正定二次型的性质及应用

1、摘要.2关键词.2Abstract.2Keywords.2前言.21预备知识.21.1 二次型定义.21.2 正定二次型定义.32正定二次型的性质.33正定二次型的应用.73.1 正定二次型在解决极值问题中的应用.73.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.93.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用.93.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用.103.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用.123.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） .123.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.123.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.13结束语.

2、. .13参考文献.14正定二次型的性质及应用摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质， 结合例题重点介绍了正定二次型 的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等 .关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form isdiscussed. By giving examples, we ma

3、inly introduce the applications of positivedefinite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studyingthe polynomial root and applications in physics et al.Keywords： positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation； partitioned mat

4、rix.、尸、 亠前言二次型是线性代数的主要内容之一， 正定二次型是是实二次型中一类特殊的 二次型，占有特殊的地位 . 正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中 , 且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程 技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的 考察， 有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型 与正定矩阵的一些性质及相关证明， 并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一 些应用.1预备知识1.1 二次型定义设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中的Xi,X2，,Xn的二次齐次多项式f Xi,X2，Xnaii

5、Xi22ai2XiX22ainXiXna22X；2a2nX2Xn+annXn称为数域 P 上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型 .1.2 正定二次型的定义定义 1 实二次型f X1,X2,.,Xn称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数Ci,C2, ,Cn都有f G,C2,Cn0.定义 2 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 XAX 正定.2正定二次型的性质性质 1 实二次型2 2 2f X1,X2,.,Xn=d1y1d2y2dnyn是正定的当且仅当di0,i 1,2, ,n.证明 必要性.因为f Xi,X2,., Xn=diy； dzy；dny；是正定的，所以对于任意的一

6、组不全为零的实数C2, ,Cn都有f CnC2,.,Cn0.于是取一组不全 为零的实数：0,0,0,1,0,0(这里第 i 个为 1,其余 n 1 个为 0)，有f(0,0, ,0,1,0, ,0)=di0,i 1,2, ,n.充分性显然 .性质 2n元实二次型f Xi,X2,.,Xn是正定的充要条件是它的正惯性指数等于 n.证明 设二次型f X1,X2,.,Xn经过非退化实线性替换变成标准型d1y12d2y22dnyn2.(1)上面的讨论表明，f X1,X2,.,Xn正定当且仅当( 1)是正定的，而我们知道， 二次型 是正定的当且仅当di0,i 1,2, , n，即正惯性指数为n.性质 3

7、正定二次型f X1,X2,.,Xn的规范形为2 22y1y2yn，正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵 E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且 仅当它与单位矩阵合同.性质 4 实二次型.f Xi,X2,.,Xn=XAX，正定的必要条件为 A 0证明 有实二次型知 A 是一正定矩阵，因为 A 与单位矩阵合同，所以有可逆 矩阵 C 使A CEC CC.两边取行列式，就有A CC |C|20.性质 5 实二次型f xi,X2,.,Xn=XAX 为正定的充分必要条件是 A 的特征值 都是正数.性质 6 若 A 是正定矩阵，则 A1也是正定矩阵.证明 如果 A 正定，则由性质 2 知 A 0，因而 A 可逆，

8、且其存在可逆矩阵II444 T ,使 A TT，将等式两边取逆有A T T ，令C (T )，于是A1CC CEC，所以 A1也是正定矩阵.性质 7 若 A 是正定矩阵，则对任意的实数 k，kA 也是正定矩阵.证明 因为 A 正定，所以对任意n维实向量 X 0,都有XAX 0，若 k 0，则x(kA)X k(xAX)0，故 kA 为正定矩阵.性质 8 若 A 是正定矩阵，则 A 的伴随矩阵 A*也是正定矩阵.证明 因为 A 正定，因而 A 0,且有性质四知 A1也正定，而 A*= AA1， 又由性质 5 知A*为正定矩阵性质 9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.证明 若 A 正定，则 A 与单位矩

