 mm2，许用应力I, =100 Mpa。7.3图示结构中AC为钢杆，横截面面积 A( =200 mm2，许用应力卜1 =160 Mpa；BC为 试求许可用载荷F 1。题7.3图解：(1)分析受力，受力图如图 7.7b所示。Fx =0 - Fnac sin45FNBC sin30 =0' Fy =0FNac cos45FNbc cos30 - F = 0解得：FNBC - °.732FFNac =0.5175F(2)计算各杆的许可载荷。对BC杆,根据

4、强度条件0.732 F I；- J2 =100MPaA2解得:匕 1 A，(100 106 Pa) 300 10m20.732根据强度条件-=门2 -40.98 kN对AC杆,0.7320.5175 F 注 1 N60MPa解得:匕1 A0.5175160 106 Pa 200 10- m61.84 kN 0.5175所以取 Fmax =40.98KN，即 IP) - 40.98KN7.4图示简易起重设备中，BC为一刚性杆，AC为钢质圆截面杆，已知AC杆的直径为d =40 mm，许用拉应力为lc .1-170 MPa，外力F = 60 kN，试校核AC杆的强度。题7.4图解：C铰链的受力图如图

5、所示，平衡条件为二 F x -0, Fnb_F nQOS 二 0' Fy = 0, Fna sin F = 05F4F解上面两式有Fna=100KN，Fnb=80KN334 汇 FmaAC杆所受的拉应力为 二ac先二79.58MPa兀 X0.04所以有匚ac V匕1二170MPaAC所受载荷在许可范围内。7.5图示结构，AB为刚性杆，1,2两杆为钢杆，横截面面积分别为 A =300 mm2人=200 mm2，材料的许用应力 & = 160 MPa。试求结构许可载荷 t】。Fn10.5m1.5mFn2a2T E题7.5图解：AB杆受力图如图所示，其平衡条件为:Ma=o,0.5F

6、Fn2= 0 Fn2=0.2I5二.Fy=0,Fn 1 ' Fn - FFN1 = 0.75F71 / 19由；电可得A-iF N1A10. 715300 itlc .1 -160MPa解得 F <64 KN于=2山丄160沁解得 F - 128KN取两者中较小的值：有 IF I - 64KN7.6图示结构中AB为刚性杆。杆1和杆2由同一材料制成，已知F = 40 kN , E = 200 GPa， lc .1 -160 MPa，求两杆所需要的面积。2m1.5m0.4m1.6mAB题7.6图解：AB杆受力图如图所示,、Ma =o, 0. 4F - Fnb = 0 Fnb =0.

7、F = KNFy =0,Fn A F N B=FN1 =0.8F =32KN由二=Fn可得AF NA32000-iAilc I -160MPao解得 A _ 200mmF nb 2 二A28000A2lc .1 - 160MPao解得 A _ 50mm7.7在图示结构中，所有各杆都是钢制的， F =100 kN。试求各杆的应力。32横截面面积均等于3 10 m外力' Fy =0,解：B铰链的受力图如图（a）F ncFna(a)(b)FNA-FNin二 03F=75KN （拉力），4C铰链的受力图如图（b）所示，平衡条件为解上面两式有FNAF nc5F=125KN (压力)Fx=0,Fn

8、ac_F nGOS 二 0、Fy =0, FzcSi n -F N亍 03F解上面两式有Fnac =F=100KN （拉力）， Fnd =75KN （压力）4解出各杆的轴力后，就可求各杆的应力F NA75000r-A313 10Fnc125000 ,_ A3 10"F nac100000_ A一 3 10F nd75000-A-3 10”Pa =41.67MPaPa =25MPa二 AC:二 BCCDAB= 25MPaPa =33.33MPa7.8图示横截面为75 mmX75 mm的正方形木柱，承受轴向压缩，欲使木柱任意横截面上的 正应力不超过2.4 MPa，切应力不超过 0.77

9、MPa，试求其最大载荷 F= ?题7.8图解：木柱横截面上正应力达到最大，其值为 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上。2 6A 751075"小 24MPa(1)拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上切应力最大,其值为max- F _f_2Z6"2 2A 2 7510< I. l = 0.77MPa(2)由（1）式得 F < 13.5KN由（2）式得 F < 8.66 KN所以其最大载荷 F = 8.66KN7.9 阶梯轴其计算简图如图所示，已知许用切应力I )-60 MPa ,22 mm ,D2 =18 mm，求许可的最大外力偶矩解：用截面法求

10、得AB ,M e °AB段扭矩 T| = 2M eBC段扭矩T2 = M由此可见AB段的扭矩比BC段的扭矩大，但两段的直径不同，因此需分别求出两段的切应力AB段1,max兀162M= 9.57Me 105H=60MPa（0.022m）387 / 19解得有 Me=6 2. 7lmBC段解得有2,max兀316（°.018m）35= 8.73Me 10 < H60MPaMe = 73.77NLm两值去较小值，即许可的最大外力偶矩M e二62.70 NLm7.10 图示空心圆轴夕卜径D =100 mm ，内径d =8 0 m,已知扭矩 T =6 k N,G =80 Gpa

