经济应用数学基础第2章 导数及应用ppt课件

1、第2章导数及应用n n元线性方程组与矩阵元线性方程组与矩阵1导数的概念导数的概念1n n元线性方程组与矩阵元线性方程组与矩阵1导数的微分导数的微分2n n元线性方程组与矩阵元线性方程组与矩阵1导数的应用导数的应用3n n元线性方程组与矩阵元线性方程组与矩阵1多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值4第2章导数及应用1 1理解导数与微分的概念理解导数与微分的概念, , 会求函数的导数、微分和会求函数的导数、微分和偏导数。偏导数。2 2掌握一元函数单调性的判断和经济应用问题的最值。掌握一元函数单调性的判断和经济应用问题的最值。3 3会求简单的二元函数的条件极值。会求简单的二元函数的条件极值。1

2、学习目标第2章导数及应用【经济问题2-1】 你知道总产量、平均产量达到极大时雇佣的劳动应为多少吗？ G.Y.是一个生产电子元件的企业，已知企业的生产函数为Q 表示产量，K 表示资本，L 表示劳动。(1) 令劳动L=5个单位，试预测资本在K=4个单位的基础上增加一个单位，产量的变化；(2)若资本K=20个单位，总产量、平均产量分别达到极大值时企业雇佣的劳动是否相等?,32.05.0),(22KLKLLKfQ2.1导数的概念导数的概念2.1.1 2.1.1 导数的概念导数的概念1. 1. 平均变化率与瞬时变化率平均变化率与瞬时变化率（1 1）【经济问题）【经济问题2-12-1】（】（1 1） 生产

3、量对资本生产量对资本的瞬时变化率边际产量）的瞬时变化率边际产量）解解: 1): 1)给定资本在给定资本在K=4K=4时一个改变时一个改变KK量，相量，相应的函数改变量应的函数改变量)5 , 4()5 ,4(fKfQ)432. 055 . 054()4(32. 055 . 05)4(2222KK2)(32. 056. 25KKK2.1 导数的概念导数的概念 2) 3) 为生产函数Q在资本K=4时的瞬时变化率，经济学中称为边际产量，其含义可理解为在资本K=4个单位的基础上增加一个单位，生产量将上升2.44个单位。44. 2)32. 044. 2(limlim00KKQKKKKKKKQ32. 044

4、. 2)(32. 044. 222.1 导数的概念导数的概念定义定义2.1 设函数设函数 在在 的某个邻域内有定义，当自的某个邻域内有定义，当自变量变量 在在 处有一增量处有一增量 时，函数时，函数 相应的增相应的增量量 。当。当 时，如时，如果果 的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数 在在 处处的导数，记为的导数，记为 xxy)()(00 xfxxfy0 xxy0 x)(xfy 0 x)(xfy 0 x2. 导数的定义导数的定义0 xxy)(xf0 x0 x)(0 xf 0 xxdxdy0 xxdxdfxxfxxfxyxx)()(limlim0000 xyx0lim 或

5、或 或即为并称函数 在点 处可导；假如 不存在，则称函数在点 处不可导. 2.1 导数概念导数概念 如果函数 在区间 内每一点都可导，则称函数 在区间 内可导。 yf x, a b yf x, a b也可记为： 、 、 yf x 00limlimxxf xxf xyfxxx ydydx dfxdx函数 的导函数，简称为导数。即：2.1 导数的概念导数的概念例例1求常数函数求常数函数 的导数。的导数。解（解（1求函数的改变量求函数的改变量 （2计算比值计算比值 （3求极限求极限即即cy 0ccy00 xxy0lim0 xyx0 c3.导数的基本公式导数的基本公式 （ 是常数是常数 ） 特别地，当

6、特别地，当 时，有时，有 ，特别地，当特别地，当 时，有时，有 2.1 导数概念导数概念0CC1aaxaxlnxxaaaae xxee1loglnaxxaae1ln xx2.1 导数的概念导数的概念xxx22seccos1)(tanxxx22cscsin1)(cot211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarcsincosxxcossinxx （5 5）（6 6）2.1 导数概念导数概念4. 导数的几何意义导数的几何意义(1)M)(xfy)(xfyxxyyT MMM(2)2.1 导数概念导数概念 （ 是切线的倾斜角） tanfxk 曲线

