O0011,向量表示三角形的五“心”

1、向量代表三角形的“心”向量是代数与几何的主要桥梁，这种联系不仅体现在平面直角坐标系中点的坐标与向量的坐标之间的对应关系，还体现在由向量表达式和向量的几何中意义与平面几何中三角形的“心”之间的密切联系。一、重心例1 已知O是ABC的重心，求证：。解：如图，由已知，O是ABC的重心。连结AO、BO、CO，使它们的延长线与BC、CA、AB分别交于点D、E、F。，所以。例2 已知A、B、C是不共线的三点，O是ABC内一点，若，则O是ABC的重心。证：，即是与方向相反且长度相等的向量。以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则，。在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E，则。点O是ABC的重心

2、例3 在凸六边形A1A2A3A4A5A6中，各边A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A6、A6A1的中点依次为M1、M2、M3、M4、M5、M6。求证：M1M3M5与M2M4M6的重心重合。证：设M1M3M5的重心为G，则对于平面内的任一点O，有。M1、M3、M5分别为A1A2、A3A4、A5A6的中点，又M2、M4、M6分别为A2A3、A4A5、A6A1的中点，。G为M2M4M6的重心。M1M3M5与M2M4M6的重心重合。二、内心例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，, ，则P点的轨迹一定通过ABC的A外心B内心C重心D垂心解: 如图(1)，作向量，

3、则由向量加法:, 由已知可知，, 由、，可知 ,、都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作AB1P1C1，这时AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分，且， , 由、，可知:。再由, 可知，P点的轨迹是射线AP，P点的轨迹一定通过ABC的的内心。选B。例5 （1）设ABC是任意三角形，AD、BE、CF分别为其内角、的平分线，求证：AD、BE、CF交于一点G。（2）设ABC的三个项点A、B、C的坐标为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，A、B、C的对边的长分别为a、b、c，根据第(1)小题的结果，写出ABC的内心G的坐标(x, y)。解：（1）由于本题难度很大，所以，我们采用一题三

4、图的方式给出解答，以免字母混乱的现象发生，三个图如图所示。在题目的证明之前，我们先说明一个问题：中，。总可以写成以下的形式：，等等。（1）如图(1)，设ABC的、的对边的长依次为a、b、c。如图(2)，任取一点O，设AD与BE相交于点G。由三角形的内角平分线的性质可知，所以。虽然我们不知道，但毕竟可以表示成，即。重复上述方法，还可以表示成。由和可得，。把x代入可得（也可把y代入），。由、可知，G和G1重合。综上，AD、BE、CF相交于一点G。（2）由第(1)小题的结果可知，在这个式子中，、分别用x系列、y系列置换，得到ABC的内心G的坐标是(x, y)=(, )。三、垂心例6 P是ABC所在平

5、面上一点，若，则P是ABC的A外心B内心C重心D垂心解：由，可得，即，同理可证，P是ABC的垂心。答案为D。四、质心例7 在平面上三点, 0)、B(2, 4)、C(4, 5)处，分别放置质量为3g、4g、5g的质点，求它们的质量中心，并推广到一般结论：在平面上n个点P1(x1, y1)，P(x2, y2)，Pn(xn, yn)处，分别放置质量为m1、m2、m3、mng的质点，它们的质量中心是什么？解：由物理学知识，两个质量为m1、m2的质点分别放在P1(x1, y1)与P(x2, y2)处时，其合力的作用点P在连结P1和P2的线段上。由力矩相等的原理，得，即。设P点的坐标为(x, y)，则 即 根据式，求得A、B两处质心为, ，D、C两处质心为, 。A、B、C三处的质量中心为, 推广为一般结论：这n个点的