万有引力推导开普勒三大定律

1、For pers onal use only in studyand research; not forcommercial use万有引力推导开普勒定律牛顿万有引力定律 阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的的大小与它 们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。 由于太阳超重于行星， 我们可以假设太阳 是固定的。用方程式表示，F = -Gf厂 ；这里，是太阳作用於行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、1是行星相对于太阳的 位移向量、是1的单位向量。牛顿第二定律 声明：物體受力後所产生的 加速度|，和其所受的淨力F成正比，和其質量 成反比。用方程式表示，。合并这两个方程

2、式,思考位置向量i，随时间 微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：9T =汪+ rr =rr + r&0,-r =(fr+ rr) +(rOO + r39 + r0G = (r r9)r +(r& + 2r90。在这里，我们用到了单位向量微分方程式：0= 亦。合并方程式（1）与（2），可以得到向量运动方程式:(r -r92)r + (r0 + 2r9)0= 一竽Fr取各个分量，我们得到两个 常微分方程式，一个是关于径向加速度， 另一个是关于切向加速 度：导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的 的质量是常数，角动量随时间的导数为e=mr（2r6+祐）=

3、0角动量也是一个运动常数，即使距离 与角速度都可能会随时间变化。r-r护GM角动量= ；F。由于行星从时间 到时间一扫过的区域丄一1,行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间所以，开普勒第二定律是正确的。求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式?编辑开普勒第一定律导引1u =设定。这样，角速度是&0悩“ =2 =-mr- m。随时间微分与随角度微分的关系为d ； d （u2d一=Q一 =_j-o!=,随时间微分徑向距離再微分一次:代入径向运动方程式（3）将此方程式除以，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式星轨道：tir d1m dG udu21dumu2dOEir dr f =m

4、 d00护df1du m dG md& 厂。dff2弋=-GMu2来描述行求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式?d2uGMm2 。特征方程式为GMm2其特解方程式为这里，与 都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式,GMm2“U =T5+E COS8 %)_ 1选择坐标轴，让一八。代回，1GMm2-= + E COS0rt-。假若，则 所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律是正确的。编辑开普勒第三定律导引在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为。

5、那末，太阳作用于行星的万有引力为2?rr度为。依照开普勒第三定律，这速度与半径的平方根Foc 万有引力。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全 确定，因为我们d2u。行星移动速无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。u行星环绕太阳（焦点F1）的椭圆轨道。开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是衣？；这里，与分别为椭圆的 半長軸与半短軸。在开普勒第二定律导引里，行星-太阳连线扫过区域速度dA为dA _ Idt 2m。所以，行星公转周期一为2mTiabT=-。关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸，半短軸与近拱距.（近拱点A与引力中心之间的距离），远拱距-

6、（远拱点B与引力中心之间的距离）的关系分别为a = （rA+ 5）化b=丄 7。如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律,1_91mME = -mrHmr0 G-在近拱点A与远拱点B,径向速度都等于零:稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式:寿GmMQP+Er 2mE=o代入方程式（6）与（7）,GmJId-二y/amy/GMo代入方程式（5），周期的方程式为所以,e2mr2其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距与远拱距.-OGmME+ mE/2TB=GmMGmMV22 ,+后以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only i

7、n study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasadeiafins commerTO员BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymaiflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下无正文ucno员B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe员EX.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pa