概率论与数理统计第2章

1、一、条件概率一、条件概率条件概率也是概率条件概率满足概率性质说明：说明：对事件A、B，若P(B)0，则称为事件A在事件B发生下的条件概率。)()()(BPABPBAP事件B发生P（B）事件A发生P（A|B）事件AB发生P（AB）：利用条件概率的定义，推出P(AB)与P(A) 的大小关系。1.)()()()()()()()(APBPAPBPABPBAPABAAPBAPBA)(1)()()()()()()(APBPBPBPABPBAPBBAAPBAPAB2.3.)()(0APBAPBA条件概率的性质条件概率的性质1、非负性、非负性2、规范性、规范性3、可加性、可加性对任一事件B，必有P(BA) 0

2、1)()(1)(AAPAPABPBA特别地，则若1121)()(,kkkknABPABPBBB则件，为一列两两互不相容事，若)(1)(ABPABP特别常用的是：计算条件概率计算条件概率一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的。） 解：解：样本空间 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)A已知有一个是女孩(男，女)，(女，男)，(女，女)B=另一个也是女孩(女，女)则314/34/1)()()(APABPABP二、乘法公式二、乘法公式定理定理1 1： ABPAPABPAP ，则如0)(类似地：类似地： BAPBP

3、ABPBP ，则如0)(一般地：一般地：)()()()(0)(1211231212112121nnnnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAAPAAAn则，且，个事件对任意证明；证明； nnnnnnnAAAPAAAPAAAPAAPAAAPAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAAAA21121212132112111212131211212111212110由条件概率的定义，有一批产品的次品率为，正品中一等品率为75，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。 解解:72. 075. 096. 0)()()()(75. 0)(,96. 0)(,04. 0

4、)(BAPBPBAPAPBAABABAPBPBPBBA故则取到正品取到次品，取到一等品为安全起见，工厂同时装有两套报警系统为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1，2。已知。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率分别为每套系统单独使用时能正确报警的概率分别为0.92和和0.93，又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常，又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为工作的概率为0.85。试求该工厂在同时启用两套报警。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？系统时，能正确报警的概率是多少？设A为题设所求事件。显然A即是事件报警系统1，2中至少有一套能正常工作Ai表示事件第

5、i套报警系统能正常工作 i=1,2显然A=A1A2988. 0862. 093. 092. 0)()()()()(862. 0068. 093. 0)()()()(068. 085. 008. 0)()()(85. 0)(93. 0)(92. 0)(2121212121212121211221AAPAPAPAAPAPAAPAAPAAPAPAAPAPAAPAAPAPAP对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是0.3；通过第一项而通不过第二项试验的概率是0.2；通过了前两项试验却不能通过最后一项试验的概率是0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？设A为题设所求事件。

6、Ai表示事件产品未能通过第i项破坏性试验 i=1,2,3显然A=A1A2A3496. 09 . 08 . 07 . 01)()()(1)(1)(1)(213121321AAAPAAPAPAAAPAPAP故9 . 0)(8 . 0)(7 . 0)(1 . 0)(2 . 0)(3 . 0)(213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP例例5 5 一批零件共100个，次品率为。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解：解：9890)(999)(10010)()(. 3 , 2 , 1213121321AAAPAAPAPAAAPiiAi显然则所求概率

7、为，次取出的零件是次品第设0084. 0989099910010213121321AAAPAAPAPAAAP设B1，B2，Bn 是一组两两互斥的事件，且niiB1) 1 ( iniiBAPBPAP1则对任一事件A都有(2) P(Bi)0 i=1,2,，n；niiniiABBAAA11 iniiniiniiBAPBPABPABPAP111） P(Bi)0(i=1,2,n) 条件哪里用到？ ）没有此条件，行吗？根据两两互斥事件的加法性质，得定理可以推广到可列多个的情况定理可以推广到可列多个的情况例例1 1 袋中有大小相同的a个黄球、b个白球。现做不放回地摸球两次，问第2次摸得黄球的概率?解解 设A

8、表示“第2次摸得黄球”B1=第1次摸得的是黄球 B2=第1次摸得的是白球baabaababbaabaaABPBPBAPBPAPBBBB111)()()()()(,22112121 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的，另两家工厂的产品各占。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货的合格率）。设晶体管产自甲厂，晶体管产自乙厂，晶体管产自丙厂，晶体管是合格品。则P(A1)=P(A3)=0.25 P(A2)=0.5 90. 01ABP80. 02ABP70. 03ABP 80. 070.

