123角的平分线的性质

1、人教课标八年级人教课标八年级 上册上册角的平分线的性质角的平分线的性质 如图，是一个角平分仪，其如图，是一个角平分仪，其中中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在放在角的顶点角的顶点,AB和和AD沿着角的两沿着角的两边 放 下边 放 下 , 沿沿 A C 画 一 条 射 线画 一 条 射 线AE,AE就是角平分线，你能说就是角平分线，你能说明它的道理吗明它的道理吗?ADBCE探究探究证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）

2、 AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE证明证明 根据角平分仪的制作原理怎样作一个根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM方法方法1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作

3、这条直线的垂线的方法线的方法. .ABOCD练习练习探究角平分线的性质 将将AOB对折，再折出一个直角三角形（使对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？形成的三条折痕，你能得出什么结论？猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .探究探究证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中

4、中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12 已知：如图，已知：如图，OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E. 求证求证: PD=PE证明证明 利 用 此 性 质利 用 此 性 质怎样书写推理过怎样书写推理过程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD

5、12 如图如图:在在ABC中中,C=90 A D 是是 B A C 的 平 分 线 ，的 平 分 线 ，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等), 还需要我们还需要我们找什么条件找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.例题例题 要在区建一个集贸市场，使它到公路，要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距

6、离相等且离公路，铁路的交叉处铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，米，应建在何处？（比例尺应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路思考思考 我们知道我们知道, 角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边距离相等距离相等, 那么那么, 到角的两边距离相等的点是到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：利用三角形全等，可以得到： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上平分线上.自己证一证自己证一证.根据此根据此结论结论, 你知道集贸市你知道集贸市场建在何处吗？场建在何处吗？ANBCPM

7、 如图，如图，ABC的角的平分线的角的平分线BM，CN相交于点相交于点P. .求证：点求证：点P到三边到三边AB，BC，CA的距离相等的距离相等. .想一想，点想一想，点P在在A的平分线上吗？这的平分线上吗？这说明三角形的三条说明三角形的三条角平分线有什么关角平分线有什么关系？系？如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理同理,PE=PF.PDPE=PF.即点即点P到三边到三边AB、B

8、C、CA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F例题解析例题解析 如图，已知如图，已知ABC的外角的外角CBD和和BCE的的平分线相交于点平分线相交于点F，求证：点求证：点F在在DAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上练习练习定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等.OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E(已知已知)PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE小结小结角的内部到角的两边的距离相等的点角的