基变换与坐标变换

1、辽东学院教案纸第641页课程：高等代数4 基变换与坐标变换教学目的通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式.教学内容在数域 F 上的 n 维向量空间 V 中，若取定一个基:n，则 V 中每个向量o在这个基下有唯一确定的坐标.对于不同的基，同一 个向量a的坐标一般是不同的.本节讨论基的变动，以及同一个向量 的坐标是如何随其变化的.4.1 基变换设冷,:n与丁，:n是 V 的两个基，则Pi=aiioti+a2ict2十八 *ani0(n卫2 =ai2dl+a22C(2十+an2n(“.Bn=ainO(i+玄2|1口2十八 +annn将(1)用矩阵表示，记作M, 4,，冷

2、二：-1, 2/ ,:-nA,其中 A=(aj)nn Mn(F) . (2) 请注意，的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素 冷，:2,：n构成有序元素组(冷，2，n),不是以数域 F 的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F 上的有序数组一样的运算性质.对于具体的n 维列(行)向量空间 Fn,由于,，：n都是 n 元有序数组，因此当：j,，覚n为列向量时，有序元数组(：-1, 2，: n)表示以：1,：2/ ,: n为列的矩阵，这时 正好是第 一章讲的矩阵乘法形式.设(1,，n)与(九2，X)是 V 的两个向量组，A=(aj)nn, B=(bj) Mn(F)，则上述矩阵

3、形式写法满足以下运算规则：(：1，：2, :n)A)B=(：1，：2，：n)(AB),(：1,：2,：n)A+(：1,：: n)B =(：1, ：2,： n)(A+B),(：1,：2,：n)A+(：1,-2/ ,- n)A=(冷1，2,：nn)A.因为上述矩阵形式写法的定义与矩阵乘法的定义在形 式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一 遍，便得出上述三个规则.因此，这里将其证明略述.课程：高等代数公式（2）中出现的矩阵 A 叫做由基:1, ： 爲n到基“，込，凡 的过渡矩阵.辽东学院教案纸第642页命题 6.4.1 在 n 维向量空间 V 中，基二，2,：n到基-1，-2/，n的过渡

4、矩阵是可逆矩阵.证 设（】，很,，-n）=（1,：2：F）A,要证 A 可逆.用反证法， 假如 A 不可逆，则|A|=0 .于是齐次线性方程组AX=0 有非零解，取一个非零解丫=，有!C1 汕 +C2B2卄 +Cn0n =（Bl,02,，血）| :=（1，口2， , a A 丫=gi，口2， , a n $ AY ）=0 .这表明+，2，-n线性相关，矛盾.因此A 可逆.命题 6.4.2 设冷，：2, ,:-n是 V 的一个基，：，：nV,且 （01，%,，B n）=（S 02,an）A .若 A 可逆，则二2/ ,-n是 V 的一个基.证只要证讯：2,订线性无关即可.假设k1卄2爲+比氏=8

5、则ik/ “ 日=（広駡，Bn存=01,a?,，务A、.丿 0)维向量空间，A 是由 V 的基 ：1，：2,:n到基-1，-2,，-n的过渡矩阵，则V 中向量a在基：1,：2, : n下的坐标(Xi, X2/ , Xn)与在M, 2/ ,：n下的坐 标(yi, y2/ , yn)由等式 联系着.例 1 取 V2的两个彼此正交的单位向量 ；2，作成 V2的一个基.令1,2分别是由1和；2旋转角二所得的向量(图 6-1)，则弘2也是 V2的一个基，且有匕图 61所以1,；2到；1,2的过渡矩阵是cos J -sin rsi nv cos：=(1， 2，f、yirf、y1n)Ay?lyn 因此，再注

6、意到，则由坐标的唯一性得到X1xX?=Ay2込nJgnyi=(，:2/，i 4辽东学院教案纸课程：高等代数第644页设 V2的一个向量 a 在.,2下的坐标是(X1, X2), 标是(右；x2),则由定理 6.4.2 得x1= x；cos 8 - x2 sin 8，x2=x；sin 0 + x；cosT .这正是平面解析几何里转轴的坐标变换公式.例 2 在 F3中，设0(!=(1,0 , - 1 ) ,0(2=(2 ,1 ,1 ) ,0(3=(111)，=(0,1 ,1 ) ,2=(1 ,1 ,0)，03=(1 ,2,1),-(2,5 ,3 ),求基冷，:2,：-3到基M,：2,：3的过渡矩阵 T,并且求a分别在这两 个基下的坐标.解设为a的转置.因为:=kvM k2：2 k3：3k2：2 k3：3所以1, -2, ：3：洛，2,：3T= !, -2,i-1,：2,：3T.于是，设 A=( 1,畑 心),B=(-1,-2,-3),则从(：1,l；-2,1；-3)=(：-1,：2 : 3)T 得出，B=AT.为了求 T,需要解这个矩阵方程，可按 第一章的方法求解.因为f4、(11210-111100011行变换01111 2 4-0 10-1-3-2-11110 1001244J7所以，过渡矩阵011、T = -1-3-2I244丿设a在基：2,飞下的坐标为