数量统计重要章节参考习题

1、第六章样本及抽样分布1.一在总体 N (52, 6.32)中随机抽一容量为36 的样本，求样本均值X 落在 50.8 到53.8 之间的概率。解：2一6 321 2X N (52,), P50.8 :： X :：: 53.$ = P -焉6(学)一门(#)=0.82932.二在总体 N(12，4)中随机抽一容量为5的样本 Xi，X2，X3，X4，X5.(1)求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1 的概率。(2)求概率 P max (X1，X2，X3, X4, X5)15.(3)求概率 P min (X1, X2，X3, X4, X5)10.=2心)“26282515 _ 125=11 丨PX

2、i口5 =1-：(2)=0.2923.i1210X10为 N ( 0, 0.32)的一个样本，求PL X21.44.iT(3)P min ( X1, X2, X3, X4, X5) 10_10 =1 - 1)5=1_：(1)5=0.5785.X -52?(2)P max (X1, X2, X3, X4, X5)15=1 - P max (X1, X2,X3,X4,X5)w154.四设 X1, X2,1010 X2解：Xi2曲x2(10W4=PL診查表5)7设 X1, X2, , , Xn是来自泊松分布n(入)的一个样本，X , S2分别为样本均值和样 本方差，求 E (X), D (X ),E

3、 (S2).解：由 XTT(入)知 E (X )=入，D(X) =解：(1) (X1, , , Xn)的分布律为nnikn.ik=Pk1(1 P)乜，ik=0或 1, k =1,n.n(2) Xib(n,p)i a(由第三章习题 26二十七知)(3) E (X )=E (X )=P,- D(X) P D(X):n nE(S2) =D(X) =P(1 _P)八设总体 XN (卩，), X1, , , X10是来自 X 的样本。(1)写出 X1, , , X10的联合概率密度(2)写出 X 的概率密度。解：(1) (Xi, , ,Xio)的联合概率密度为10101(X2f(X1，X10)=口f(X

4、i)=n e2tfi仝i 12兀 bnZ(xh2n士_=(2二)2；_-ne2；(2)由第六章定理一知_ 2X N (口,), n =10六(1)(2)(3) E (X )=E (X )=AD (X )=D(X)n设总体 Xb (1,p), X1, X2,求(X1，X2，,Xn)的分布律；n求 7Xi的分布律；i 4 _2求 E_(X ), D (X ), E (S2).-丄,E(S2) =D(X)=入. nXn是来自 X 的样本。. 独立PXr=h,X2 2, ,Xn=in=nnk4nPXk=ig Pik(1P 严n即 X 的概率密度为fX(Z)1.2n .nn(z -)21I第七章参数估计

5、1. 一 随机地取 8 只活塞环，测得它们的直径为(以mm 计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值卩及方差(72的矩估计，并求样本方差S2。解：,d2的矩估计是0二X二74.002,；二1n一、(Xj- X)5=610-6ni 4S?=6.86 10-6。2.二设 Xi, Xi, , , Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中 的未知参数的矩估计量。5 E (X) = mp令 mp = X , 解得 0 =Xm3.三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。n解：(1)似然函数L(0)=：f(Xj)二

6、010&必 2 Xn)1i =1(1)f(X)二0ceX40 1,X c0,其它其中 c0 为已知，01 ,0为未知参数。(2)f (x) =*掃 x0,0 兰 x 兰 10,其它.其中00 ,0为未知参数。(5)P(X =x) =mPx(1 p)m= X =0,1,2, m,o :： p ：1, p为未知参数。e =解:(1)E(X)二xf4q00.0c-0 -1(x)dx =0c x dxc丹,令誥眾，得(2)E(X)二-: 1xf(x)dx =亍 1令亍 TX得0=(nln L(0) = n In(0) n01n c (1 -0)、 In Xj,i壬d In L(0)d0nn I

