几种常见的放缩法证明不等式的方法

1、12n(2n -1)bn的前n项和为TnFor pers onal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。例 1.1.bn满足：bi_1,bn 1二畀-（n-2）bn3（i i） 用数学归纳法证明：bn_n1 1 1 -+.- +3 b|3 b23 d解: (1)(1)略bm 3弋(0-门)2(0 3)又bn_n-bn 13一2(bn3)，nN*迭乘得：bn2nd(bi 32n11bn3点评：把握“bn3”这一特征对“bn广02-（n - 2）g，3”进行变形，然后去掉

2、一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的，为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加* 1例 2 2数列an,a*= （T）n，其前n项和为S*n(2)TnTn：11-1-2223241 1 1解：=1 +- +2341 _ 12n1 2nb；1(1-12n(2 n-2)4 n-1 n1 1Y-1)J1J12 30 4 3 4 4 5 64n1n点评：本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大， 命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。K例 3.3

3、.已知函数f(x)=axc(a 0)的图象在(1,f(1)处的切线方程为x(1)用a表示出b,c(2)若f (x)n x在1, ：)上恒成立，求a的取值范围1 1 1n(3 3)证明：1亠亠亠:一 .一|n(n 1)2 3 n2( n+1)解：(1 1)( 2 2)略1(3 3)由(IIII )知：当a】：一时,有f (x) _ In x(x _ 1)2111令a ,有f (x)(x一)_lnx(x_1).22x11且当X 1时，(x - ) ln x.2xk +1若，瓷+11k _1k1“丄1、“1 v,令x,有ln:- -(1-一)一(1 -),kk 2 k k+12 kk+11 1 1即

4、ln(k 1) -In k(), k =1,2,3 , n.2 k k +1将上述 n n 个不等式依次相加得整理得当n _2时,1S2T-2ln(n 1) 1(112232(n 1)n点评：本题是 20102010 湖北高考理科第 2121 题。近年，以函数为背景建立一个不等关系, 然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特 别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。ln(n 1)n2(n 1)(1)(2)(3)放缩后迭乘1= 1,3n 1(1 4a16求a2,a3n124an)(n N ). .令- -22诺骨牌效应。只是求n项和时用迭

5、加，求n项乘时用迭乘。以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO员BKOgA.nrogeHK

6、O TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHM仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途以下无正文For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fdierStForschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO员BKOgfljiiogeHKO TOpMenob3ymm