十一讲优化与数值积分ppt课件

1、第十一讲 优化、数值积分与常微分方程数值解2022-1-28第十一讲 优化、数值积分与常微分方程数值解11.1 无约束优化11.2 约束线性优化11.3 二次规划11.4 非线性方程求解11.5 数值积分的实际和方法11.6 数值积分的Matlab实现11.7 常微分方程数值解11.1 无约束优化形如：min f(x), x=(x1,xn)T的优化问题常称为无约束线性规划，实践上是多元函数的无条件极值问题，极值的点是部分最优解，全局最优解只能从部分最优解中比较得到，以下所谓最优解均指部分最优解11.1 无约束优化1. fminbnd功能：计算非线性一元函数最小值。格式： X,FVAL = fm

2、inbnd(fun,x1,x2) 例：计算函数f(x)=(x3+x2-1)/(exp(x)+exp(-x)的最小值和最小值点，-5=x fun=(x3+x2-1)/(exp(x)+exp(-x); ezplot(fun) x,fval,exitflag=fminbnd(fun,-5,5)x = -3.3112fval = -0.9594exitflag = 111.1 无约束优化2. fminsearch功能：计算多元函数最小值。格式：X = fminsearch(fun,X0); X,fval,exitflag= fminsearch(.)例：求点(x1,x2)使目的函数f(x)获得最小值：

3、 f(x)=sin(x1)+cos(x2)11.1 无约束优化x0=0,0; fun=sin(x(1)+cos(x(2); x,fval,exitflag=fminsearch(fun,x0)x = -1.5708 3.1416fval = -2.0000exitflag = 111.2 约束线性优化约束优化即为含有一定条件的优化问题，其普通方式为假设f,gi是线性函数，那么称此模型为线性规划，否那么称为非线性规划。12min( ),( ,.,). .( )0Tnxizf xxx xxstg x11.2 约束线性优化linprog功能：约束线性优化。格式：X= linprog(f,A,b,Ae

4、q,beq) X= linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 这里，由Aeq与beq 确定了等式约束，LB，UB确定了x的范围，x0为初值。11.2 约束线性优化例：Min 5x1+4x2+2x3S.t 6x1-x2+3x3=8 x1+2x2+4x3=10 -1=x1=3 0=x2=011.2 约束线性优化clear f=-5 4 2; A=6 -1 1;1 2 4; b=8;10; lb=-1 0 0; ub=3,2;11.2 约束线性优化 x,f=linprog(f,A,b,lb,ub)Optimization terminated.x = 1.3333 0.0000 0.

5、000f = -6.666711.3 二次规划对于非线性规划，常见的是二次规划，其普通模型为： min f(x)= 0.5 xTHx+cx s.t. AX b特别，当H为正定矩阵时，目的函数为凸函数，线性约束下可行域为凸集，此时称凸二次规划。11.3 二次规划1. quadprog功能：求解二次规划问题格式：X= quadprog(H,f,A,b) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)11.3 二次规划例：111222121212

6、12111min( )()26122.22223,0 xxf xxxxxS txxxxxxx x11.3 二次规划h=1 -1;-1 2; c=-2;-6; a=1 1;-1 2;2 1; b=2;2;3; lb=0 0; x,f=quadprog(h,c,a,b,lb)x =0.6667 1.3333f =-8.222211.4 非线性方程求解1.fzero功能：求非线性方程的近似解格式：x=fzero(f,x0) X,FVAL= fzero(f,.)例： x,f=fzero(sin,2)x =3.1416f =1.2246e-01611.4 非线性方程求解2.fsolve功能：求非线性方程

7、的近似解格式：x=fsolve(f,x0) X,FVAL=fsolve(f,X0,.)例： x,f=fsolve(cos(x)+x,1)x =-0.7391f =-2.8460e-01011.5数值积分的实际和方法11.5数值积分的实际和方法11.5数值积分的实际和方法11.5数值积分的实际和方法11.5数值积分的实际和方法11.6数值积分的Matlab实现11.6数值积分的Matlab实现11.6数值积分的Matlab实现q,n = quad(fun,a,b,) %同时前往函数计算的次数n = quadl(fun,a,b,) %用高精度进展计算，效率能够比quad更好。例2-40fun =

