十二章节微分方程ppt课件

1、兰州交通大学数理与软件工程学院第十二章第十二章 微分方程微分方程第一节第一节 微分方程的根本概念微分方程的根本概念第二节第二节 可分别变量的微分方程可分别变量的微分方程第三节第三节 齐次方程齐次方程第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 第五节第五节 全微分方程全微分方程第六节第六节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第七节第七节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程第八节第八节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程第九节第九节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程兰州交通大学数理与软件工程学院第一节第一节 微分方程的根本概念微分方程的根本概念一、问题的提出一、问

2、题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义三、主要问题三、主要问题求方程的解求方程的解四、总结四、总结兰州交通大学数理与软件工程学院一、问题的提出一、问题的提出解：解：)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 2,1 yx时时其中其中 xdxy2,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为兰州交通大学数理与软件工程学院解：)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 兰州交通大学数理与软件工程学院代入条件后知代入条件后知0,2021

3、 CC,204 . 0 tdtdsv故故,202 . 02tts 开场制动到列车完全停住共需开场制动到列车完全停住共需),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s兰州交通大学数理与软件工程学院二、微分方程的定义二、微分方程的定义 1. 1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy ,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt, yxxz 阐明阐明: : 联络自变量联络自变量, ,未知函数以及未知函数的某些导数未知函数以及未知函数的某些导数( (或微分或微分

4、) )之间的关系式之间的关系式. .分类分类1: 1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .兰州交通大学数理与软件工程学院2. 2. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数称微分方程的阶数称微分方程的阶. .分类分类2：一阶微分方程一阶微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高阶高阶(n)(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy例,34223xxyyxyx ,2xdxdy xyyyy2sin512104)4( 兰州交通大学数理与软件工程学院三、主要问题三、主要问题-求方程的解

5、求方程的解1. 1. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解程的解. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn2.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有恣意常数微分方程的解中含有恣意常数, ,且恣意常数且恣意常数的个数与微分方程的阶数一样的个数与微分方程的阶数一样. .兰州交通大学数理与软件工程学院, yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通通解解(2)(2)特解特解: : 确定了通解中恣意常

6、数以后的解确定了通解中恣意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定恣意常数的条件用来确定恣意常数的条件. .兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. . 00),(yyyxfyxx一阶一阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.兰州交通大学数理与软件工程

7、学院解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的的表表达达式式代代入入原原方方程程和和将将xdtxd兰州交通大学数理与软件工程学院. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充: : 微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)兰州交通大学数理