11、，试求:（1）横截面上A点（：'=45 mm ）的切应力和切应变； 横截面上最大和最小的切应力 ;（3）画出横截面上切应力沿直径的分布图。解：（1）计算横截面上 A点（；=45 mm ）的切应力和切应变空心圆轴的极惯性矩为4 4二 0.140.08 4"五（1 "右心百门 0.1A点的切应力T ap6000 0.045446.58MPa40.08 41-（）4320.10.1A点切应变6= 0.58 10-A 46.58 109G 80 10(2 )横截面上最大和最小的切应力 横截面上最大的切应力在其最外缘处maxTD6000 0.052Ip= 51.76MPa 0

12、.08 41 -()4320.1二 0.14横截面上最小的切应力在其内径边缘Td6000 0.04min2IP= 41.41MPa 0.08 41-( )320.1二 0.14(3)横截面上切应力沿直径的分布图如图(a)所示7.11截面为空心和实心的两根受扭圆轴，材料、长度和受力情况均相同，空心轴外径为 内径为d，且d/D =0.8。试求当两轴具有相同强度(！.实max - ！.空max)时的重量比。解：令实心轴的半径为 d0实心轴和空心轴的扭转截面系数分别为33Wp1D4D43WP2(1一二)(1一0.8 )二0.0369 二 Dp 16 16当受力情况向同，实心轴和空心轴内的最大切应力相等

13、时，有:Wp1Wp2所以可得Wp1 =Wp2即=0. 0 3 6 9)316所以d。3DF百加91192设实心轴和空心轴的长度均为I，材料密度为p,贝U空心轴与实心轴的重量比儿22;(D -d)l兀 24d0igD2(1-0.82)d?(1.192d)2(1 -0.82)d?-0. 5 1 27.12 一电机的传动轴直径 d =40mm，轴传递的功率 P =30kW，转速n =1400 r/min 。 材料的许用切应力 L I -40 MPa，试校核此轴的强度。30解：传动轴的外力偶矩为Me =9550N|_m =204.64N_m1400一轴内最大切应力T二 204. 64 Pf = 16.

14、 28Pa 乞.=MPaWp.3 兀汉 0. 034p d16所以安全7.13 传动轴，主动轮 A输入功率为FA =36.8 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB =PC =11.0 kW， PD =14.8 kW，轴的转速为 n =300 r/min。轴的许用切应力I. I - 40 MPa，试按照强度条件设计轴的直径。BCA3题7.13图3D解：各轮的外力偶矩分别为M A =955036N|_1171.46N_h 30011Mb =Mc =9550 N m =350.17 N _k3 16 1171.46:40 106 -300300Tmax_ M max= 1171.460106P

15、aWp-Wpn Qd31614 8Md =9550NLm =471.13N_m有=0.0530m 二 53.0mm因此轴的最小直径为 53.0 mm7.14如图所示，一钻探机钻杆的外径D = 60 mm ，轴的内径d=50 mm,功率P =7. 36 k0转速n -180 r/min，钻杆钻入土层的深度 丨=40 m，材料的许用切应力1 1 - 40 MPa。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求此分布力偶的集度 m ,并作出钻杆的扭矩图，进行强度校核。题7.14图ml图二解：计算阻力矩集度首先计算外力偶矩P7360 |Me =95509550NLm=390.2NLmn180再对其利用

16、静力学平衡条件Mx 7 ml- M =0可得阻力矩集度m = 390.2 N Lm / m = 9.755 N|_m/ ml 40x的线性函数,作扭矩图：由图一，扭矩T二T x二mx，是沿钻杆轴线方向横截面位置坐标 所以，扭矩图如图二所示。对钻杆进行强度校核钻杆的最大工作切应力Tmax-MAX :ml9.76 汉 40Wp兀D3” / i兀丄3 -16D-a ) 一(60x10 ) 1 -16 16、 丿(60丿4 otPa =17.77MPaA因最大工作切应力.Max =17.77MPa ： L 丨-40MPa，所以安全7.15如图所示一简支梁，梁上作用有均布载荷 q=2 kN/m，梁的跨度

17、丨=4 m，横截面为 矩形，尺寸如图所示，试计算梁内弯矩最大截面上的最大正应力和弯矩最大截面上k点的正应力。801Ak3IBzT,y解：因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力FA = FB = 4KNM max = 4KN |_m8梁内弯矩最大截面上的最大正应力在梁正中横截面的最上端和最下端，即= M=4000Nm = 93.7MPabh6其弯矩图见图所示，梁内最大弯矩A点和B点处max- maxWZ4000 0.03bh312= 70.3MPa弯矩最大截面上k点的正应力匚k = M max yk k Iz7.16 矩形截面简支梁由圆木锯成。已知a = 1.5 m， t