9、025. 080. 050. 090. 025. 0332211ABPAPABPAPABPAPBP由全概率公式得： 设甲袋中有m-1只白球和1只黑球，乙袋中有m只白球，每次从甲、乙两袋中分别取出一只球，经交换后放回袋中，求经n次交换后，黑球在甲袋中的概率，并讨论 时的情形.n 设经 n次交换后，黑球在甲袋的概率为 pn 。 经过经过n-1n-1次交换后，黑球在甲袋中次交换后，黑球在甲袋中，再交换一次，黑球仍在甲袋的概率为 。 当经当经n-1n-1次交换后，黑球不在甲袋中次交换后，黑球不在甲袋中，再交换一次，黑球在甲袋的概率为 。mm 1m1于是，由全概率公式得mpmmppnnn1)1 (111

10、mmmpn121mmmpmmn2112222011212niinmmmpmmnnmmp212121npn时，当mmp11而niiB1) 1 ( jnjjkkkBAPBPBAPBPABP1nk, 2 , 1则 对任一具有正概率的事件A，有(2) P(Bi)0 i=1,2,，n；设B1，B2，Bn是一组两两互斥的事件，且 APBAPBPAPABPABPkkkk iniikkBAPBPBAPBP1nk, 2 , 1定理可以推广到可列多个的情况。定理可以推广到可列多个的情况。例例1 1 （市场问题） 某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为

11、0.3，滞销为0.2。为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出700010000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出700010000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出700010000台产品的概率是0.2。若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。求该产品（1）为销路一般的概率。（2）为畅销品的概率。（3）畅销或销路一般的概率。解解 设A1=该产品是畅销品A2=该产品的销路一般 A3=该产品是滞销品 B=试销期内能卖出该产品700010000台P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2 P(B|

12、A1)=0.6，P(B|A2)=0.9，P(B|A3)=0.2 44. 02 . 02 . 09 . 03 . 06 . 05 . 09 . 03 . 0)()()() 1 (312222iiiABPAPABPAPBPBAPBAP 49. 02 . 02 . 09 . 03 . 06 . 05 . 03 . 0)()()()2(311111iiiABPAPABPAPBPBAPBAP93. 02 . 02 . 09 . 03 . 06 . 05 . 02 . 02 . 01)(1)()3(33BAPBAP93. 044. 049. 0)()()()3(2121BAPBAPBAAP解法二：解法二：

13、 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。 求（）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率； （）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。是第一车床加工的零件设1A是第二车床加工的零件A是合格品B951AP942AP95. 0|1ABP98. 0|2ABP 90086798. 09495. 0952211ABPAPABPAPBP 86747586790095. 095111BPABPAPBAP 86739286790098. 094222BPABPAP

14、BAP （）因此，第一台可能性较大 （1） 某实验室在器皿中繁殖成k个细菌的概率为并设所繁殖的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等，求下列事件的概率：（1）器皿中所繁殖的全部是甲类菌的概率。（2）已知所繁殖的全部是甲类菌，求细菌个数为2的概率；（3）求所繁殖的细菌中有i个甲类菌的概率。, 2 , 1 , 0, 0,!kekpkk 事件A表示繁殖的细菌全是甲类菌， Bk表示繁殖了k个细菌， k=1,2, Ai表示所繁殖的细菌中有i个甲类菌， i=1,2,（1）由全概率公式有1)|()()(kkkBAPBPAPkkkek21!11!2kkke121ee)()|()()|(222APBAPBPABP（

