17-18版1空间直角坐标系2空间两点间的距离公式

1、14.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式-学习目标导航- -1了解空间直角坐标系的建系方式.（难点）2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点.（重点、易错点）3 .理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.（难点）4.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题.（重点）I_基础初探教材整理 1 空间直角坐标系阅读教材 P134P135“例 1”以上部分，完成下列问题.1.空间直角坐标系阶段1认知侦习质疑2定义以空间中两两垂直且相交于一点 0 的二条直线分别为 x 轴、V 轴、z 轴.这时就说建立了空间直角坐标系 Oxv 乙其中

2、点 0 叫做坐标原点，x 轴、V 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平 面，分别称为 xOv 平面、yOz平面、zOx 平面3画法在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使/ xOy- i35 / yOz=90图示IX丿0y说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，中指指向 乙轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2.空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x, y, z)来表示，有序实数组(x, y, z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x, y, z)，其中

3、x 叫做点 M 的 横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标.-O微牡验O-判断(正确的打“V”，错误的打“X”)c).()【解析】 (1)错误.x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为 0.(2)、(3)、(4)正确.【答案】(1)X V(3)VV教材整理 2 空间两点间的距离公式阅读教材 P136“练习”以下至 Pl37部分，完成下列问题.1.点 P(x, y, z)到坐标原点 0(0,0,0)的距离 |0P|= .X2+ y2+ z2.2 .任意两点Pl(xi,yi,乙),P2(X2, y2, z2)间的距离|PlP2| =在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是

4、(0, b, c).(在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0, b,(3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0, c).(4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0, c).(47(xi x2+( yi y2$+( zi z22.-o微体验-在空间直角坐标系中，A( i,2,3), B(2,i, m)，若|AB|= ii0,则 m 的值为5【解析】AB=P(-盯+( 21行(3-m)2= 110,(3 m)2= 100,3- m= 0.【答案】7 或 13小组合作型1中点，G 在棱 CD 上，且 CG=4CD, H 为 C1G 的中点

5、，试建立适当的坐标系, 写出 E、F、G、H 的坐标.【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标.【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上，它的 x 坐 标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1的中点，故其坐标为 i0，0，2 1 1由 F 作 FM 1AD、FN JDC,由平面几何知 FM = 2、FN = 2，贝 F 点1-1 1 、坐标为 2, 2，0 .3f 3点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0,又 GD = 4,故 G 点坐标为 0, 4, 0 117阶段2.介作探究通关IIZ 空间中点的坐标的确定卜例在棱长为 1

6、的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 D1D、BD 的6由 H 作 HK JCG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点，故 HK = 2、CK = -DK = 8.故 H 点坐标为 0,8,1.1 建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1) 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2) 充分利用几何图形的对称性.2求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影 (或者通过它到这个坐标平面的距离加上 正负号)，确定第三个坐标.I_I再练一题1 在棱长都为 2 的正三棱柱 ABC-AiBiCi中，建立恰当的空间直角坐标系， 并写

7、出三棱柱 ABC-AiBiCi各顶点的坐标【解】 取 BC，BiCi的中点分别为 O, 0i，连接 OA, OOi,根据正三棱柱的几何性质，OA, OB，OOi两两互相垂直，且 OA=X2=3，以 OA, OB，OOi所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱 ABC-AiBiCi各顶点的坐标分别为：A( 3, 0,0), B(0,i,0), C(0, i,0), Ai( 3, 0,2), Bi(0,i,2), Ci(0, i,2).7求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标；(2)求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标；求点 P 关于点 M(2, 1，

8、4)对称的点的坐标.【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标.【自主解答】(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为Pi( 2， 1， 4).(2) 由于点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2( 2,1， 4).(3) 设对称点为 P3(x, y，z)，则点 M 为线段 PP3的中点，由中点坐标公式，可得 x = 2X2 ( 2) = 6，y= 2X( 1) 1 = 一 3， z= 2X( 4) 4=一 12，所以 P3的坐

9、标为(6， 3， 12).名师1 求空间对称点的规律方法卜例求空间对称点的坐标在空间直角坐标系中，已知点P( 2,1,4).8空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用 关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论.2 空间直角坐标系中,任一点 Px, y, z 的几种特殊对称点的坐标如下1关于原点对称的点的坐标是 Pi x, y, z ;2关于 x 轴横轴对称的点的坐标是 P2X, y, z ;3关于 y 轴纵轴对称的点的坐标是 P3 x, y, z ；4关于 z 轴竖轴 对称的点的坐标是 P4 x, y, z ;5关于 x