18、 I - 10 MPa。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需木料的最小直径d解：因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力Fa 讥=5KNFa CDFbhr a 卜a TaAmax作受力图，梁内最大弯矩应用弯曲正应力的强度条件=Fa a =5 1.5KN|_m = 7.5KN|_m二 maxmaxwz可计算出梁应具有的弯曲截面系数wzMmax 7. 5 1306 imI- I 1 0 it)7 5 140m3若矩形截面梁是由圆柱形木料锯成的,则有几何关系h2b2= d2所以该矩形截面的弯曲截面系数bh2 b d2-b2若以b为自变量，则 WZ取

19、最大值的条件是处鑒Y 0db db2所以有2 2d3b_=0将代入上式得-bh2b由式得WZ =6联立两式求解，可得-7.5 10*m3b _ 0.131m = 131mm, h _ 1 8 5m m ,将b,h的数值代入式得 所以，粮所需木料的最小直径为d r ：；b2 h2 = .1312 1852mm = 227mm227mm7.17如图所示外伸梁上面作用一已知载荷20 kN ，梁的尺寸如图所示，梁的横截面采用工字钢，许用应力 1-60 MPa。试选择工字钢的型号。A <1m1.8m题7.17图C11.11KN解：解除支座约束，代之以约束反力 1m1.8m卓FbB(a)什FsG 2

20、0KN'+'作受力图，如图（a）所示，利用静力学平衡条件可解得支座反力Fb =31.11KNFc 二-11.11KN作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为Fsmax =20KNMmax =20KNLm有弯曲应力的强度条件；max二= 20000岂二=60MPaWzWz可得梁的弯曲截面系数WZ _ 200006 m3二333cm360 勺 06查表可得25a工字钢的 W = 401.88cm3，所以选用25a工字钢7.18如图所示一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知丨=4 m， b = 120 mm ，h =180 mm，弯曲时材料的许用应力

21、为1- '-10 MPa，求梁能承受的最大载荷 Fmax。*1/2l/2题7.18图解：因结构和载荷均对称，所以很容易的应用静力学平衡条件确定支座反力作受力图，梁内最大弯矩M max =巳二F4应用弯曲正应力的强度条件bm a x= Mmx< b max WZ可计算出梁应能承受的载荷范围二 maxMmaxWZF6Fbh20.12 0.182乞二=10 106Pa可解出FgZ 12 0.18.48KN6所以梁能承受的最大载荷Fmax =6.48KN7.19图所示一 T形截面铸铁外伸梁， 所受载荷和截面尺寸如图所示，已知铸铁的许可应力- 40 MPa , c卜100 MPa，试校核梁

22、的强度。解：截面的几何性质143x7 +20 汇 3>d5.5 y2cm = 12cm14 3 20 313213244lZ =3 1 4 3 3 1 4 2 233 2 0 3 2 0 3.52cm = 6901.5cm412 12作梁的弯矩图如（a）所示在B截面有+max3210 103 12 106901.5 10”Pa =17.39MPa Y ；c=100MPamax10 103 5 10,6901.5 10$Pa 二 7.24MPa Y ；t = 40MPa在C截面有二 max = 20 105 £ Pa =14.49MPa V 二c =100MPa6901.5 10

23、max3_220 10 12 106901.5 10$Pa =34.78MPa Y ； =40MPa由此可知，最大应力小于许用应力，安全。*7.20如图所示为一外伸工字型钢梁，工字型钢的型号为22a，梁上载荷如图所示，已知l =6 m，F =30 kN ,q=6 kN/m ，材料的许用应力为I - 170 MPa , L 丨-100 MPa。试校核梁的强度。l/3l/2l/2iFs(a)19KNO(+x.lie Mil.12KN (b) 13KN39KINM= 18. cmo早S z, m a x解：利用型钢规格表查得，22a号工字钢截面的WZ = 309cm3d = 7.5mm解除支座约束，

24、代之以约束反力，作受力图，如图（a）所示，利用静力学平衡条件可解得支座反力Fb 二 29KNFd= 13KN作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示,由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为Fsmax =19KNMmax =39KNLm有弯曲应力的强度条件Pa =126.21MPa 十=170MPa吁 _ M m a x 39000FSS 乙maxmax、max_ W - 309 10 £19000 Pa = 13.40MPa 兰可=100MPaIZd 0.189 0.0075最大正应力与最大切应力均小于许用正应力和许用切应力，安全。*7.21 简支工字型钢梁，已知1=6 m， q=6 kN/

25、m ， F = 20 kN，材料的许用应力为I - .1-170 MPa， L I -100 MPa，试选择工字钢的型号。lFnrd J 11 i JI I1、uFaFb ”Jl/2l/2AB申 M47KN ?mrmTTTIlI 切口 Hrm 电O(c)解：解除支座约束，代之以约束反力，作受力图如图（a）所示，因结构对称，利用静力学平衡条件可解有弯曲应力的强度条件-maxmaxWZ47000兀十円70MPa得支座反力Fa =28KNFb =28KN作剪力图和弯矩图，如（b）（c）所示，由图中可见最大剪力和最大弯矩分别为Fsmax 二 28KNMmax =47KNLm可得梁的弯曲截面系数WZ470006 m = 276.