因式分解拓展题及解答必考题型

1、因式分解拓展题解板块一：换元法【解析】将x24x 8u看成一个字母， 可利用十字相乘得原式2 2u 3xu 2x (u x)(u2x)(x24x8 x)(x24x8 2x)(x25x 8)(x26x 8) (x2)(x4)(x25x8)例 2 分解因式：2 2(x 5x 2)(x 5x 3)12【解析】 方法 1 :将 x25x 看作一个整体, 设x25x t，则原式= (t 2)(t3) 12t25t 6 (t1)(t 6)(x 2)( x3)(x25x 1)方法 2:将 x25x 2 看作一个整体，设 x25x2 t ,则原式= t(t 1) 12 t2t12(t 3)(t4) (x2)(

2、x3)(x25x1)方法 3 :将 x25x 3 看作一个整体， 过程略如果学生的能力到-定的程度,甚至例 1 分解因式:(X24x 8)23x(x24x 8) 2x22x 5x 看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式2 2(x 5x)5(x25x)6(x25x1)(x2【巩固】分解因式:(x1)(x3)(x5)(x7)15【解析】 (x 2)(x6)( x28x10)【巩固】分解因式:(x2x1)(x2x 2)12【解析】 (x 1)(x2)(x2x5)连换元都不用，直接把5x 6) (x 2)( x1 是整数的平方.例 3 证明：四个连续整数的乘积加【解析】3) (x25x1).(

3、x 1)(x设这四个连续整数为:2)( x3)(x 4) 1465x(x 1)(x 4)( x 2)( x3)(x25x4)( x25x6) 1原式(x25x 5) 1(x25x5)1 1若 x , y是1整数， 求证:x yx2y xx yx2y x 3yx4y4yx(x25xy4y2)(x25xy6y2)4y令 x25xy4y2u上式u(u2、42y ) y(uy2)2(x25xy即 xy x:2y x3yx 4yy2(x【巩固】3y【解析】y x(x22 25y )225x5)21 (x25x5)24y4y2 25xy 5y )1 / 71 / 7y4是一个完全平方数x 2y x 3yy

4、42/ 72 / 70例 4 分解因式(2a 5)(a29)(2a 7) 91【解析】原式(2 a 5)(a 3)( a 3)(2a 7) 91(2 a2a 15)(2a2a 21) 91设 2a2a 15 x,222原式 x(x 6) 91 x 6x 91 (x 13)( x 7) (2 aa 28)(2a a 8)(a 4)(2 a 7)(2 a2a 8)【巩固】分解因式(x23x 2)(38x4x2)90【解析】原式(x 1)(x2)(2 x1)(2x3)90 (2x25x3)(2x25x 2)90y 2x25x原式(y 3)(y 2)90 y25y84(y 12)(y7)(2x25x

5、12)(2 x 7)( x1)例 5 分解因式：4(3x2x 1)(x22x3) (4x2x 4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现:(3x2x1) (x22x 3) 4x2x4 ,故可设 3x2x1 A,x22x3B，则 4x2x4 AB.故原式=4AB(A B)2A2：B2!2AB(AB)222222(3xx 1)(x2x3)(2x3x 2).【巩固】分解因式：(ab 2ab)(a b2)(1 ab)2【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4 个 地 方 ， 故 采 取 换 元 法 后 会 大 大 简【解析】设 yx 1 x 3x 2，则原式=(y1)44(y 1)2724

6、22(y 6y 1) 27222(y46y2135)2(y29)( y215)2( y3)( y 3)(y215)2(x25)(x 1)(x4x 19)【巩固】分解因式：a444(a 4)4有理根：有理根 cP的分子p是常数项 ao的因数，分母q是首项系数 q例 7 分解因式：2x3x25x 2【巩固】a。2 的因数是1，2，an2 的因数是1，1 因此，原式的有理根只可能是1,2(分母为 1),-.2【解析】则原式:=(x 2y)(x 2)(y)22x 2xy2y 2y 2x1 (x2y) 2(x y) 1(x y1)2(a2 2b ab 1)(1 a) (1例 6 分解因式：(x 1)4(

7、x 3)4272化计算过程，不妨设 a b x,ab y，b)2【解析】 为方便运算，更加对称起见，我们令x a 2a444(a4)4(x2)4(x 2)4424 (x2 24x 4) (x 4x2(x424x216)2562(x424x2144) 2(x212)22(a 2)2122板块二:因式定理244)42(a24a 16)2因式定理：如果 x a 时，多项式 anxnan 1xn 1式的一个因式ax a的值为 0 ,那么 x a 是该多项an的因数.2x23x 2x 1 2x3x25x 2322x 2x3x25x4/ 72 / 70因为 f (1) 2 1526 , f( 1)2 15