7、 在点 处的切线方程和法线方程分别为： yf x00,M xy切线方程：000yyfxxx法线方程：000010yyxxfxfx 2.1 导数概念导数概念5. 函数的导数与连续的关系函数的导数与连续的关系定理定理2.2 如果函数如果函数 在点在点 处可导，则它在点处可导，则它在点 处一定连续。处一定连续。证因为函数证因为函数 在点在点 处可导，所以有：处可导，所以有： yf x0 x00limxyfxx 由00000limlimlimlim00 xxxxyyyxxfxxx 这就说，函数 在点 处连续。 yf x0 x yf x0 x0 x00limlim0 xxxx 即 函数 在点 处连续，

8、0yf0 x 0 xyxy xy例例2 试证函数试证函数 在点在点 处连续，但不可导。处连续，但不可导。 00 xxyf xxxx0 x 00limlim0 xxxx 证证因为因为 0lim00 xxf 所以 2.1 导数概念导数概念2.1 导数概念导数概念000limlimlim1xxxxyxxxx 000limlimlim1xxxxyxxxx 又因为 00limxyfx 由极限存在定理知 不存在 yf x0 x所以函数 在点 处连续，但不可导。 2.1.2 导数的运算法则导数的运算法则定理定理2.3 若函数若函数 和和 在点在点 处都是可导的，处都是可导的，则有：则有：2.1 导数的概念导

9、数的概念 u x v xx u xv xuxvx u x v xux v xu x vx Cu xCux 20u xux v xu x v xv xv xv x2.1 导数的概念导数的概念例例3 求下列函数的导数求下列函数的导数. （2） )ln3()2()sin(1xexxyxxxxx30)(sinsin)(xxxxx3cos2sin 解解 （1 1） xexexexeyxxxxsin2)(cos2)cos2 ()()cos2(xeyxcos2xexxyln3)2(sin1（1） ；（2） ; 2.1 导数的概念导数的概念例例4 4设函数设函数 ，求，求解解 )0(f 00 xy2) 1()

10、 1() 1()(xxexeyxx2(1)(1)xxexex2(1)xxex1xeyx)0(f 2.1 导数的概念导数的概念例例5求函数求函数 的导数的导数.解解 由商的导数运算法则由商的导数运算法则即即 xx2sec)(tan， seccos1cossincoscos)(cossincos)(sin)cossin()(tan222222xxxxxxxxxxxxxyxytan2.1 导数的概念导数的概念定理定理2.4 设函数设函数 在点在点 处可导处可导,函数函数 在在相相 应应 点处可导点处可导, 则复合函数在点则复合函数在点 处也可导处也可导, 且且有有)(xux)(ufy )(xuxxu

11、uyxyddddddxuxyyu 或简单的叙述为：复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .2.1.3 复合函数求导法则复合函数求导法则2.1 导数的概念导数的概念例例6 求求 的导数的导数.xy2sinuysinxu2xuxuuyxyy2cos2 cos2ddddddxu2解解 设设 , .由复合函数的求导法则由复合函数的求导法则uysinxu22.1 导数的概念导数的概念例例7 求函数求函数 的导数的导数.解解 设设 , . 由复合函数由复合函数的求导法则的求导法则323232131) 13(11 331ddddddxuuuxuuyxyy313 xy13 xu

12、313uuy2.1 导数的概念导数的概念例例8 求函数求函数 的导数的导数.解解 函数函数 是由是由 和和 复合而成，因而复合而成，因而xycoslnxxxtan)sin(cos1)sin(1)(cos)(lnxuxuuyyxuxxycoslnuylnxucos2.1 导数的概念导数的概念熟练后，可以不引入中间变量，直接由外向内层逐熟练后，可以不引入中间变量，直接由外向内层逐层求导。层求导。例例9 9 求函数求函数 的导数的导数. .xexexexxx221 )(1) ()xe xey 2.1 导数的概念导数的概念2.1.4 隐函数的求导隐函数的求导例例11 求函数求函数 的导数的导数.解解

13、由由 两边取对数得两边取对数得两边对两边对 求导数得求导数得所以函数的导数所以函数的导数)2)(1()2)(1(xxxxy)2)(1()2)(1(xxxxy) )2ln() 1ln()2ln() 1ln( (21)2)(1()2)(1(lnlnxxxxxxxxyx，4211)4412(2112222xxxxyy)2)(1()2)(1(ln)4211(22xxxxxxy2.1 导数的概念导数的概念例例12 求函数求函数 的导数的导数.解解 由由 两边取对数得两边取对数得两边对两边对 求导数得求导数得所以函数的导数所以函数的导数 xxysinxxysinxxyln sinln xxxxxyy1 s

14、inln cos1)sin1ln(cos)sin1ln(cossinxxxxxxxxxyyx2.1 导数的概念导数的概念2.1.5 高阶导数高阶导数 在区间在区间 内如果函数内如果函数 的导函数的导函数 也可导也可导, 则称导函数则称导函数 的导数的导数 为函数为函数 的二阶导数的二阶导数. 记为记为 或或 或或 即即 )(xfy ),(ba)(xf )(xf ) )( xf)( ,xfy 22ddxy22d)(dxxf xyxxyxfxfyydddddd , ) )()( , )(22)(xf2.1 导数的概念导数的概念类似地, 把函数 的n-1阶导数 的导数 称为函数 的n阶导数.记为 我

15、们把二阶和二阶以上的导数, 称为高阶导数.)(xf)()1(xfn) )()1(xfn)(xfnnnnnnxxfxyxfyd)(d dd ),( ,)()(或 2.1 导数的概念导数的概念(2) 因为 ，所以112sincossin22 22xxyx1cos2yyx2 lnyxxx 2ln3yyx解解 因为因为 ，所以，所以2lnyxx2sin2xy 例例13 13 求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数：(1)2.2.1 微分的概念微分的概念定义定义2.2 设函数设函数 在点在点 处可导，那么处可导，那么 称称为函数为函数 在点在点 处的微分，记作处的微分，记作 。即。即一般地，函数一般

16、地，函数 在点在点 处的微分称为函数处的微分称为函数的微分，记作：的微分，记作： 或或 因为自变量的微分等于自变量的改变量，因为自变量的微分等于自变量的改变量，于是函数的微分可以写成于是函数的微分可以写成2.2微 分 yf xx dyfxx df xfxx yf x0 x0fxx yf xdy0dyfxx0 x dyfx dx2.2 微 分例例1 1 求函数求函数 在点在点 处，当处，当 时的时的微分和函数的改变量。微分和函数的改变量。2yx2x 0.01x 2dyyxx x 20.012 2 0.010.04xxdy 解解 因为因为所以22220.0124 0.010.010.0401y 而

17、函数的改变量为2.2 微 分例例2 2 已知函数已知函数 ，求，求1 lnxyxdy21 ln1 lnln2xxxdyddxdxxxx解解2.2 函数的微分2.2.22.2.2微分的基本公式与微分的运算微分的基本公式与微分的运算1.1.微分基本公式微分基本公式2.2.微分运算法则微分运算法则 （2）（3）（4）dvduvud )(udvvduuvd)(cducud)()0()(2vvudvvduvud（1） )(xuu )(xvv xc和在处可微， 为常数，那么 设函数2.2 函数的微分( )dyy dxf u du)(ufy uu)(ufy 设函数在 处可微，则当是自变量时，函数的微分为2.

18、2.3复合函数的微分法则复合函数的微分法则)(ufy 由此可见，不论u是自变量还是函数中间变量），duufdy)( 的微分总可保持同一形式这个性质称为一阶微分形式的不变性。 函数2.2 函数的微分xytan例例3 3 求函数求函数的微分. xxxxexxxexxd )12cos() 1( d11sind2sin22sin xxxxxxxxxyd2secd 21 secd sectandd222解解 ) 1ln(dd)1ln( dd2sin2sinxexeyxx解解 ) 1ln(2sinxeyx的微分 例例4 4 求函求函数 当 很小时，可以用函数的微分 来近似地表示函数改变量 的大小，即 xd

