三角形中的最值问题

1、第42课三角形中的最值问题考占提要P 八、J人匚二1掌握三角形的概念与基本性质.2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题.基础自测1. ( ABC 中，cosA = V - 3sinA，则 A 的值为 30。或 90(22 ABC中，当 A= 时，cosA 2cos-C取得最大值-_3 2 2sin A: sinB:sinC二m:(m 1):2m，贝U m的取值范围是_m冷_解 由sin A: sin B : sin C = a : b : c = m : (m 1) : 2m,1令a =mk,b = (m 1)k,c= 2mk，由a b c,a c b，得m23.锐角三

2、角形 ABC 中，若 A=2B，贝UB 的取值范围是30ovBV45o .4设 R, r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则-的最大值为.2-1 .R-25.在 ABC 中，内角 A , B, C 所对边的边长分别是a,b,c，若b =3ac，则 B 的取值范围是 0旦w120.6.在 ABC 中，若 AB，则下列不等式中，正确的为 .sin AsinB；cos Asin2B；cos2AB：=ab：= 2Rsi nA2Rsi nB：= si nAs in B，故正确；JIncosAvcosBu si n( A)B，故正确(或由余弦函22数在(0,二)上的单调性知正确)；由cos2Ac

3、os2B= 1-2si n2Asi n BAB，故正确.知识梳理1.直角 ABC 中，内角 A , B, C 所对边的边长分别是a,b, c, C=90若内切圆的半a b -C径为 r，则r ：22.在 ABC 中,2.在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用.它们在处 理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用.例题解析例1已知直角三角形的周长为 1,求其面积的最大值.5.解析方法一设直角三角形的三边长为心扒c.c为斜边，则ac *sioAfb c* cosA.又abJt-c=1,:、sinA 4 cos A+1） 1 -

4、，彳_1_* *Csi nA 4COSJA4- 1T三甫形面积S=寺应仃=匸却哮艺_siMgsA_（sitiA+cosA+D2令 片jiinA + giA=V5in （ A +手） 则sinAcos-A =Z -.T ?! W （ 0号）故A十于E（手，羽衣（1工3尸J_上一1=丄门_2）4（7+1泸4（H D 41广+1八故当尸雄时.面积弘严+（1花倉）二上晋爲注三设直角三角形的三边长为 s 札 G ,为 斜边*则a+办+f 1，即a十0-F丿左+ / 1 * : l = ci + b+、J/ 十 /+ /2ab.解之得g3-严*故三角形面积朋寻空-*“Z Z4 4当且仪当a = b时等号成

5、立.点评例2已知 ABC 中，a=1,b=2.（1 ）求最小内角的最大值；（2）若厶 ABC 是锐角三角形，求第三边 c 的取值范围.S+2c,解（1）由三角形三边关系得第三边c 满足2 c 1,解得1. c : 3，故最小内角为 A.1 C 2,C = J3 时等号成立），所以 AW30即最小内角的最大值为 30AvB,故只需说明 B , C 为锐角即可.点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件.另外 要注意变形的等价性，如“内角A 为锐角=0 4 c 4（当且仅当（2）因为 ABC 是锐角三角形，即 A , B,C 三个角均为锐角，又因为avb,所以由 B ,

6、 C 为锐角得0cOSB ：1,0 cosC : 1,0上上I2c20：丄旦1, - _解得、 ,3 ： ：c”5.1,根据余弦定理得128-(x2-12)216由三角形三边关系有x 2x x 2,x 2、2x,解得2 2-2 x22,代入上式得故当x2=12,x=2 3时SABC取最大值点评2例4如图，已知/ A=30 , P, Q 分别在/ A 的两边上, 时， APQ 的面积最大？并求出 APQ 的最大面积.点评表示三角形的面积可米用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.a c 6_b由b = ac 得0 ： b (当且仅

7、当2ac2ac2ac 2环a=c 时，等号成立)，故有0 ： B3(1)S=】acsin B=-b2sin B- 22sin 3，即Smax3(当且仅当2223a=b= c 时，等号成立);PQ=2.当 P, Q 处于什么位置已知ABC 的周长为 6,|BC|,|CA|,|AB|成等比数列，求:（1）ABC的面积S的最大值;（2）BA BC的取值范围.解 设| BC|,|CA|,| AB|依次为a, b, c,贝 H a+b+c=6, b2= ac.2： b 2, 2 BA BC ：18.点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解. 为函数问题.(2)BA BC=accosBa2c

8、2-b(a c)2-2ac -b222 2(6 -b) -3b2-(b 3)27.（1）为不等式问题，（2）2班级姓名学号1.若直角三角形斜边的长 m （定值），则它的周长的最大值是 2 + 1）AB2.在锐角ABC中，若C6，则-的取值范围是（_2，仝）解AB sinC sin2BAC= 2coS3，而三，丿2空3sin B sin B64AC3.在 ABC中，若b二.2,a =1，则 A 的取值范围是0o卄/遷产十以必W12卡 Qarc=2b,故7、亡成等差数列. 理+_（寺培CQSB =2ac3(a2) 2ac-ac 2ac _1ButSac当且仅当时+等号成立.:Fl y=co胃工在（

9、0兀）内是减函数*0B -24ac2由于ABC 面积_ 1 acsin B,又ac w1/ 2-(ac2) =4,iB屈sin Bw,222当a =c时，两个不等式中等号同时成立，所以ABC 面积的最大值为、1、罷、2cos2v 2 3sin vcosv4cos)(cos sin2 222aacos2r. 3sin2二112(2cos2sin 2 1222aa22aacos2 J一3sin2v 12(lcos2v3s巾2R 12 22sin (2 30) 12sin(2 30 30) 312.备用题1直角 ABC 的斜边 AB=2，内切圆的半径为 r，则 r 的最大值为 _ .2 -12223

10、2.在ABC 中，已知 sin A + sin B = 5sin C,求证：sinC0, C 为锐角，而 5c = a +b 2ab,22故 4c =2abcosC 5c cosC.点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过 程中.3.已知ABC 的内角满足sin B sin C二sin A(cos B - cosC).(1)求 A ;(2)若厶 ABC 的面积为 4，求 ABC 周长的最小值.解(1) T sin B + sin C = sin A(cos B + cos C)t由正、余茏定理可得i 4-c = 卜牝简得声+抢占一胪即 =A 90：V A = 9

11、0 A寺ABX 胚=4AB X AC二乳二三角形周长L = AB +AC +/AB?-|-AC2A 2/ABAC+7ZAB AC =生(吃 +IX4.如图，边长为a的正 ABC 的中心为 O,过 O 任意作直线交 AB、AC 于 M、N ,1 1求22的最大值和最小值.4 cosC ,3sinCw5OM ON5 .如图/ A = 90 / B = , AH = h, , h 为常数，AH 丄 BC 于 H，/ AHE= /AHD = X,问当 x 取何值时， DEH 的面积最大？并求出最大面积.A答案最大值2a最小值52.a以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For person

12、al use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken erwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO员BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下无正文ucno员B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe员EX.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwend