反证法证明题简单

1、精心整理精心整理反证法证明题例 1.已知A,B,C为ABC内角.求证：A,B,C中至少有一个不小于 60。.证明：假设ABC的三个内角A，B，C都小于 60。,即A60。，B60。，C60。，所以ABC 180，与三角形内角和等于 180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例 2.已知a 0，证明 X 的方程ax b有且只有一个根.证明：由于a 0，因此方程ax b至少有一个根x -.a假设方程ax b至少存在两个根，不妨设两根分别为捲必且XiX2，贝卩axjb, ax2b，所以axiax?, 所以a(XiX2) 0.因为x1x2，所以x1x20, 所以a 0，与已知a 0矛盾， 所以假设

2、不成立，所求证结论成立.例 3.已知a3b32,求证a b2.证明：假设a b 2，贝卩有a2b,所以a3(2b)3即a38 12b6b2b3,精心整理精心整理所以a38 12b 6b2b36(b 1)22.因为6(b 1)22 2所以a3b32，与已知a3b32矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例 4设an是公比为的等比数列，Sn为它的前 n 项和.求证：Sn不是等比数列.证明：假设是Sn等比数列，则S；SiS3，即a2(1 q)2aiai(1 q q2).因为等比数列ai0，所以(1 q)21 q q2即q 0,与等比数列q 0矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例 5.证明；2是无

3、理数.证明：假设迈是有理数，则存在互为质数的整数 m, n 使得 V2 .n所以m x. 2n即m22n2，所以m2为偶数，所以m为偶数.所以设m 2k(k N*)，从而有4k22n2即n22k2.所以n2也为偶数，所以n为偶数.与 m，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证.2是无理数成立.例 6.已知直线a,b和平面，如果a ,b，且a/b，求证a/。精心整理证明：因为a/b,所以经过直线 a,b 确定一个平面精心整理精心整理因为a，而a,所以与是两个不同的平面.因为b，且b,所以Ib.下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点.假 设直线 a 与平面 有公共点P，则PI b， 即点P

4、是直线 a 与 b 的公共点， 这与a/b矛盾.所以a/.例 7.已知 0a,b,c1 ,(2 b)a1 ,(2 c)b1 ,则(2 a)c(2 b)a(2 c)b1-又因为设 0a,b,c2, (2 a)a(2 a) a1,2同理(2 b)b 1(2 c)cl所以(2 a)c(2 b)a(2 c)b0，且 x+y2，则1 y和1 x中至少有一个小于 2x y证明：假设J 2 J 2xy因为 x,y0,所以1 y 2x,1 x 2y,可得 x+y2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.精心整理精心整理例 9.设 0a,b,c-,(1 b)c-,(1 c)a-,44则三式相乘：ab(1 a)b?(1又T0a,b,c1.0 (1 a)a同理：(1 b)b1,(1 c)c-44以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c与矛盾所以原式成立例 10.设二次函数f(x) x2px q，求证：f(1), f(2), f(3)中至少有一个不小于-.证明：假设f(1), f(2), f(3)|都小于1,则|f(1)| 2|f(2)| |f(3)|2.(1)另一方面，由绝对值不等式的性质，有f(1)| 2|f(2)| |f(3)| |f(1) 2f(2) f(3)|(2)(1 P q) 2(