19、yy000yf xxf xfxx 000f xxf xfxx2.2 函数的微分例例5 5 某工厂生产某种产品，根据销售分析，得出的利某工厂生产某种产品，根据销售分析，得出的利润润 与日产量与日产量 的关系为的关系为 （元）（元）若日产量由若日产量由2525吨增加到吨增加到2727吨，求利润增加的近似值。吨，求利润增加的近似值。L 元Q 吨 1201350L QQQ当 ， 时 11202LL QQQQ25Q 2Q11202240.22 25L 解解 即日产量由25吨增加到27吨时，获利约增加了240元。（元）2.2 函数的微分2.3导数的应用导数的应用2.3.1 微分中值定理微分中值定理)(xf

20、y ,ba),(ba)()(bfaf),(ba0)(f定理定理2.5 (罗尔定理罗尔定理) 如果函数如果函数在闭区间连续,开区间内可导,且, 则至少存在使 上,一点oxyab点 ,使在闭区2.3导数的应用导数的应用)(xfy ,ba),(ba),(baabafbff)()()()()()(abfafbf定理定理2.6 (2.6 (拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理) ) 设函数设函数连续, 在开区间内可导, 则至少存在一 或 上间0 xyab)(xfy 2.3导数的应用导数的应用)()(xgxf),(baxC)()(xgxfC推论推论2 2 假如假如，那么（为常数）。内每一点的导数)(xfy )

21、,(ba)(xfy ),(ba在区间在区间内是一个常数。推论推论1 1 如果函数如果函数恒为零，则函数2.3.22.3.2函数的单调性判断与极值函数的单调性判断与极值2.3导数的应用导数的应用b)(xfy a0 xyax0yb)(xfy （1） （2）1. 1. 函数的单调性函数的单调性2.3导数的应用定理定理2.7 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可导内可导 yf x, a b, a b 如果对任意的 ，恒有 ，则称函数 在 上单调增加；,xa b 0fx f x, a b 如果对任意的 ，恒有 ，则称函数 在 上单调减少。,xa b 0fx f x, a b2.3导数的应用例例

22、1 1 试确定函数试确定函数 的单调区间。的单调区间。 3229123f xxxx解解 函数函数 的定义域为的定义域为 ，求函数的导数得，求函数的导数得 3229123f xxxx, 261812612f xxxxx令 ，可得 ， ，用这两个驻点可将定义域划分为 ， ， 三个区间. 0fx11x 22x ,11,22,2.3导数的应用所以，函数 的单调增加区间为： 、 ；单调减少的区间为：1,2 3229123f xxxx,12,00yy21x,12,1,2列表函数讨论 的单调性如下： 3229123f xxxx2.3 导数的应用2. 2. 函数的极值函数的极值0 x)( 0 xx )()(0

23、 xfxf)(xf)()(0 xfxf0 x)(xf设函数在点处的某邻域内有定义,在点处的某邻域内任一点的函数值如果函数 )(xf)(xf0 x)(0 xf则称为函数的极大小值点, 为函数的极大小值. 极大值点与极小值点统称为函数的极值点,极大值与极小值统称为函数的极值.定义定义2.32.30 x)(xf)(xf0 x0)(0 xf定理2.8 设为函数的极值点, 如果函数在可导, 则导数点处2.3 导数的应用2.3 导数的应用0 xx 0)( xf0 xx 0)( xf)(0 xf时,当时,那么是函数的极小值.1) 如果当 0 xx 0)( xf0 xx 0)( xf)(0 xf时,当时,那么

24、是函数的极大值.2) 如果当 )(xf 0 x)(xf不变号, 那么不是函数的极值点.3) 如果在点左右近旁,函数的导数 0 x0 x定理定理2.9 （极值充分条件（极值充分条件1） 设函数在设函数在点的某邻域的空心邻域内可导,并且在内连续,32 ) 1(xxy例例2 2 求函数求函数的单调区间和极值.),(3313232 325) 1(32) 1(xxxxxxxy0 y52x0 x.函数的导数 令 ,得驻点 ,以及在点处导数不存在.解解 函数的定义域为函数的定义域为 列表:2(0, )52(,0)( ,)50 x52x32534525xy 所以在内, 函数单调减少.在是函数的极大值点 极大值

25、是极小值点，.内, 函数单调增加00 xy.极小值，.2.3 导数的应用 + 不 - 0 + 极大 极小x),(00),(52052),(52yy0)(0 xf)(0 xf(1)假如，那么是极大值；)(0 xf0)(0 xf，那么(2)假如 是极小值. 2.3 导数的应用0 x)(xf)(0 xf 定理定理2.10极值充分条件极值充分条件2设设是函数的驻点且存在不等于零，那么2.3 导数的应用123)(23xxxf例例3 3 求函数求函数的极值点.解解 函数的定义域为函数的定义域为),(,函数的导数 ) 1(333)(22xxxxf，36)( xxf 3) 1(f是函数的极小 令 0)( xf

26、,得驻点1x因为06) 1( f，所以 1x，06) 1 ( f, 所以 1x.是函数的极大值点, 极大值为值点, 极小值为1) 1 (f3. 函数的最大和最小值函数的最大和最小值2.3 导数的应用 比较这些函数值的大小，从中找出最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。 一般说来，连续函数 在 上的最大值和最小值可以按下列方法求得： yf x, a b 求出函数在区间 内的所有驻点和不可导点；, a b 计算出上述各点的函数值和区间端点的函数值 、 。 f a f b.解解 因为因为 )3)(1(3)32(396322xxxxxxy0 y3 , 1x26)3( , 6) 1( ,26)

27、3(fff6) 1(f26)3()3(ff令 , 得驻点 计算函数值 所以函数的最大值为 函数的最小值为 .2.3 导数的应用19323xxxy3 , 3例例4 4 求函数求函数 在区间上的最大值。2.3导数的应用导数的应用例例5 5 某商店按批发价每件某商店按批发价每件3 3元购进一批商品零售，假设元购进一批商品零售，假设定为每件4元，估计可卖出120件，而售价每降低就可多 出20件。问应批进多少件，每件售价多最大利润是多少？ 卖利润？零售价0.1元，少时，方可获取最大 120 x解解 设可批进设可批进件，由题意可知应有xpxxxp005. 06 . 41 . 02012042005. 06

28、 . 4)(xxpxxR件，于是，与批进量 的函数关系为： 总收益函数为： （元/件）： （元）售价160 x001. 0)( xL又因为，知问题的最大值点，此时售价为： 是极大值点， 也就是实际 22005. 06 . 13)005. 06 . 4()()()(xxxxxxCxRxL001. 06 . 1)(xxL160 x 总利润函数为：令，得唯一驻点（元） 2.3 导数的应用8 . 3)005. 06 . 4(1602160 xxxp128)005. 06 . 1 (1602160 xxxxL最大润为： 即，应批进160件，每件按3.8元出售，可获得最大利润（元/件） （元） 为128元

29、。2. 函数图形的凹向函数图形的凹向2.3 导数的应用定义2.4 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一线上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如曲线弧位于其上任意一点的切线下方，显然，曲线上凹与下凹的分界点就是曲线的拐点。点的切果在某区间内，则称曲线在这个区间内是下凹的。 2.3.32.3.3函数图形描绘函数图形描绘1. 1. 变化率的变化率及曲线的拐点变化率的变化率及曲线的拐点),(ba)(xfy )(xf ),(ba在(2) 如果在 内，恒有0，那么函数在内上凹； 2.3 导数的应用31292)(23xxxxf例例6 6 讨论函数讨论函数的凹向区间和拐点。),(1812)(12186)(2

30、xxfxxxf)(xf 23x因为 令=0，得，列表讨论：解解 函数的定义域为函数的定义域为 故函数31292)(23xxxxf在区间)23,(下凹，在区间),23(上凹，拐点为)23,23(2.3 导数的应用 - 0 + 拐点 x),(2323),(23y y2.3 导数的应用31)4(2)(xxf例例7 7 求曲线求曲线的凹向区间和拐点。 ),(3532)4(92)()4(31)( xxfxxf)(xf 4x)(xf 因为 不存在=0的点，但时，不存在， 解解 函数的定义域为函数的定义域为 故曲线31)4(2)(xxf在区间)4 ,(上凹，在区间), 4( 下凹， 拐点为)2 , 4(4