9、阵 E 合同，若 B 也正定，则 B 也与 E 合同， 即 A、B都与单位矩阵 E 合同，故 A、B 合同.反之，若 A、B 合同，且 A 正定，即 A 与单位矩阵 E 合同，所以 B 也与 E 合 同，故 B也为正定的.综上，结论成立.性质 10 若 A、B 为正定矩阵，则 A B 也为正定矩阵.证明 因为 A、B 为正定矩阵，故 XAX , XBX 为正定二次型，于是X(A B)X=XAX XBX 也必为正定二次型，故 A B 为正定矩阵.性质 11 若 A 是正定矩阵，则对任意的正数 k，Ak也是正定矩阵.证明因为 A 正定，那么当 k 2m 时，AkAmAm(Am)Am，Am为实可逆矩

10、阵，所以 Ak正定；当 k 2m 1 时，Ak(Am)AAm，因而 Ak与 A 合同，有性质 7 知 Ak为正定矩阵 .所以无论哪种情况， Ak都正定.性质 12 实二次型x1,x2,.,xnnnaijxixj=XAX，i1j1矩阵 A 的主对角线上的元素都大于零.x1证明因为 A 是正定矩阵，于是对任何 XX20，其中aj(i, j 1,2,n)为 A 的元素，令0XI1（ i 行）i 1,2,n,0恒有xn1f x1,x2,.,xn=XAXnnaijxixj0i 1 j1那么XiAXiaH0, i 1,2,n,证毕.an 1,1an 1,n 1an 1,nnn是正定的充分必要条件为矩阵A的

11、顺序主子式全大于零c1, ,ck，有nnfk(c1, ,ck)aijcicjf(c1, , ck,0, ,0) 0i1j1因此fk(x，Xk)是正定的.由性质 4,fk的矩阵行列式a11a1k0,k 1, ,nak1akk这就证明了矩阵 A 的顺序主子式大于零再证充分性.对n作数学归纳法.当 n 1 时,由条件a110显然有f(x1)是正定的.f (x1,x2,xn)nnaijxixji1 j 1是正定的.对于每个 k，1 k n ,令nnfk(x1, ,xk)aijxixji 1 j1证明 先证必要性 . 设二次型我们来证fk是一个 k 元的正定二次型性质 13 实二次型f (x1,x2,x

12、n)aijxixj=XAXi1j1. 对于任意一组不全为零的实数f (x1)2a11x1,an 1,1an 1,n 1an 1,n假设充分性的判断对于 n 1 元二次型已经成立，现在来证n元的情形.令a11a1,n 1a1nA11于是矩阵 A 可以分块写成A a Aaann就有AC两边取行列式,a.有条件，A 0，因此 a 0.显然既然 A 的顺序主子式全大于零,当然Ai的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，Ai是正定矩阵，换句话说,有可逆的 n 1 级矩阵 G 使G AG这里En 1代表 n 1 级单位矩阵.令C1于是CiAGannEn 1G a aGann再令C2En 10Ga1C2G A

13、CQ2En 1aGEn 1aGGaannEn0En 10II0anna GG aC1C2，annaGGa a，1 111a. a1a这就是说，矩阵 A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型fk（X1, ,xQ是正定的根据归纳法原理，充分性得证3正定二次型的应用3.1 正定二次型在解决极值问题中的应用定理 1 设n元实函数f X1,X2,.,Xn在点Po的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数f X1,X2,.,Xn在点Po近旁有性质：1） 若 XAX 正定，则Po为极小点；2） 若 XAX 负定，则po为极大点；3） 若 XAX 不定，则po非极大或极小点；4） 其余

14、情形时，f X1,X2，,Xn在Po性质有待研究余项 R 的性质来确定特别当f X1,X2,.,Xn是二次函数时，R=o 只要 XAX 半正（负）定，则po为极小（大）点求函数z xyln（x2y2）的极值,112e，（符号任意搭配），Zxyin (x2y22x2y-2 xzyxln (x2c22、2xyy )22x y解方程组ZXzyo，易得o2e2xy2(3x2y2)zyyT22、2(X y )ZXX2xy(x23y2)T2(x y )Sn 1SnS2n 23.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.例 2 设 A，B 分别是m n阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C为正定矩阵.解可证 C 是正定矩阵

15、.因为 A， B 都是实对称矩阵，从而 C 也是实对称矩阵且任意的X Rmn,X故 C 是正定矩阵.3.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用于是 Az极小ZxyZyxln(x经计算得y2)2(x4y4)2 2 2 (x y )2正定;不定.故，在z取极小值,丄2e0是否X CX(Xi,X2)XiX2X1AX1X2BX2，XXiX2其中，X,Rm，X2Rn， 且至少有一个是非零向量，于是X CX(X；,X2)AXiX2X1AX1X2BX20.kkSkx1x2S0kS1xn，SS,S2Sn 1SnA)点,(1,0),(0,z极大0220ZxyZyyZxxZyx11(飞飞)1 1(-yp)

16、12e11(飞飞)Sn 1SnS2n 2例 3 设n次实系数多项式f(x)的根为x, x2,Xn，令证明易证S TT；这里 Tn 1 n 1n 1XiX2Xn必要性 设x,X2, ,Xn是n个互异实根，因为|T 是范德蒙行列式，所以T 0，即 T 是非奇异的.又因为S TT TET,所以 S 与 E 合同，即 S 正定.充分性设 S 是正定的，所以 T|0，那么 Xi互异.若X1,X2, , Xn中有非实数，例如X1，那么X1的共轭数X1也是f (x)的根不妨1_1f a Sa aTT a ( 1,1,0,0)0f(X)的n个根为互异的实根.3.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应

17、用例 4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程.3X22y22z22xy 8X6y 2z 30310设x2X1.因为 T 是非奇异的.所以线性方程组a0X1a1n 1dX1an 11a。x1a1n 1X1an 11(2)a。Xja1xn 1an 10j 3, ,n有唯解a(a,a1,? an1)0.因为 S 是正定的，所以，作为二次型的YSY是正定的,由(2)式有2.这与f是正定即 S 是正定的矛盾，所以X1,X2,Xn中不能有非实数的复数，所以其中X(x, y, z),B( 4, 3,1), A 120.0 0 2作平移代换,X Y a,a(81,82,83)，则有(Y a)A(Y a) 2

18、B(Y a) 30即YAY YAa aAYa Aa2 BY 2Ba 30令a Aa 2B a 3又因为YAa aAY, AA所以YAY 2( Aa B)Y0适当选取a，使 AaB，由秩A秩A 3知：AaB （线性方程组）有唯一解：aia21,aa-.29由 A,a,B 可得 -号，又因为 A 是可逆实对称阵，所以存在正交阵1TAT其中T 使得5-52-Z3.为 A 的特征根作正交线形替换Y TZ,Z（Z；,Z2，Z3）,则2Y AY1Zi即，原方程可以化简为22Z223Z3,22Zi5.52-Z222Zi3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用众所周知线形方程组a11X1a12X2a1

19、sXsb10a21X1a22X2a2sXsb20可能无解an1X1an2X2ansXsbn0即任意一组，,xs都可能使yn(ai1X1ai2X2aisXsbi）不等于零，我i1们设法找X1,X0,.,X0使 y 最小，这样X0,X；,.,X0称为方程组的最小解，这种问题 就叫最小二乘法问题 .若记 A 为上述线性方程组的系数矩阵，B （b1, b2bn）T，于是使得 y 值最 小的 X 一定是方程组XAX=XB的解，而其系数矩阵A A是一个正定矩阵，它 的惯性指数等于n，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解 .3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）定理 设

20、V 是 R 上的欧氏空间，那么 V 的内积与n阶正定矩阵是一一对应 的.3.7正定二次型在解线性方程组中的应用 .例 5 （ 1）用矩阵给出平面上n个点R（Xj,yi）共线的充分必要条件（2）设 A 是n阶满秩矩阵，试证，X（AA）X是一个正定二次型，这里XX1,X2,.,Xn.解 （1）设直线y kX b，n个点共线是指线性方程组（把k,b看成未知 量）kX1by1kX2by2kXnbyn有 解 ， 所 以n个 点Pi（Xi,yi）共 线所以方程组有解1x111 x1y1秩秩1xn1 xnynIIAIX(A)1丫是非退化现行替换，且X(AA)X丫丫y12y22yn2，定二次型 .3.8正定二次型在物理力学问题中的应用因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现， 这 事应用中很重要的一个问题 .命题 设 A 是n阶正定矩阵， B 是n阶实对矩阵， 则存在n阶可逆矩阵 S , 使得SAS E,SBS,其中为对角阵.证明 因为 A 是正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵Si，使得SiASiE,令B SBS显然B1仍为实对称矩阵， 所以存在n阶正交矩阵S2， 使得S2BiS2diag(i 2,n)取 S1S2S ，则有