多元复合函数的ppt课件

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的求导法则求导法则 一、链式法则一、链式法则 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 三、小结三、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则，获获得得增增量量设设tt dtdvvzdtduuzdtdz 定理可导，都在点及如果函数ttvtu)( )( 具有连续偏导数，在对应点函数),(),(vuvufz ,)( ),( 可导在对应点则复合函数tttfz计算：且其导数可用下列公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返

2、回由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.dtdz上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 上

3、定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数).,(),(yxyxfz 而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(),( ),( yxyxvyxu都在点及如果在对应偏导数，且函数和具有对),(vufzyx合函数具有连续偏导数，则复点),(vu的两个在对应点),(),( ),( yxyxyxfz列公式计算偏导数存在，且可用下上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回zwvuy

4、x xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 类似的再推广，),( ),( yxvyxu设的偏导数，和具有对都在点yxyxx,y),( x,y)yxyxfz( ),( ),( 复合函数两个偏导数都存在，在对应点),(yx且可用下列公式计算上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yx

5、ufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 1 1 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz tt

6、uvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具具有有二二阶阶 连连续续偏偏导导数数，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf

7、 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、全微分形式不变性dvvzduuzdz dyyzdxxzdz 具有连续偏导数，设函数),(vufz 则有全微分时，当),( ),( yxvyxu有质：全微分形式不变性的实的函数，的函数或者中间变量是自变量无论vuvuz,的。它的全微分形式是一样上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzd

8、uuz .dvvz 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1、链式法则分三种情况）、链式法则分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结上页上页下页下页返回返回上页上

9、页下页下页返回返回设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、填空题一、填空题: : 1 1

10、、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具

11、具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三三、xxexxedxdz221)1( . .四四、