31、+ 0 - 拐点 x),(4),(4y y2.3 导数的应用)(limxfCxCx )(xfy Cxfx)(limCy )(xfy C3 3曲线的渐近线曲线的渐近线 定义定义2.5 2.5 假设假设，则称直线为曲线近线；假设，则称直线为曲线，的水平渐近线。为常数。的铅垂渐其中2.3 导数的应用213xxxy例例8 8 求曲线求曲线的渐近线.为曲线的铅直渐近线, 故为曲线的213lim1xxxx1x213lim2xxxx2x2133limlim0121211xxxxxxxxx0y2, 1, 0 xxy,故为曲线的铅直渐近线, ,故解解 由于由于水平渐近线,因此曲线的渐近线为：2.3 导数的应用4

32、 4函数图形的描绘函数图形的描绘我们陆续讨论了函数的各种性态，综合以上的讨论就我们陆续讨论了函数的各种性态，综合以上的讨论就可以描绘出函数的图像。具体步骤如下：可以描绘出函数的图像。具体步骤如下：（1 1确定函数的定义域和值域确定函数的定义域和值域（2 2考察函数的周期性与奇偶性考察函数的周期性与奇偶性（3 3确定函数的单增、单减区间，极值点、凹凸区确定函数的单增、单减区间，极值点、凹凸区间和拐点间和拐点（4 4考察渐近线考察渐近线（5 5考察曲线与坐标轴的交点考察曲线与坐标轴的交点31292)(23xxxxf例例9 9 作出函数作出函数的图形。),(1812)(12186)(2 xxfxxx

33、f( )0fx1x 2x )(xf 23x因为 令，得；令=0，得解解 函数的定义域为函数的定义域为 列表讨论2.3 导数的应用 12+0-0-0-极大拐点极小x),(1),(23123),(223),(2yy y31292)(23xxxxf例例9 9 作出函数作出函数的图形。),(1812)(12186)(2 xxfxxxf( )0fx1x 2x )(xf 23x因为 令，得；令=0，得解解 函数的定义域为函数的定义域为 列表讨论特殊点有(1,2)23,23(，(0, 3)(2,1)。的图形见图2-13.)(xf2.3 导数的应用xy1 22.3 导数的应用23)1(xxy 例例10 10

34、作出函数作出函数的图形), 0()0,(D32322)2() 1(231)133(xxxxxxxxy0y2, 121xx443) 1(666 xxxxy0 y1x从知，为稳定点由知，列表：解：函数的定义域为 -201+0-无+0+-无-无-0-极大间断拐点x),(2),(02),( 10),( 1yy y2 7(2 ,)4)0,1(230)1(limxxx23)1(xxy0 x极大值点为，拐点因为，所以曲线有铅直渐近线,函数图形如下图：图2-14yxo427122.3 导数的应用导数的应用2.3 导数的应用导数的应用的导常见的边际函数还有：边际成本 ；)(xf)(xf)(xf2.3.4导数在经

35、济学中的应用导数在经济学中的应用1. 边际分析边际分析 边际概念是经济学中的重要概念，称函数边际概念是经济学中的重要概念，称函数为的边际函数。数( )MC C x)(xRMR)(xLML边际收入边际收入；边际利润边际利润 。2.3 导数的应用导数的应用202. 02100)(xxxC201. 07)(xxxR例例11 11 设某加工厂生产某种产品的总成本函数和总设某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为收入函数分别为（元与 （元）求最大利润时的产量.解解（1令计算利润函数)()()(xLxRxL10001052xx.( )0.025 0L xx 250 x( )0.02 0L x25

36、0，得又，所以当产量为千克时，利润最大.（2令边际利润函数2.3 导数的应用导数的应用2( )100C xxx40()2Cxx2( )100100( )C xxC xxxxx2( )100C xx()4 0RxxMCMR402x20 x 例12 某企业的成本函数为,其中表示产量，求利润最大化下的产量；，平均成本为；，当时，企业利润最大.即利润最大化下的产量为；（1若产品市场价格为求 （2产品价格达到多少时，企业利润为正.2.3 导数的应用导数的应用解（解（1 1边际成本为边际成本为( )( )( )( )0L xR xC xPxC x( )( )C xPC xx201002100)(xxxC2

37、0（2由，得这说明，为使企业利润为正，价格必须大于平均成本。由，知此时价格为.2.3 导数的应用导数的应用PQPPQP2100dEP与价格之间的函数关系(1)(2)当销售价格 分别为24元、30元时，要使销售收入有所增加，例例13 13 某企业根据市场调查，建立了某种商品的需求量某企业根据市场调查，建立了某种商品的需求量试求需求弹性系数 应采取何种价格措施。2.3 导数的应用导数的应用2.弹性分析弹性分析弹性系数是用来定量地描述一个经济变量对另弹性系数是用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度一个经济变量变化的灵敏程度.一般用一般用 表示。表示。若经济变量 是经济变量x函数，若

38、y=f(x)在x处可导，则y=f(x)在x处的弹性系数ydEdE2PQ2100250dQPEPPQPP24P 92. 0502424dE30P5 . 1503030dE解解 因为因为 所以 当价格元时， 当价格元时，24P1dE30P 1dE 因为，当价格元时，故适当提价可使销售收入元时，故此时应采取降价措施增加；而当价格薄利多销。2.3 导数的应用导数的应用),(),(0000yxfyyxxfz2.4.1 多元函数的偏导数多元函数的偏导数),(yxfz ),(00yx称为函数在点处的全增量.是定义在区域),(yxfz DDyx ),(00 xyDyyxx ),(00内的二元函数,点,给自变量

39、的增量为和,且点,则相应函数的增量设函数2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值0y),(),(0000yxfyxxfzx),(yxfz x),(00yx 当时, 函数的增量 称为函数在点处, 对自变量的偏增量.),(00yx0 x),(),(0000yxfyyxfzy),(yxfz y时, 函数的增量 称为函数在点处, 对自变量的偏增量.当2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值的极限存在, 则称此极限值为函数 在 点处对自变量 的偏导数. 记为定义定义2.6 设函数设函数 在点在点 处的某邻域内有定处的某邻域内有定 义义, 如果当如果当 时时, 函数相对自变量函数相

40、对自变量 的偏增量与自变的偏增量与自变量量 的改变量的改变量 的商的商),(yxfz 0 x0 xxxxxyxfyxxfxzx),(),(0000),(yxfz ),(00yxx),(00yxxzxyxf),(00),(00yxfx),(00yxfx, 或 ( 简记为 )2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值的偏导数的偏导数. .记为记为 ),(yxfz ),(00yxy),(00yxyyxyxf),(00),(00yxfy),(00yxfyxyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000同理可以定义

41、函数同理可以定义函数在在点处对自变量点处对自变量, , 或或 ( (简记为简记为 ) ) ， ，即即2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值例例1 1 求函数求函数 的偏导数的偏导数, , 以及在以及在 点点处的偏导数处的偏导数. .22yxyxz)0 , 1 (视 为常数, 求函数对自变量 的偏导数解解 视视 为常数为常数, , 求函数对自变量求函数对自变量 的偏导数的偏导数, , yxyxyxyxxzx2)(22xyyxyxyxyzy2)(222)2()0, 1()0, 1(yxxz1)2()0, 1()0, 1(yxyz所以 , ，2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导

42、数与极值例例2 2 求函数求函数 的偏导数的偏导数. .xexyzxsinxxexyxeyxxexyxeyxxexyxexyxzxxxxxxxcotcsc)(csc)(sincos)(sin)(sincos)(sin)(22xxxexxyyzyxsin)sinsin(为常数, 求函数对自变量 的偏导数xy视yx为常数, 求函数对自变量的偏导数, 解解 视视2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值2zxyw例例3 3 求函数求函数的偏导数.为常数, 求函数对自变量 的导数xzy和视为常数, 求函数对自变量 的导数xyz视 和为常数, 求函数对自变量 的导数 yzx和解解 视视yzxy

43、xwx)(2，xzxyywy)(2，zzxyzwz2)(22.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值2.4 多元函数的偏导数与极值多元函数的偏导数与极值如果偏导数 和 也可导, 那么 和 偏导数称为函数的二阶偏导数.二阶偏导一共四个，分别为xzyzxzyz22 ()zzxxx),(yxfxx,简记为 ；2 ()zzx yyx ),(yxfxy，简记为 ； 22 ()zzyyy),(yxfyy,简记为 ；2 ()zzy xxy ),(yxfyx, 简记为 .例例4 4 求函数求函数 的二阶偏导数的二阶偏导数. . 3223yxyyxxz二阶偏导数 ， yxxz2622yxyxz222， yxyz622