拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较

1、莆螁P(xJ * (i =0,1, n)膇拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较薄聿摘 要在生产和科研中岀现的函数是多样的。对于一些函数很难找岀其解析表达式。即使在某些情况下，可以写岀函数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。蝿关键词拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较薆芄一、 背景賺在工程和科学研究中出现的函数是多种多

2、样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际 问题中，虽然可以断定所考虑的函数f(x)在区间a,b上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表)。显然，要利用这张函数表来分析函数f (x)的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非 常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式)，构造某个简单函数P(x)作为f (x)的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的 方法。袇如设函数y = f(x)在区间a,b上连续，且在n 1个不同的点a_x0,x1，xnb上分别 取值 y,yn。羆插值的目的就是要在一个性质

3、优良、便于计算的函数类门中，求一简单函数P(x)，使而在其余点 Xj(i = 0,1,k1,k 1, n)上取值为零，即膂而在其他点 X=Xj上，作为f(x)的近似。艿通常，称区间a,b为插值区间，称点 Xo,Xi, ,Xn为插值节点，称式 P(Xi) = yi为插值条 件，称函数类门为插值函数类，称P(X)为函数f (X)在节点X0,X1/ ,Xn处的插值函数。求 插值函数P(x)的方法称为插值法。蒅插值函数类门的取法不同，所求得的插值函数P(x)逼近f(x)的效果就不同。它的选择 取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项 式作为插值函数时，相应的插值问

4、题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛 顿插值法就是这类插值问题。蒁在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式罿P(x) =a0亠 亠 anxn莈使 Pn(Xi)二 yi(i =0,1,n)，其中,ao,ai/,an为实数。袅拉格朗日插值法即是寻求函数 Ln(x)(拉格朗日插值多项式)近似的代替函数f(X)。相似的，牛顿插值法则是通过 Nn(X)(牛顿插值多项式)近似的求得函数的值。节肁、理论基础蒆(一)拉格朗日插值法芄在求满足插值条件 n 次插值多项式 Pn(x)之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点Xi(i =0,1/ ,n)中任一点 Xk(0k n)

5、，作一 n 次多项式 g(x)，使它在该点上取值为 1,0羂Ik(Xi ) = *肂上式表明 n 个点 Xo*，xk，xk“，x 都是 n 次多项式 lk(x)的零点，故可设衿lk(x)二 Ak(X Xo)(X - Xi)(X - Xk/)(X Xk 1) (x Xn)1螃其中，Ak为待定系数。由条件 Ik(Xk)=1 立即可得1_(Xk-Xo)(Xk-XkJ(Xk-Xk .1)(Xk- Xn)衿故lk(x)=(X-Xo)(X-Xk)(X-Xk1)(X-Xn)(Xk-Xo) (Xk-Xkj)(Xk-Xk 1)(Xk- Xn)羇由上式可以写出n 1个 n 次插值多项式 l0(x)，h(x),，l

6、n(x)。我们称它们为在n点 Xo,X1/,Xn上的 n 次基本插值多项式或 n 次插值基函数。莇利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式蒃ylo(X)%l1(X)ynln(x)-1个节1i =k羁根据条件 lk(X|)=，容易验证上面多项式在节点 xi处的值为 yi(i=0,1；0 i 式 k因此，它就是待求的 n 次插值多项式 Pn(x)。,n)，艿形如 yolo(x) yJdx)亠亠 ynln(x)的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为Ln(x)，Ln(x) =y1h(x)y2l2(X)yn(x)祎_ (X-X。)(X -Xk4)(X- XkJ (X-Xn)(Xk-Xo

7、)(Xk-Xk4)(Xk-Xk1)(Xk- Xn)0膃作为常用的特例，令n =1,由上式即得两点插值公式螈Lx) = y。上 匹(x xo)，这是一个线性函数，故又名线性插值。xi xo蒈若令n =1,则又可得到常用的三点插值公式羃这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。袀(二)牛顿插值法薆由线性代数知，任何一个不高于 n 次多项式，都可以表示成函数i, X - Xo,(X - Xo)(X - Xi), ,(x - Xo)(X - Xi)(x - Xn)的线性组合。既可以吧满足插值条件P(Xi)二(i =0,i，,n)的 n 次插值多项式写成如下形式蚅a。y(x x。) a2(x Xo)(

8、x Xi)a.(x -x)(x - xj (x - 人)蚄其中，ak为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为Nn(x)，即Nn(x) =a。 ai(x-Xo) a?(x - x)(x - xja.(x - x)(x - xj (x-Xn)i袁因此，牛顿插值多项式 Nn(x)是插值多项式 Pn(x)的另一种表示形式。袈设函数f (x)在等距节点 Xk=Xo，kh(k=0,i，n)处的函数值 f(xj 二 yk为已知，其中h是正常数，称步长。我们称两个相邻点 Xk和 Xk i处函数之差 y-i-yk为函数f (x)在点 Xk处 以 h 为步长的一阶向前差分，记作yk，即 y yky

