随机过程第一章习题答案

1、 似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写 TH 3 : 定义5' 与定义5等价 证：定义5' Þ 定义（只需在定义 5 5'的条件下证定义5的（3）成立即可） 记Pn (t = PN (t = n, 令h > 0, P0 (t + h = PN (t + h = 0 = PN (t = 0, N (t + h - N (t = 0 （由增量独立性 = PN (t = 0PN (t + h - N (t = 0 （由增量平稳性） = PN (t = 0PN (h = 0 （由定义5'的3、4） = P0 (t 1 - l h + o(h P0 (t +

2、 h - P0 (t o( h = -l P0 (t + h h ' 令h ® 0，得P0 (t = -l P0 (t ，由初始条件P0 (0 = PN (0 = 0 = 1, 可得 Pn (t = el - lt (* 类似地，对n ³ 1,Pn (t + h = PN (t + h = n (全概率公式 = PN (t = n, N (t + h - N (t = 0 + PN (t = n - 1, N (t + h - N (t = 1 + å Pi (t Pn -i (h i =0 n-2 = Pn (t P0 (h + Pn -1 (t P 1

3、 ( h + o( h = P n (t P 0 ( h + l hP n -1 (t + o( h = Pn (t (1 - l h + l hPn -1 (t + + o(h Pn (t + h - Pn (t o( h = -l Pn (t + l Pn -1 (t + h h 令h ® 0，得差分微分方程 Þ Pn (t ' = -l Pn (t + l Pn -1 (t (两边同乘以e lt 得 elt Pn (t ' + l Pn (t = l Pn -1 (t e lt 或 令n = 1，由(*式，可得： d lt lt - lt (e P =

4、l 1 (t = l e e dt - lt 【*】 由P (0=0,可知P , 用数学归纳法 ，并注意到Pn(0=0,可解得 1 1 (t = l te (l t n Pn (t = e , 再利用增量的平稳性就证明了定义5的（3）。 n! n -1 【*】 - l t (l t 假设(n - 1时成立，即Pn -1 (t = e （n - 1） ! n -1 d lt l (l t (l t n lt 由（*）式， (e Pn (t = Þ e Pn (t = +C dt （n - 1） ! n! (l t n Pn(0=0, 得C = 0, 从而Pn (t = e - lt n! - lt d lt (e Pn (t = l elt Pn -1 (t (* dt 6 似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写 ' 定义5 Þ 定义5 （只需在定义 5的条件下证定义5'的（3）(4成立即可） 由定义5得（3）可得 ¥ lh ( -l h n = l hå = l h1 - l h + o(h 1! n ! n =0 n ¥ - l h ( -l h PN (t + h - N (t ³ 2 = PN (h - N (0 &#