7、n c -xidInXi=0(解唯一故为极大似然估计量) In Xj- nln ci =1n(2)L(0)刑 f(Xi)i丄=02(X1X2Xn)0 4,In L(0)nIn(0) (0-1)二 In xi4.四（2）设 X1, X1, , ,Xn是来自参数为 入的泊松分布总体的一个样本，试求入的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计 X n（入），E （X ）=入故=X 为矩估计量。n迟Xini（2）极大似然估计L（入）=口P（Xi;入）=-e匕治凫!Xn!nnIn L(入)八xiIn入 二In Xj! - n入i=1i=1n迟 XidInLa）=yn=0,解得 =X为极大似然估计量。d

8、入入d In L(0)d0量。(5)nIn L(p)八Inmi 4In p (mn - xi) In(1 - p),iAnzd In(p)yxinmn k空 0 1 -pXimn,（解唯一）故为极大似然估计量。m-n入nL(p) = | i 42。（解唯一）故为极大似然估计nmn A xi 2n 1、Xii 4（其中p（Xi；心汨X討八令e，Xj=0,1,)5.六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取 每个样品有 10 块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。100 个样品,假设这 100 次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为 n=10, P 的二项分布。P 是

9、该地区一块石子是石灰石的概率。求 p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：入的极大似然估计值为社X =0.499四（1）设总体 X 具有分布律pk?2 e(i- 9)(1- 9)2其中909D (T2)所以 T2较为有效。14.十四设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以小时计)7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N (仏，的置信区间。(1)若由以往经验知(=0.6 (小时)(2)若d为未知。解：(1)卩的置信度为 0.95 的置信区间为(X 二-dza)

10、, n2分别为 6.0 5.75.86.5d),求卩的置信度为 0.95计算得X =6.0,查表 z0025=1.96, d= 0.6,即为(6.0 土芈次 1.96) =(5.608,6.392)v9S0.95 的置信区间为(X _Sta(n-1)，计算得X =6.0,查表；n2to.025(8)=2.3O6O.=1 2.64 二 0.33.故为(6.02.3060) = (5.558,6.442)16.十六 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差d的置信度为 0.95 的置信区间。(2)卩的置信度为

11、第八章假设检验1.一某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。解：b的置信度为 0.95 的置信区间为(n-1)S2( n- 1)S2.8 11, 8 112()=(-,-) =(7.4,21.1)-(n-1)17.535. 2.18其中 a=0.05, n= 9查表知X.025(8) =17.535,x；975(8) =2.18019.十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为 n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为为=18cm/s, X2=24cm

12、/s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差小一鬼的置信度为 0.99的置信区间。解：曲一血的置信度为 0.99 的置信区间为(X1巨+2)=(18一24+2叫102) n1匕20=(-6.04, -5.96).其中 a=0.01, Z0.005=2.58,2 2 2n1=n2=20,b =厅2= 0.05 , X1=18, X2=2420.二十设两位化验员A, B 独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10 次测定，其测定值的样本方差依次为S：=0.5419, S； =0.6065.设 眉，薦分别为 A , B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比 的置信区间。解

13、：bAIB的置信度为 0.95 的置信区间(_SA_)(SBFa(n1-1, n2-1),SBF“a(n1-1, n?-1)bA/髭的置信度为 0.950.54190.6065 4.030.5419 4.030.6065)=(0.222, 3.601).其中 n1=n2=10,a=0.05 , F0.025(9,9)=4.03,F.975(9,9)_ 1F0.025(9,9)_ 1二4.03设测定值总体服从正态分布，问在a= 0.01 下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体 XN （仏d2）,卩，/均未知步骤：（1）提出假设检验 H0:尸 3.25; 比：严 3.2

14、52二如果一个矩形的宽度3与长度 I 的比心I =*C.5 -1）0.618,这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20 个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与Ho的拒绝域为| t |t 2(n -1). (xi-x)2=0.0925,i WH0: p=0.618H1:p工 0.6180.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.

15、6010.5530.5700.8440.5760.933.解：步骤：（1)H0： 3= 0.618;H1： p工 0.618(2)(取a= 0.05)，试检验假设(2)选取检验统计量为-XS325t（-1）n(3)H0的拒绝域为| t |ta(n -1).2(4)n= 5,a15_=0.01，由计算知x =3.252, S=(XjX)2=0.01304n-17查表to.oo5(4)=4.6O41,|t | =3.252 3.250.01304 -= 0.343亿2(n -1)(5)故在a= 0.01 下，接受假设 H0长短的比值总体服从正态分布，其均值为选取检验统计量Xs0-618t（n-1）

16、.n(3)(4)n =20a= 0.05，计算知0.6605 -0.6180.0925一V20（5）故在a= 0.05 下，接受 H,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.三要求一种元件使用寿命不得低于1000 小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950 小时，已知这种元件寿命服从标准差为d=100 小时的正态t.(n -1) =2.0930,|t| =-2.055 : t.(n -1)分布。试在显著水平a= 0.05 下确定这批元件是否合格？设总体均值为w即需检验假设Ho： W1000,比：沪 1000。解：步骤：（1）H0:&1000; Hi：沪 1

17、000 ； （y=100 已知）（2）Ho的拒绝域为x一10岂_za、n（3）n=25, a= 0.05,x =950,计算知X001000_25：Zo.o5=1645x25（4）故在a= 0.05 下，拒绝 H,即认为这批元件不合格。12十一一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8 小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间X=6.5 小时，样本标准差为s=2 小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取a= 0.05。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服

18、从什么分布，只要方差存在，当n 充分大时X二口近似地服从正态分布。）s n解：（1）提出假设 H。：谆 8; H1：述（2）当 n 充分大时，X-w近似地服从N（0, 1）分布s 扁n=100,a= 0.05, x =6.5 , S=2,由计算知（5）故在a= 0.05 下，拒绝 H0,即认为校长的看法是不对的。14.十三某种导线，要求其电阻的标准差不得超过线中取样品 9 根，测得 s=0.007（欧姆），设总体为正态分布。问在水平a= 0.05 能否认为这批 导线的标准差显著地偏大?解：(1)提出 H0:0.005 H1：(T0.005(3)H0的拒绝域近似为丁:汰(4)|t| =6.5 -

19、82_5 z0.05T.6450.005（欧姆）。今在生产的一批导(2)H0的拒绝域为一爪了2兰x2(n1)/0.0052心(3)n=9,a= 0.05 , S=0.007,由计算知(1)S2/0050A=15.6X2(n-1)0.00520.0052八22查表X0.05(8)=15.57(4)故在a= 0.05 下，拒绝 Ho,认为这批导线的标准差显著地偏大。15.十四在题 2 中记总体的标准差为o。试检验假设(取a= 0.05)Ho： o3=0.112,Hi： o2工 0.1彳。解：步骤(1) H0：o2=0.112； H1：o2工 0.113 2(n_ 1)S9；0.037)2由计算知2

20、=7.701X0 95(9).(0.04%)(0.04%)(4)故在a= 0.05 下，接受 H0,认为o大于 0.04%17.十六在第 6五题中分别记两个总体的方差为o；和。试检验假设(取a= 0.05)H0：匚；和二：以说在第 6五题中我们假设 o；=疔；是合理的。解：(1) H0：叼2=, H1: of - o；(2)选取检验统计量为X(n -1)S220.112x2(n -1)22H0的拒绝域为一心-1)或沈泸-1)2 2查表知尤0.025(19) =32.852,尤0.975(佝=8.907(5)故在a= 0.05，接受 H0,认为总体的标准差o为 0.11.2(3)n=10,a= 0.05, S=0.037%，查表知95(9)= 3.325(3) H0的拒绝域为F _Fa(n1-1, n2-1)或F乞Fa佝-1, n?-1)2-2a= 0.05，查表知 F.025(7,