9、k膄于是，函数f (x)在各节点处的一阶差分依次为 勺。=yi- y0, = y2- 二二 yn- ynv蒄又称一阶差分的差分A2yk= A(Ayk) = Ayk+-Ayk为二阶差分。一般的，定义函数f (x)在芅L2(X)(xxj(xX2)丄yoyi(x0-xi)(x0 -x2)(X -Xo)(X-X2)(xiX0)(xix2)(X-X)(X-Xi)(X2X0)(x2xi)点 Xk处的 m 阶差分为 ykyk卑-AmJLyk。蚈在等距节点 Xk =Xo kh(k=0,1,，n)情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。事实上，由插值条件 Nn(Xo) = y可得 a二 y;再由插值条件

10、Nn(xJ = y!可得aXlHy; 一般的，由插值条件Nn(xQ=yk可得y (k = 1,2,，n)。% x0hk! h心20(x Xo)(X xj(x Xo)(x xj (X Xn)2!h2n !hn膅三、二者的比较螀拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法则更为 简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须 重新开始”(见下面例题)的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值 多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。荿现用一实例比较拉格朗日插值法与牛顿插值法芇例已知函数表如下：蚁X肅o

11、.i螂0.2羁0.3蚅0.4袃0.5袀0.6莀si nx莆0.09983袄0.19867芃0.29552蝿0.38942膆0.47943羆0.56464莁计算 sin(0.12)的值。腿利用拉格朗日插值法计算过程如下：(计算程序代码见附件)羇于是，满足插值条件Nn(xj 二 yi的插值多项式为薄Nn(X)=yo(XXo)莇因为 0.12 位于 0.1 与 0.2 之间，故取节点& =0.1,洛=0.2螃利用线性插值所求的近似值为sin0.12：丄(0.12):0.119598蚈计算结果如下图袄利用抛物插值所求的近似值为sinO.12 ： L1(0.12)(0.12 -0.2)(0.12

12、 - 0.3) +0 19867 乂(0.12-0.1)(0.12-0.3)(0.1 -0.2)(0.1 -0.3).(0.2-0.1)(0.2-0.3)(0.12-0.1)(0.12-0.2)=0.099830.12-0.20.1 - 0.20.198670.12-0.10.2 -0.1-0.099830.29552蚇莇(0.3-0.1)(0.3-0.2)0.119757莁计算结果如下图祎利用牛顿插值法计算过程如下:羀构造差分表如下:螁x膈si nx蚃A y血2前也yA3膀也y袈0.1聿0.09983肀莆薅螄荿袈0.09884蒃袃蒁0.2薃0.19867薆薁-0.00199蒀薀羂蚆0.096

13、85羀螇-0.00096蕿0.3蒈0.29552蒂肆-0.00295螆袅薁0.09390袃0.4蚄0.38942蚆利用线性插值所求的近似值为sin(0.12) ： N,(0.12)肁二 0.9983 0.2 0.09884= 0.11960衿利用抛物插值所求的近似值为sin(0.12)N2(0.12)0 2x (0 21)= 0.9983 + 0.2x0.09884+ * 丿 x(0.00199)薇2二 N1(0.12) 0.00016= 0.11976蒃从上面的计算过程可以看出，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有 继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。而牛顿插值则避

14、免了这一问题， 这样大量的节省了乘、除法运算次数，减少了计算的时间。因此，对于一些结构相当复杂 的函数f (x)，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。莄艿芈参考文献蒅1易大义，沈云宝，李有法编.计算方法.杭州：浙江大学出版社，2002蒂2冯康等编.数值计算方法.北京：国防工业出版社，1987螈3李庆阳，王能超，易大义编.数值分析(第四版).北京：清华大学出版社，施普林格出版社，2001肇4Burden R L，Faires J D，Reynolds A C. Numerical Analysis. Alpine Press,1981薆5易大义，陈道琦编.数值分析引论.杭州：浙江大学出版社，19

15、98蚁蒁螈Comparison between Lagrange interpolation method and Newtoninterpolation method莃Abstract In the production and scientific researches, there appears a variety of functions. For some function, it is difficult tofind out its analytical expression. Though in some cases, the analytical expressions o

16、f the structure can be worked out, it is inconvenient to usethem because of the complexity of structure. Interpolation method is a kind of old way to solve such problems, which is now commonly used. It isnot only applied in the actual production or scientific researchesdirectly and widely, but also

17、become the foundation of further study of numericalcalculation method. Lagrange interpolation method and Newton interpolation law are two commonly used simple interpolation methods. Thispaper is a discussion of theory and the comparison between Lagrange interpolation method and Newton interpolation

18、method.羃Key Words Lagrange interpolation,Newton interpolation,Interpolation polynomials附件：comparison#include void main()float x6=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6;int n,k,j;float f6=0.09983,0.19867,0.29552,0.38942,0.47943,0.56464; float p,a,sum=0;printf(输入插值次数 n 和所要求 sina 的 a 的值:)；scanf(%d %f,&n,&a);for(k=0；k=n；k+)p=1；for(j=0；j=n；j+)if(k!=j)p=p*(a-xj)/(xk-xj)； sum=sum+p*fk；printf(x=%f,y=%f,a,sum)；以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen