线性方程组解的结构

1、3.4线性方程组解的结构这就是我们将要讨论的线当线性方程组有无穷多解时，能否用有限个解把无穷多个解全部表示出来, 性方程组解的结构问题.齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组（6）表示为如果-匕为齐次线性方程组（6）的解，则15 / 12称为方程组（6）的解向量，它也是矩阵方程的（7）的解.根据矩阵方程（7），我们来讨论解向量的性质。性质1若才二纟，黑二52为（7）的解，则门一一一一也是（7）的解证只要验证满足方程（7）：如+葩+輕+呵也是方程组（7）的解. 证毕性质2若丄为（7）的解，石为实数，则 X皿 也是（7）的解.证 二二工 I :.即:也是方程组（7）的解. 证毕性质3若占* =鼻二：

2、为（7）的解，对于心血的任意一组常数，则其线性 组合-1二二-一-也是（7）的解.证-：-r.1 =-Fl-i：-l-J丄即线性组合也是方程组（7）的解.证毕从第二节齐次线性方程组的例题中可知，对于元齐次线性方程组 曲二0,若w则有个自由未知量，这时无穷多解的一般表达式中含有mr个任意常数，它也可以表示为nr个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合，这时我们称其为齐次线性方程组的全部解当然，我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组 .的求解方 法，利用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简型，可得同解方程组 .对于（刈二，我 们可得用向量表示的一般解形式，与含有:-

3、个任意常数相乘的向量就是线性无关的；-解向量组.在上一节的例6中，系数矩阵的秩 1 - - -，而未知量的个数I，则自由未知量的个数为丄一 _，这时方程组无穷解的一般表达式中含2个任意常数一 一亠，方程组解向量的一般表达式为：-2-%0,如果在解向量的一般表达式中令Cj = 0=1可得解向量詢,则.右是线性无关的解向量组.依据上面的讨论，对于齐次线性方程组给岀一个重要的概念定义3.1已知齐次线性方程组mo 有无穷多解，并且含有上个自由未知量，若解向量的一般表 达式为X=站+勺百+勺生 （：s为任意常数）则称向量为齐次线性方程组处0 的一个基础解系根据齐次线性方程组解的性质以及求解过程，我们可以

4、判定齐次线性方程组解的基础解系不唯一，有无穷多组，但是它们含有解向量的个数不变，并且都等于自由未知量的个数.构成基础解系的解向量是线性无关的.从而可得齐次线性方程组解的重要定理.定理3.1“元齐次线性方程组血二0 ，若系数矩阵的秩则齐次线性方程组斗;.-的基础解系含有金=个线性无关的解向量全部解可以表示为个基础解系和fir个任意常数】（加丫的线性组合即那么齐次线性方程组 AT = O 的求解问题转化为求方程组的基础解系问题，而基础解系的求法就是 求解线性方程组得到的一般表达式中，与任意常数作线性组合的向量组既是一个基础解系在例7中，基础解系含一个解向量在例6中，基础解系含有2个解向量,1 =-

5、 21-%0解向量卫丿与1.已知齐次线性方程组求方程组的全部解，并求出一组基础解系解：对增广矩阵乂作初等行变换，化成简化的阶梯型矩阵q -i -i 1 3A = (A,B)= 1-11-30J -1 -2 3 0丿1 -1-112002-4000-120；q -i -i i avjj、0 0 1 -2 0,00000P-iT-1oV旳 、001- 20rb0000丿于是,原方程组的同解方程组为画一E 无二0 . i3 _ 2旺=0即画二花+曲英2 = Xj +x3 = 0x3 + 2x4E = 0+阳（沟內为自由未知量）10X =G1(12为任意常数）/、原方程组的通解可表示为 - - 5.-

6、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组(6)AX = B通常把上式右端换成零向量.所得到的齐次线性方程组(7)称为与非齐次线性方程组（1）相对应的齐次线性方程组.性质4设八 1及人 :都是方程组（6）的解，则为对应齐次方程（7）的解。证 n ”二；二二： j是方程组（7）的解。性质5设一是方程组（6）的解, 二是方程组（7）的解,X丸十7 仍是方程组（6）的解。虫(右+0)=+At/ = 0 + 5 = 5是方程组（6）的解。证毕由以上这两个性质即可以证明非齐次线性方程组解的结构定理定理3.2设是非齐次线性方程组AX = B的一个解,&2也 是相应齐次线性方程组JZ=O 的基础解系，则方

7、程组AX = B 一般解为X -諂+也+ y wh +4(8)其中叫也 叫屮为任意常数.是方程组 AX = B证 由性质1,性质3和性质5易知, 的解,为证它是 AX = B 的一般解,只要证方程 AX = B 的任意一解都可以表示成的形式即可.设的任意一解，已知 也是二的一个解，由性质4,、是齐次线性方程组mo的基础解系，故存在一组常数1 -3120 1-20定理证毕.例3.求解方程组珂一比一恋+旺=0；珂一兀2 + 勺 一= 1-x2 - 2 屯 + 3x4 =解：对增广矩阵乂作初等行变换，化成简化的阶梯型矩阵，有/1 -1J4=(A5)= 1 -11 -1(1-10-112001-212

8、00000)可见歯二；：*!，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为西二花+州+gXj =+ 0x4 + 0码=Q 可 + 2x4 +j无=Ox】+ a4 +0（亦为自由未知量）: 一则方程组的解表示为向量形式20V =12W,令则。为原方程组的一个特解为把解表示得更清楚些，可把它写成例4.求解方程组兀-2xa +3召_无二1* 3眄一阳 +5xj-3xt = 22五+花+ 2也一2无二3解：对增广矩阵作初等行变换，化成简化的阶梯型矩阵，有A -23-11A=（AtB）= 3-15-32 ;212-2 3-23-1 n_m00 -15_4(o540 1丿1仃-23-1 lj05一 40 -

9、110000 2丿可见广（上）=”（虫）=3，故方程组无解.1.已知非齐次线性方程组+x2 -3 -x4 = 1 3xx-3+4旺=4两 +5a -9x3 -8x4 = 0求方程组对应的齐次方程组的基础解系，方程组的一般解.解：对增广矩阵作初等行变换，化成简化的阶梯型矩阵，有q i -3 -i r3=(45)= 3-1-344J 5 -9 -8 0?01-3-1 1 0-467 114-6- 7 -1,100由于 .-1-，所以方程组有无穷多解.原方程组的同解方程组整理为3西二一2 443 71/廿严=1亦即（叫勺为任意实数）上式简化为或令I.令卩为非齐次方程组的一个特解；原方程组的一般解为视图就是观看工作的一种方式。为了便于设计者从不同的方式观看