常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1 分布 B (1 , p)Ppq二项分布 B (n, p)PiP X iCnpiqn i(q 1p),(i 1,2,., n)npnpq泊松分布 P(入)ipiP X i e(i o,1,2,3)i!入入均匀分布 U(a,b)f (x)占或 f(x)厶等b ara b2(b a)212正态分布 N (,2)1f(x) -e2(x,0)2指数分布 E (入)仃、ex,x 0f (x)0,x01122 2分布，(n)X1,X2,.Xn相互独立，且 都服从 标准正态分布 N(0,1)2v2 2 2X1X2Xnn2nt分布，t(n)2XX : N(

2、0,1) Y : x2(n)tY/n0n / c、 n 2(n 2)概率与数理统计重点摘要X1、 正态分布的计算：F(x) P(X x) ()。2、 随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求Y f(X)的概率密度：fY(y)fX(x)h(y) h(y)。(参见 P66x y3、 分布函数F(x, y)f(u,v)dudv具有以下基本性质：、是变量 x，y 的非降函数；、0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有：F( , y) F(x, )0；、F(x, y)关于 x 右连续，关于 y 右连续；、对于任意的(xi, yd(X2, y2), XiX2,yi月2，有下述不等式

3、成立：Fgy) F(Xi,y2)F(X2,yJ FyJ 04、一个重要的分布函数:F (x, y)丄(一arctan)( arctan$)的概率密度为:232f(x, y)F(X, y)x y6222(X 4)( y 9)fx(X)f (x,y)dy边缘概率密度：fY(y)f (x, y)dxFX(X)XF(x,)f (u, y)dydu边缘分布函数：FY()yF( ,y)f (x, v)dxdv5、二维随机变量的边缘分布:二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。72)7、两个独立随机变量之和的概率密度:fzfx(x)fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy其中 Z = X + Y6、随机

4、变量的独立性：若F(x, y) FX(x)FY(y)则称随机变量 X, Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。2 2 2 28、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N(aib2,aib22 210、方差：D(X) E(X ) (E(X)。若 X，Y 不相关，则D(X Y) D(X) D(Y)，否则D(X Y)D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)，D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(YE(Y)，若 X, Y 独立，则Cov(X,Y) 0,此时称：X 与 Y 不相关。12、相关系数:XYCov(X,

5、Y) _Cov (X, Y)_(X) (Y)一D(X)：D(Y)XY1，当且仅当 X 与 Y 存在线性关系时XY1，且XY1,当b0;1,当b0。13、k 阶原点矩：vkkE(X ), k 阶中心矩:kkE(X E(X)。14、切比雪夫不等式：P X E(X)D,或P X E(X)1 D尊。贝努利大数定律:lim P15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:1n1n因P一Xi12，所以lim P一Xini 1nn 0ni 116、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和nZnXi的分布近似于正态分布N(n ,n2)。i 17、两个独立随机变量之和的概率密度

6、:fzfx(x)fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy其中 Z = X + Y9、期望的性质： ( 3)、E(X Y) E(X) E(Y); (4)、若 X , Y 相互独立，则E(XY) E(X)E(Y)变量的均值当 n 充分大时，近似服从正态分布N( )。n、由上可知：lim P a Znb (b)(a) P a Znb (b)(a)。17、 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对任意x,lim Px (x)，其中q 1 p。n.叩q(1) 、当 n 充分大时，m 近似服从正态分布，N(np npq)。(2

7、) 、当 n 充分大时，m近似服从正态分布，N(严。nn18、 参数的矩估计和似然估计：(参见 P200)19、 正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间已知ux町x U, X u- 7n一7 n未知tx麻sxt (n“手,x t (n1s-7n-寸n未知2(n 1)s2(n 1)s2(n 1)s2(2)、对于X1,X2,.Xn的平均值XXi,ni 1有E(X)E(Xi)ni 1D(X)2 D(Xi)ni 1n2n，即独立同分布的随机n2(n 1)2(n 1)J1 22 21 2未知t(x y) (12)讥SwV n1n22 2其中2m 1)s(n21)S2其中sw,(x y) t (n1n22)sJ一V n1n220、关于正态总值均值及方差的假