8、 20 ,2x 22x 2于是1是 f(x)的一个根，从而 x 1 是 f(x)的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幕排列，没有的补0:2可得原式(2x 3x 2)(x 1) (x 2)(2 x 1)(x 1)点评：观察，如果多项式 f(x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，贝曲明 f(1) 0 ；f( 1) 0.54322x 3x 4x 3x 2x 1原式 (X1)(x5X42x32x12X1)容易验证1也是 X543x 2x2x2x 1的根，54XX322x 2xX 1 (x1)(x42x21) (X1)(x21)2,所以 X6542x 3x“324x 3x

9、2x1 (x 1)2(x21)2【巩固】分解因式:3c 2x 9x2y 26xy24y31,4y)1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1是根，所以原式有因式 x如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明【巩固】分解因式：x6解析：本题有理根只可能为解析：x39x2y 26 xy224y3(x 2y)(x例 8 分解因式：x3(a b c)x2(ab bc3y)(xca)x abc【解析】常数项abc的因数为ab,bc,ca,abca3(a【巩固】把 x a 代入原式，得23b c)a (ab bc ca)a abc a所以 a 是原式的根，x3(a b(x3ax2)

10、(x a) x2分解因式：2ba2ca a2b abc2a c abc 0【解析】x a 是原式的因式，并且2c)x (ab bc ca)x abc2(b c)x a(b c)x (bcx abc) (b c)x bc(I m)x3(3I如果多项式的系数的和等于(x2ma)(x b)(x c).2n)x (2l m 3n)x2(m n)和减去奇次项系数的和等于(I n) (31 2m n) (2l所以 x 1 是原式的因式，并且(I m)x3(3I 2m n )x2(21那么 1 一定是它的根；定是它的根.0如果多项式的偶次项系数的那么13n)2(m n)现在正是这样:m 3n )x 2(mn

11、)3 2 2(I m)x (I m)x (21 m n)x(x 1)(Im)x2(21 m n)x 2(m待定系数法(2l mn) (xn)x1)(x2( m2)(lxn)xmx2(m n)m n)板块三：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等即，如果nn 1nanXan 1Xan 2X那么anbn,an 1bn 1，a1例 9 用待定系数法分解因式： x5原式的有理根只可能为【解析】| x1a。D ,a0b0.X 11，但是这 2 个数都不能使原式的值为0,所以原式没有bnxnnbn 1X1bnn 22XIII Dx1bg故 x5x有理根,21 (x5x因而也没有ax 1)(x31

12、(x2ax(有理系数的)一次因式.cx 1)或 X5X 1 (X2bx2cx 1) x5(abx21)(x332ax 1)(x bx cx 1)b)x4(ab c 1)x3(ac b 1)x2(a c)x 13/73/76/ 72 / 707/ 74 / 7ab0ab 10a1eb1，所以 x5x 1 (x2x 1)(x3x21)故b1，解得ae0e0ae1事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况【巩固】 x4x21 是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积4 2 2 2解析： 我们知道 x4x21 (x2x 1)(x2x 1).x4x21 不能分解成两个整系数的二次因式的乘积如 果 x4

13、x21 能 够 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 为 (x2所以， X4X21 不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)【巩固】 X6X31 能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析： 设X6X31 (X3aX2bX 1)(X3cX2dX 1)，ac0比较 x5, x3及 x 的系数，得 ad be 1b d 0e a ，d b,再把它们代入第二个方程中，得ab ab 1矛盾 !所以， x6x31 不可能分解为两个整系数的三次因式的积例 10 分解因式： x4x32x2x 3解析】 原式的有理根只可能为1，3，但是这四个数都不能使原式的值为 0 ，所以

14、原式从(5)可以得出db 13或bd13，当然也可能是d3d3在这个例子中由于因式的次序无关紧要，以分为两个整系数的二次因式的乘积由于原式是首 1 的(首项系数为 1)，两个二次因式也应当是首 1 的4322于是，设 x x 2x x 3 (x2ax b)(x2cx d)其中整系数a、b、c、d有待我们去确疋.比较式两边x , x , x 的系数ac1(2)及常数项，得b d ac 2(3)bc ad1(4)bd 3(5)没有有理根，因而也没有(有理系数的 ) 一次因式我们设想 x4x32x2x 3 可这样的方程组，一般说来是不容易解的不过，别忘了b、d是整数 !根据这一点，22(x2ax 1

15、)(x2bx 1)比较 X3与 X2的系数可得：由得b a，代入得 a22a b 0(1)ab 21(2)1，即 a23 或 a21，没有整数a 能满足这两个方程aX 1)(X2bX 1) 或由第一个方程与第三个方程可得331或8/ 74 / 7我们可以认为只有bd13或db 13这两种情况9/ 74 / 7将b 1,d 3，代入(4)，得c 3a 1将与相减得2a 2，于是 a 1，再由得c 2这一组数 (a 1 ,b 1,c 2,d 3)不仅适合、，而且适合.因此 x4x32x2x 3 (x2x 1)(x22x 3)将 b 1 ,d 3，代人，得c 3a 1将与 相加得2a 0.于是a 0