8、inline(3*x.2./(x.3-2*x.2+3);Q1 = quad(fun,0,2) % Q1=3.7224 Q2 = quadl(fun,0,2) % Q2=3.722411.6数值积分的Matlab实现函数2 trapz功能 梯形法数值积分格式 T = trapz(Y) %用等距梯形法近似计算Y的积分。假设Y是一向量，那么trapz(Y)为Y的积分；假设Y是一矩阵，那么trapz(Y)为Y的每一列的积分。11.6数值积分的Matlab实现11.6数值积分的Matlab实现2 二元函数重积分的数值计算函数 dblquad功能 矩形区域上的二重积分的数值计算格式 q = dblquad

9、(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) %调用函数quad在区域xmin,xmax, ymin,ymax上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分。11.6数值积分的Matlab实现11.6数值积分的Matlab实现q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,) %将可选参数p1,p2,.等传送给函数fun(x,y,p1,p2,)。假设tol=，method=，那么运用缺省精度和算法quad。如：fun = inline(y./sin(x)+x.*exp(y); Q = dblquad(fun,1,3,5,7)计算结果为：Q

10、= 3.8319e+00311.6数值积分的Matlab实现11.7 常微分方程数值解函数 ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb功能 常微分方程ODE组初值问题的数值解参数阐明：solver为命令ode45、de23,ode113,ode15s,ode23s, ode23t, ode23tb之一。Odefun 为显式常微分方程y=f(t,y)。11.7 常微分方程数值解11.7 常微分方程数值解格式 T,Y = solver(odefun,tspan,y0) %在区间tspan=t0,tf上，从t0到tf，用初始条件y0求解

11、显式微分方程y=f(t,y)。对于标量t与列向量y，函数f=odefun(t,y)必需前往一f(t,y)的列向量f。解矩阵Y中的每一行对应于前往的时间列向量T中的一个时间点。要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,上的解，那么令tspan=t0,t1,t2,tf要求是单调的。11.7 常微分方程数值解11.7 常微分方程数值解1求解详细ODE的根本过程：1根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进展描画。 F(y,y,y,y(n),t) = 0 y(0)=y0,y(0)=y1,y(n-1)(0)=yn-1 而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n与m可以不等11.

12、7 常微分方程数值解2运用数学中的变量交换：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),y2=y,y1=y，把高阶大于2阶的方程组写成一阶微分方程组： ， )y, t (f)y, t (f)y, t (fyyyyn21n21n10n210yyy)0(y)0(y)0(yy11.7 常微分方程数值解3根据1与2的结果，编写能计算导数的M-函数文件odefile。4将文件odefile与初始条件传送给求解器Solver中的一个，运转后就可得到ODE的、在指定时间区间上的解列向量y其中包含y及不同阶的导数。2求解器Solver与方程组的关系表见下表 函数指令函数指令含含 义义函函 数数含含 义义求求解

13、解器器Solverode23普通普通2-3阶法解阶法解ODEodefile包含包含ODE的文件的文件ode23s低阶法解刚性低阶法解刚性ODE选选项项odeset创建、更改创建、更改Solver选选项项ode23t解 适 度 刚 性解 适 度 刚 性ODEodeget读取读取Solver的设置值的设置值ode23tb低阶法解刚性低阶法解刚性ODE输输出出odeplotODE的时间序列图的时间序列图ode45普通普通4-5阶法解阶法解ODEodephas2ODE的二维相平面图的二维相平面图ode15变阶法解刚性变阶法解刚性ODEodephas3ODE的三维相平面图的三维相平面图ode113普通变阶法解普通变阶法解ODEodeprint在命令窗口输出结果在命令窗口输出结果11.7 常微分方程数值解3由于没有一种算法可以有效地处理一切的ODE问题，为此，MATLAB提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver。求解器SolverODE类型特点阐明ode45非刚性一 步 算 法 ； 4 ， 5 阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(x)3大部分场所的首选算法ode23非刚性一 步 算 法 ； 2 ， 3 阶Runge-Kutta方程；累