成教Ch51定积分的概念课件

1、经济数学教案 华东理工大学数学系 1/21第五章第五章 积分积分 定积分的概念定积分的概念 定积分的性质定积分的性质 微积分基本定理微积分基本定理经济数学教案 华东理工大学数学系 2/215.1 定积分概念定积分概念一、定积分问题的产生一、定积分问题的产生 变速直线运动的路程二、定积分定义二、定积分定义定积分的几何意义定积分的定义、可积性问题利用定义计算定积分利用几何意义求定积分曲边梯形、曲边梯形的面积经济数学教案 华东理工大学数学系 3/211曲边梯形的面积曲边梯形： 设函数yf(x)在区间a，b上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边

2、 一、定积分问题的引入一、定积分问题的引入ba y = f(x)x=bx=ax yO经济数学教案 华东理工大学数学系 4/21 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得经济数学教案 华东理工大学数学系 5/21A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2经济数学教案 华东理工大学数学系 6/21A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4经济数学教案 华东理工大学数学系 7/21 y =

3、f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn经济数学教案 华东理工大学数学系 8/21 y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi在 a, b中任意插入 n -1个分点得n个小区间： xi-1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形任取xi xi-1，xi ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积区间xi-1 , xi 的长度xi xi -xi-1 曲

4、边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(x经济数学教案 华东理工大学数学系 9/21记 maxx1, x2， , x n 则曲边梯形的面积的精确值为：A=曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(xniiixf10)(limx y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi在 a, b中任意插入 n -1个分点得n个小区间： xi-1 , xi (i=1, 2 , , n)区间xi-1 , xi 的长度xi xi -xi-1 经济数学教案 华东理工大学数学系 10/21 设物体作直线运动, 已知速度vv(t)是时间间隔

5、T1 , T2上 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S 在时间间隔T1 , T2内任意插入n-1个分点T1t0t1t2 tn-1tnT2 ,把T 1 , T 2分成n个小段t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn ,各小段时间的长依次为t1t1-t0, t2t2-t1, , tn tn - tn-1 任取iti-1, ti , 在时间间隔ti-1, ti内物体所经过的路程近似为S v(i) t i (i1, 2 , , n) 所求变速直线运动路程S 的近似值为iinitvS)(12变速直线运动的路程经济数学教案 华东理工大学数学系 11/21 记 m

6、axt1，t2， ，tn则变速直线运动的路程为： 所求变速直线运动路程S 的近似值为iinitvS)(1iinitvS=)(lim10经济数学教案 华东理工大学数学系 12/21 设函数f(x)在a，b上有界，在a，b中任意插入n-1个分点a x0 x1x2 xn-1xnb，把区间a，b分成n个小区间x0，x1，x1，x2， ，xn-1，xn ，各小段区间的长依次为x1x1-x0，x2x2-x1， ，xn xn -xn-1 任取xi xi-1，xi ，作函数值 f (xi)与小区间长度xi的乘积 f (xi) xi (i1，2， ，n) ，并作出和S =niiixf1)(x 二、定积分的定义二

7、、定积分的定义经济数学教案 华东理工大学数学系 13/21 记 maxx 1, x 2 , , x n, 如果不论对a, b怎样分法，也不论在小区间x i-1, x i上点x i 怎样取法, 只要当0时，和 S总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间a，b上的定积分，记作即，dxxfba)( baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和经济数学教案 华东理工大学数学系 14/21 根据定积分的定义，曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为

8、A，dxxfba)(dttvTT)(21S 注： (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即，dxxfba)(dttfba)(duufba)( (2)和通常称为f (x)的积分和niiixf1)(x经济数学教案 华东理工大学数学系 15/21 定理1 设f (x)在区间a，b上连续，则f (x) 在a，b上可积 定理2 设f (x)在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在a，b上可积 如果f(x)在a, b上的定积分存在，我们就说f(x)在a, b上可 积定积分的可积性问题经济数学教案 华东理工大学数学系 16/21 在区间a，b上，当f(x)0时

9、，积分在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；ba y = f(x)x yO，dxxfba)(，dxxfba)(定积分的几何意义经济数学教案 华东理工大学数学系 17/21 当f(x)0时，由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，x yO y = - f(x)ba y = f(x)定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：iniixf-10)(limxdxxfSba)(- S，dxxfba)(-niiixf10)(limxdxxfSba)(-，dxxfba)(经济数学教案 华东理工大学数学系 18/21

10、我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb之间的各部分面积的代数和abO y x+-+ y = f(x) 在一般情形下，定积分的几何意义为：，dxxfba)(经济数学教案 华东理工大学数学系 19/21 解 把区间0, 1分成 n 等份，当0时，n 例 利用定义计算定积分dxx210ni分点为x i , i1, 2, 贩 , n-1 ；每个小区间xi-1，xi的长度xin1，i1，2， ，n ； 作和取xi xi ni， i1，2， ，n ni 1 f(x i) x i f(x i) x i ni 1x i2 x i x i2 x i ni 1(ni) 2n131nni 1i 2 i 2 31n61n (n+1)(2n+1) 61(1+n1)(2+n1)dxx2100limni 1f(x i) x inlim61(1+n1)(2+n1) 31利用定义计算定积分经济数学教案