15、2）) 1(21! 22122eee) 1(8212e（3） 由题意ekBPkk!)(kikikiikkiCCBAP212121)|(根据全概率公式ikkikiBAPBPAP)|()()(ikkikkCek21!ikkikie2)!( !1ikikiikie2)!(12!122!1eii, 2 , 1 , 0i、事件的相互独立性、事件的相互独立性 若两事件，满足 P(AB)P(A)P(B) ，则称事件、(或、)相互独立。简称独立。定义即使在 P(A)=0 或P(B)=0时，仍然适用。必然事件及不可能事件与任何事件均是独立的。由定义可得：如P(A)0，则事件A与B独立 BPABP如P(B)0，则

16、事件A与B独立 APBAP)()(0)()()()()()()(BPABPAPBPAPABPBAABPAPABP得由独立，得、又相互独立与BABPAPABPAPABP)()()()()( 若对事件，；， ； ，； ， 中有一对是相互独立的，则另外三对事件是相互独立的（即这四对事件或者都相互独立，或者都不相互独立）。BAA B独立、BA独立、BA独立、BA独立、BA：我们首先证明下面四个命题：（）由A，B事件相互独立，推出A， 事件相互独立；（）由A， 事件相互独立，推出 ，B事件相互独立；（）由 ，B事件相互独立，推出 ， 事件相互独立；（）由 ， 事件相互独立，推出A，B事件相互独立； 四个

17、命题成立，定理5结论成立。BBAAAABB因为，事件相互独立，即P(AB)=P(A)P(B) 。 BPAPBPAPBPAPAPABPAPABAPBAP1又相互独立。、所以BA BPAPBAPBA相互独立，、 BAAPBPABPBPABBPBAP又 APBPAPBPBPAPBPBPAPBPBPAPAPBPBAPAPBP11相互独立。、所以BA BPAPBAPBA相互独立，、 BPAPBPAPBPAPAPBAPAPBAAPBAP1相互独立。、所以BA又 BPAPBAPBA相互独立，、 BABPAPBAPAPBAAPABP又 APBPBPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP11

18、所以，A、B事件相互独立。 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率。 记。敌机被击中，乙击中敌机，甲击中敌机 8 . 05 . 06 . 05 . 06 . 0BPAPBPAPABPBPAPBAPCP事件的独立性概念可以推广到有限个事件的情形。 设A1，A2，An是n个事件，若对所有可能的组合1ijkn 成立着)(2个共njijiCAPAPAAP)(3个共nkjikjiCAPAPAPAAAP )(2121个共nnnnCAPAPAPAAAP则称A1，A2，An相互独立。同时抛掷两个四面体，每个四面体的四个面分别标有1、2、3、4。定义事

19、件奇数现偶数，或者同时出现两个四面体或者同时出第二个四面体出现奇数第一个四面体出现偶数CBA81)()()(0)(41)()()(21)()()(CPBPAPABCPCAPBCPABPCPBPAP故A、B、C不相互独立。 设n个事件A1，A2，An相互独立，那么，把其中任意m(1mn) 个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。：设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现在用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要设置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的敌机（可以认为各门高射炮的射击相互独立）？设需要设置的高射炮数为nniAAAAAniiA21,

20、2 , 1则有敌机被击中门炮击中敌机第令 99. 021nAAAPAPn使得求 99. 04 . 011111212121nnnnAPAPAPAAAPAAAPAPAP即得门高射炮。故至少需要设置6026. 53979. 024 . 0lg01. 0lgn 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性；由元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为r(0r1)个元件按图及图所示的两种联接方式构成两个系统，试求它们的可靠性，并比较两个可靠性的大小。A1A2AnB1B2Bn图 系统图 系统A1A2B1B2AnBn解：解： 设niAAii, 2, 1，能正常工作元件

