第一章 鞅 第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理

1、第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理一、样本函数的性质以下，记对一个给定的随机过程，指定的一个可列子集记为的前个元素，将的元素按大小重新排列，设用表示严格上穿区间的次数。这里严格上穿指的是的值由小于变到大于，比如，就称严格上穿区间一次。显然记则是严格上穿区间的次数。定理1-6-1 设是下鞅，是中的一个可列子集，又设，设为任意区间，令，于是有（1）（2）证明：（1）设为简单起见，设，则，由定理41因为也是下鞅，所以由单调收敛定理知（2）由定理3-3令记，则为停时，且在M上，。事实上对任意，因为，所以由有界停时定理知由条件期望的定义知故因为为下鞅，所以，从而得令，得推论1-6-1 设是鞅，

2、且，则（1） 对（2） 对（习题1-6-1 证明推论1-6-1）推论1-6-2 设是下鞅，且，当时，轨道右连续，则(1) (2) (3) 证明：设，因为右连续，所以能达到。设，且。于是对，从而得若，显然故（1）（2）（3）成立。推论1-6-3 设是下鞅，是上的可列子集，则，当时，对T上的任一有穷区间，在上有界。若时，右连续，则对T的任一有穷区间，在上有界。证明：由推论1-6-1（1）知令，则所以若右连续，取T的一个稠密子集D，则 （习题1-6-2）故由此知，当时，。注1-6-1 称鞅或下鞅右连续，如果所有的样本函数右连续。注1-6-2 记定理1-6-2 设为鞅（或下鞅），为中的一个可列稠密子集

3、，则存在鞅（或下鞅），使得(1) 的所有轨道右连续，且，当时， （1-6-1）(2) ，当时，对，存在有穷的左极限，且 （1-6-2）(3) 对， （1-6-3）(4) 是反向鞅（或反向下鞅）。证明：先构造如下，对，及区间，令 （1-6-4）则，由推论1-6-3知，令 （习题1-6-3） （1-6-5）则，对每一个，令 （1-6-6）显然，如果，则存在，使，故在区间上有穷，在上有穷，故存在且有穷，于是定义 （1-6-7）往证（1）。任取和，若，则，由式（1-6-7）知当时，从而在处右连续。若，则由的定义（式（1-6-6）知，对，有。事实上，若不这样，即对，当时则可得，使，又因为，故，矛盾。由的

4、定义（式（1-6-7）知，当时，有于是当时，由于，有从而知，在处右连续。另一方面，当时，对，由的定义（式（1-6-7）知，令，则结论（1）成立。往证（2）。对，因为，所以存在且有穷。记对，取，使对，有又对，由于，由的定义（式（1-6-7），可取，使于是当时由此知，即存在且有穷。再取，则结论（2）成立。往证（3）。令，因为为下鞅，所以 （1-6-8）又因为是反向下鞅，所以一致可积。又因为，从而 。于是在式（1-6-8）中令，得从而知。往证（4）。取，满足，因为是下鞅，所以 （1-6-9）与处理中式（1-6-8）的方法相同，令式（1-6-9）的两边即得 （习题1-6-4）。推论6-1 如下鞅右连续

5、，则（1）是反向下鞅。（2），时，在一切上有有穷左极限。证明：（习题1-6-5）。定理1-6-3 设是右连续下鞅，如果右连续，则下列两条件等价(1) 右连续(2) 有右连续修正下鞅证明：往证（1）（2）。设D为T的任一可列稠密子集，令，则定理1-6-2中的是下鞅，且对，取，则因为一致可积，有。又因为右连续，所以，故有 故，所以是的右连续修正。往证（2）（1）。设是的右连续修正下鞅。对任意，因为一致可积，所以一致可积。又因为，所以可知，右连续。推论1-6-5 若右连续，则如果是鞅，就一定存在右连续修正鞅。证明：因为对一切，故右连续，由定理1-6-3知，右连续。定理1-6-4 设是右连续下鞅，如果则存在可积的随机变量，使证明：令记Q为全体有理数，则下面证明，从而证明了。记为严格上穿的次数，D为T的一个可列稠密子集，为严格上穿的次数，显然。 设，且在上上穿一次。因右连续，当 时，作。于是在上上穿一次，所以，从而。由定理1-6-1知故。事实上若，则，有矛盾。另一方面，故从而几乎出处存在，记由于是右连续的，所以是可测的，则对引用Fatou引理，有定理1-6-5 设是一致可积的右连续下鞅（或鞅），则存在可