16、，再由 得 c 1.这一组数(aO, b 1 , c 1 ,d3)，虽然适合、，却不适合，因而 x4x32x2x 3 (x21)(x2x 3).事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式， 考虑有没有其他的解纯属多余,毫无必要.板块四：轮换式与对称式对称式：x、y的多项式x y,xy, x2y2, x3y3, x2y xy2， 在字母 x 与y互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y的对称式.类似地，关于x、y、z的多项式x y z,x2y2z2,xy yz zx,x3y3z3,2 2 2 2 2 2x y x z y z y x z x z y ,xyz，在字母x、y、

17、z中任意两字互换时，保持不变. 这样的多项式称为 x、y z 的对称式.轮换式：关于x、y、z的多项式x y z,x2y2z2,xy yz zx,x3y3z3,2 2 2 2 2 2x y y z z x , xy yz zx ,xyz在将字母x、 y、 z轮换 ( 即将 x 换成y y换成 z z 换成 x) 时 保持不变.这样的多项式称为x、y、z的轮换式.显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z的轮换式. 但是，关于x、y, z的轮换式不一定是对称式例如，x2y y2z z2x 就不是对称式.次数低于 3 的轮换式同时也是对称式.两个轮换式 (对称式 )的和、差、积、商 (假定被除式

18、能被除式整除 )仍然是轮换式 (对称式). 例 11：分解因式： x2(yz) y2(z x) z2(x y)解析：x2(y z) y2(z x) z2(x y)是关于x、y、z的轮换式.如果把 x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作关于 x 的多项式，那么在x y时，2 2 2它的值为 y (y z) y (z y) z (y y) 0.因此，x y是 x2(y z) y2(z x) z2(x y)的因式. 由于 x2(y z) y2(z x) z2(x y)是x、y、z的轮换式， 可知y z与 zx 也是它的因式.从而它们的积(x y)(y z)(z x) 2 2 2是 x2(

19、y z) y2(z x) z2(x y) 的因式.由于 、都是x、 y、 z的三次多项式， 所以两者至多相差一个常数因数 k ，即有2 2 2x2(y z) y2(z .x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x)现在我们来确定常数k的值为此，比较的两边 x2y 的系数：左边系数为 1, 右边系数为 k 因此，k 1 .于是 x2(y z) y2(z x) z2(x y) (x y)(y z)(z x)思路 2 :利用 y z= (y x) (z x).例 12 分解因式： xy(x2y2) yz(y2z2) zx(z2x2)10/ 74 / 7【解析】此式是关于 x ,y, z 的

20、四次齐次轮换式，注意到x y时，原式 0,故x y是 原式的一个因式 .故原式 (x y z)(x y)(y z)(z x).思路 2 :利用 x2-y2= (x2-z2)+(z2 y2).家庭作业练习 1 分解因式: 4(x 5)(x 6)(x 10)(x 12)原式 4(x217x 60)(x216x 60) 3x24 (x22 2 2 24(x216x60)24x(x216x60) 3x2222(x216x60)x2( x216x60)3x2 2 2(2x231x 120)(2x235x 120)(2x 15)(x 8)(2x235x 120)练习 2要使 x 1 x 3 x 4 x 8

21、m 为完全平方式，则常数m 的值为 _【解析】x 1 x3x4x8m(x25x24)(x25x 24)m(x25x)220(x25x)96m ，则m 196练习 3分解因式:22(x26x 8)(x214x48)12【解析】原式 (x2)(x 4)(x 6)(x8)12(x2210 x16)(x210 x24) 12设 tx210 x 16 ，则原式 t(t8) 12 (t 2)(t6)(x210 x218)(x210 x22)练习 4 分解因式:2 2 2(x2xyy2)24xy(2xy2)【解析】22设x2y2a ， xy b ，则原式(ab)224ab (a b)2(x22yxy)2.练

22、习 5 分解因式:2x3x25x 2【解析】322x x5x 2 (x 2)(2x1)(x 1)练习 6分解因式:x36x211x6【解析】32x 6x211x6 (x 1)(x25x 6)(x1)(x 2)(x 3)练习 7用待定系数法分解:x5x41【解析】 原 式的有理根只可能为1， 但是这 2 个数都不能使原式的值为0， 所以原式没有事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况练习 8分解因式:a3(bc)b3(c3a) c3(a b)有理根，因而也没有(有理系数的 )一次因式故x5x41(x2ax 1)(x3bx2cx 1)或x5x41(x2ax1)(x3bx2cx 1)5xx412(x ax1)(x3bx2cx 1) x5(a b)x4(ab c1)x33(ac b 1)xab1a 1故c ab1 0，解得 b0 ，所以 x5x41 (x2x 1)(x3x1)ac b10c1(a c)x 1同理，y z, z x 均是原式的因式,有一个一次轮换式，设其为 k(x y而 (x y)(y z)(z x) 是三次轮换式， z)，故还应故原式k(x y z)(x y)(y z)(zx) ，展开并比较系数可知，23x216x 60) x (x216x 60) 3x2a c 01