21、niBBii, 2, 1，能正常工作元件 计算系统的可靠性：计算系统的可靠性： 它有两条通路，在每条通路中，当且仅当该通路上所有元件都能正常工作时，该条通路才能正常工作，因为系统由两条通路并联而成，因此，只要有一条通路能正常工作，则系统就能正常工作。组成的通路能正常工作由元件记nAAAA,21组成的通路能正常工作由元件nBBBB,21 nnnrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPR21111111121所求的系统的可靠性为： nnnrAPAPAPAAAPAP2121 nnnrBPBPBPBBBPBP2121因为各元件能否正常工作是相互独立的，得则系统中每对并联元件所组成的子系统的可靠性为ni

22、BACiii,2,1设 rrrBPAPBPAPBAPBAPBAPCPiiiiiiiiiii2111111112 下面计算系统的可靠性下面计算系统的可靠性： nnnnrrCPCPCPCCCPR221212系统是由 n 个子系统串联而成，所求系统的可靠性为： 我们可以证明 R2R1nnnrrrRR2212事实上， 0) 1 (22frrrfnn得令 111122nnnnrrnnrrnrf当0r1时，f(r)f(1)0 即 R2R1 、重复独立试验、重复独立试验 二项概率公式二项概率公式做n个完全重复条件的试验，且满足两个条件：(1)每次试验条件相同每次试验条件相同。 因此各次试验中同一个事件出现概

23、率相等；(2)各次试验结果相互独立各次试验结果相互独立；满足这两个条件的n次重复试验，称为n重独立试验重独立试验。n重独立试验重独立试验 如n重独立试验还满足： 每次试验只有两个结果每次试验只有两个结果。即只有两个可能事件与 ，且 。则这n重独立试验又称为n重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验，或称为贝努利概型试验，或称为贝努利概型。A qpAPpAP1,)(试验试验2疾病发生疾病发生某疾病的发生率为0.001。当卫生部门要对一个拥有5000名员工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用p 0.001的n重伯努利试验模型，其中n=5000。试验试验1电脑故障电脑故障 某电脑公司售出200台电

24、脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理P(A)=p，n=200的伯努利试验问题。其中p是电脑故障率。试验试验3产品抽样产品抽样 在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取n 次（每次取一件产品），那么这 n次试验就不是 重复独立试验（此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品的概率也不相等）。 但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的n次试验就是 重复独立试验。在实际问题中，完全满足n重独立试验的两个条件是不多见的，常常是近似满足条件，此时，可用 n重独立试验来近似处理。例如，仍然以抽样问题来讲，当产品数量很大时，相对来说，抽取的产品件数n很小，即使所作的是无放回抽取，我们可以

25、近似地当作有放回抽取，近似地把它看成是n重独立试验（此时，每次试验出现正品的可能性相等）。定理定理 （二项概率公式）（二项概率公式） 设一次试验中，事件出现的概率为P(A)=p (0p1)，则在n重伯努利试验中，事件出现的次数的分布律为 nkpqqpCkPkPknkknn, 2 , 1 , 01其中也记作b(k；n，p)证明证明 nkkkAAAAAAP2121 knkknknkkknkkkqpppAPAPAPAPAPAPAAAAAAP121212121niiAi, 2, 1次试验中出现第记当n次试验中事件在指定的k次试验中出现（下式是前k次出现），在其余nk 次试验中不出现的概率为再由试验结果

26、的独立性得由于n重贝努利试验中出现k 次的方式：就是至n 的n个自然数中取出 k个数的一种组合，即共有 个事件。而这些事件是两两互斥的，故根据概率的可加性可得knC nkqpCkPknkknn， 210注：注：1)由于上式刚好是二项式(p+q)n的展开式中第k+1项的系数，故我们把它称为二项概率公式。 100nknknkknnknqpqpCkP2),;(pnkbqpCknkkn也被记作显然：例例1 1 (打靶问题)某老练的射手打五发子弹，中靶概率为0.8，问:（1）他打中两发的概率p1是多少?（2）打中的概率p2是多少?解解 设Ai=第i次击中靶，由于射手老练，可理解为他每次打中否，彼此不相互影响，为相互独立重复试验。99968