10、Oy 坐标平面对称的点的坐标是 P5X, y, z ;6关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P6 x, y, z ;7关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P7X, y, z.I_I再练一题2.已知 M(2,1,3),求 M 关于原点对称的点 Mi, M 关于 xOy 平面对称的点 M2, M 关于 x 轴、y 轴对称的点 M3, M4.【解】 由于点 M 与 Mi关于原点对称，所以 Mi( 2, 1, 3);点 M 与M2关于 xOy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,i, 3); M 与 M3关于 x 轴对称，则 M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变

11、为原来的相反数，即 M3(2, 1, 3),同理 M4( 2,1, 3).探究共研型空间两点间的距离已知两点 P(1,o,1)与 Q(4,3, 1),请求出 P、Q 之间的距离.【提示】|PQ 匸1 42+ 0 32+ 1 + 12= . 22.探究 2 上述问题中，若在 z 轴上存在点 M，使得|MP 匸|MQ|,请求出点 M 的坐标.探究 19【提示】 设 M(0,0, z)，由 |MP| = |MQ|,得(1)2+ 02+ (z 1)2= 42+ 32+ ( 1 z)2,10=2,点 M 在 AiCi上，|MCi匸 2RiM|, N 在 DiC 上且为 DiC 的中点，求线段 MN 的长

12、度.【精彩点拨】先建立空间直角坐标系，求出点 M、N 的坐标，然后利用两 点间的距离公式求解.【自主解答】 如图所示，分别以 AB，AD，AAi所在的直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0),|DDi| = |CCi匸 |AAi|= 2,Ci(3,3,2), Di(0,3,2),N 为 CDi的中点,M 是 AiCi的三分之一分点且靠近 Ai点,M(i,i,2).由两点间距离公式，得例如图 4-3-1 所示，在长方体 ABCD-AiBiCiDi中，|AB|= AD 匸 3, AAi|wc图 4-3-iN|,3, i11|MN匸i2+ 3

13、 i2+ i 22X12利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为 ：再练一题3.如图 4-3-2 所示，直三棱柱 ABC-AiBiCi中,|CiC|= |CB|= |CA|= 2, AC 丄CB, D , E 分别是棱 AB, BiCi的中点，F 是 AC 的中点，求 DE, EF 的长度.图 4-3-2【解】 以点 C 为坐标原点，CA、CB、CCi所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.|CiC 匸 |CB|=|CA|= 2,C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), Ci(0,0,2), Bi(0,2,2),名13由中点坐标公式可得,D

14、(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),JDE|h.； 102+112+0-22h5,|EF| /0-12+1-02+2-02=6.1.点 A( 1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为()A.(- 1,0,1), (- 1,2,0)B.(- 1,0,0), (- 1,2,0)C.(- 1,0,0), (- 1,0,0)D.(- 1,2,0), (- 1,2,0)【解析】 点 A( 1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是一 1,纵坐标、竖坐标都为 0,故为(-1,0,0)， 点 A(- 1, 2,1)在 xOy 平面上横、 纵坐标不变且竖坐标是

15、0,故为(-1,2,0).【答案】 B2.在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3 , - 4,- 5)两点的位置关系是()A .关于 x 轴对称B.关于 xOy 平面对称C.关于坐标原点对称阶段3.体验落实评价1oD.以上都不对【解析】点 P(3,4,5)与 Q(3,- 4,- 5)两点的横坐标相同， 而纵、 竖坐标 互为相反数，所以两点关于 x 轴对称.【答案】A3已知 A(3,2, 4), B(5, 2,2)，则线段 AB 中点的坐标为_.【解析】设中点坐标为(xo, yo, zo),“3+ 52 2 - 4+ 2贝Uxo=厂=4, yo=厂=0, zo=2= 1,中点坐标为(4,。，一 1).【答案】(4,o, 1)4._设 A(4, 7,1),B(6,2, z), AB|= 11,则 z=_.【解析】由 AB 匸“ 6 42+ 2+ 72+ z 12二 11,解得 z= 7 或5.【答案】