高压锅销售量模型

1、高压锅销售量模型背景和问题高压锅是当今家庭不可或缺的用具之一，近十年来高压锅的使用得到了 极大的普及因此全国各地区的高压锅销售量与年俱增，据资料显示高压锅的销售量增 长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶段高压锅的销售量呈指数增长，随着国民 经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量 不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出现一个最大值。为更好的了解高压 锅销售量的增长趋势，制定相应的销售计划，可以对未来的高压锅市场起到一定的调 节作用，因此对高压锅的销售量增长趋势进行分析是必要的。表1中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台），为给出此两模型的拟合结 果

2、，请参考如下问题：（1） Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗。如果给定L 3000，是否是一个可线性化模型，使用线性化模型给出参数a和k的估计值。（2） 利用（1）所得的a和k的估计值和L 3000作为Logistic 模型的拟合初值， 对Logistic模型作非线性回归。（3）取初值 L（0）3000,b（0）30, k（0）0.4，拟合 Gompertz 模型。并与 Logistic模型的结果进行比较。表1某地区咼压锅销售量年份年份19810198871982119898198321990919843199110198541992111986519931219876分析与假设

3、记高压锅的销售量为y ,与高压锅销售量相关的时间为t，由市场经济的 规律可知，高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶段高压锅的 销售量呈指数趋势增长，随着国民经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出 现一个最大值记为L。因此高压锅的销售量的增长趋势可以用Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型来拟合Logistic增长曲线模型：yt1 aekt(1)Gompertz增长曲线模型:yt LebektLogistic线性化模型Logistic增长曲线模型是计量经济学中的常用模型，可以用来

4、拟合销售量的增长趋势，因受到社会各方面的影响高压锅的销售量增长呈现Logistic增长曲线的趋势,下对Logistic增长曲线模型进行讨论。Logistic增长曲线模型为：ytLaeLogistic增长曲线模型是非线性的，对yt进行数学变换，两边取倒数:1 ae(3)11a-kte ytLL对（1）式两边取e的对数可以得到：2lnyt ln L In a kt（ 4）为使等式等号左右两边的量纲一致，对（2）式进行化简后可以到:令y=lnyt，那么可以得到:y= InL2a 104kt(5)由（3）式可以明显看到y是关于L和t的函数，由线性的定义显然可知函数（3）是非线性的，因此Logistic

5、（3）式可以转变为：增长曲线模型不是一个可线性化模型。但当给定L 3000，30002y=ln4 kt（ 6）a 102那么关于L的项就转变成为常数项，即模型可以线性化，其中令A In迴% ,那么（4）a 10式可以写成：y A kt（ 7）则当L给定时，Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型。用matlab软件作出y与对应年份编号t的散点图（源程序见附录程序1），如图1所示：图1销售量对数与对应时间编号散点图可以发现销售量对数y在时间t较小时有较好的线性关系而，在t较大时则出现较大的起落如果单从线性回归模型的角度出发计算，通过matlab软件利用最小二乘拟合可以很容易得到线性化模型（

6、7）的参数A和k的估计值，再根据A与a的关系A ln0004，a 104算出a的估计值。结果如表2所示（源程序见附录程序（2）表2线性化模型（7）参数估计结果参数参数估计值参数置信区间由表可得 A 4.5758和k= 0.3205，那么可以求得a 9.2682。所以线性化后的回归方程为：Logistic非线性模型由图1可以看到销售量对数与时间的线性拟合程度并不高，为解决线性化模型中 拟合欠佳的问题，考虑非线性模型（1）.以问题一解得的a 92682和k= 0.3205以及L 3000为拟合初值，作Logistic 模 型的非线性回归。运用 matlab软件进行非线性回归拟合，可以得到回归参数

7、a和k的 估计值，结果如表二所示（源程序见附录程序（3）表2非线性模型（1）参数估计结果参数参数估计值置信区间33. 9114可以得到a 30.011和k -0.457的值，那么Logistic的非线性回归模型为:拟合的结果如图2所示，可以直接看到因变量销售量 y的拟合值与真实值之间的差异很小，说明Logistic的非线性回归模型可以很好的拟合销售量的增长趋势。图2模型（1）的拟合图Gompertz增长曲线模型由市场经济学可知，高压锅的销售量增长趋势受到社会诸多因素的影响，而Logistic曲线增长模型也印证了这一观点。 但模型（1）拟合结果可以看出中间有些点 偏离较大。可以再建立 Gompe

8、rtz增长曲线模型将拟合结果与模型（1）结果对比，从 而确定哪个模型才是最优模型。模型（2）同样是一个非线性模型，可以对模型（2）进行线性化处理，对（2） 式进行数学变换，两边取对数：ln yt ln L be-kt（8）则（8）式可变为:in ytbe-ktL对（9）式再取对数有：（10）（4）In （In ¥）kt ln（ b）显然（10）式为Gompertz的线性化模型。运用matlab软件求（10）式的参数，结果如表3所示（源程序见附录程序表3模型（2）参数估计结果参数参数估计值得到k 0.2894和b 7.1180,由此得到 Gompertz模型为：用matlab软件进行拟

9、合，拟合的结果如图 3所示，可以直接看到因变量销售量y的拟合值与真实值之间的差异较大（源程序见附录程序5）。图3模型（2）的拟合图用matlab软件作出Gompertz模型的图像（见图4）与Logistic 模型图像（见图5）（源程序见附录程序（6）进行对比.观察图4和图5可以发现，Gompertz模型中间 段的数据与实际销量相差较大，但是从总体的曲线的走势来说，还是与实际相符合的， 所以用此模型所作的预测还是具有一定的可信度。但Logistic阻滞增长模型在这个问题中除了中间有几个点不大好之外，开始与最后都吻合的很好，尤其是最后的走向与 实际销量的趋势吻合的十分完美。所以用此模型来预测高压锅

10、的销量所得结果会较为 理想。因此总体来说Logistic 模型比Gompertz模型更优一些。图4 Logistic 高压锅销量增长模型图5 Gompertz高压锅销量增长模型附录：程序（1）：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;y=log log log log log log log log log log log log log;plot（x,y, 'r*'）程序（2）:x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12'y=log log log log log log log log log log log log log&

11、#39;F=on es（size（x） x;b,b in t,r,ri nt,stats = regress（y,F）;b,bi nt,r,ri nt,stats, rcoplot（r,ri nt） a=（ 3000A2/（exp（b（1） /10000k=b（2） b =bint =rint =stats =k =程序( 3)：t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12; y= ;beta0= ;,beta0);beta,R,J=nlinfit(t,y, 'xiaoliang'betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaci yy=3

12、000./(1+beta(1).*exp(-beta(2).*t); plot(t,y, 'o' ,t,yy, '+' ),pause nlintool(t,y, 'xiaoliang' ,beta) function yhat=xiaoliang(beta,t) yhat=3000./(1+beta(1).*exp(-beta(2).*t); beta =betaci =程序( 4)： t=0:12; y1= ; y2=y1./3000; w=log(log(y2);p,s=polyfit(t,w,1); k=-p(1), a=p(2), b=

13、-exp(a) k =+a =+b =+程序( 5)t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12; y= ; beta0=30 ;beta,R,J=nlinfit(t,y, 'xiaoliang' ,beta0); betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaci yy=3000.*exp(-beta(1).*exp(-beta(2).*t); plot(t,y, 'o' ,t,yy, '+' ),pause nlintool(t,y, 'xiaoliang' ,beta) function yhat=xiaoliang