2016年上海春考数学卷真题及详细解析

1、2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2016.01一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1 .复数3 + 4i （i为虚数单位）的实部是2 .若k）g?（.x + l） = 3 ,则工=3 .直线y = x-l。直线y = 2的夹加为4 .函数，（幻=J73的定义域为I-355 .三阶行列式400中，元素5的代数余子式的值为-I2I6 .函数/"） =,+ "的反函数的图像经过点（2,1）,则实数4= X7 .在ABC 中,若4 = 30，B = 45 BC = R.则力 C=8 . 4个人排成一排照相，不同措列方式的种数为 （结果用数值表示）9 .无

2、穷等比数列4的首项为2,公比为:，则“的各项和为10 .若2 + i （i为比数单位）是关于x的实系数一元二次方程/+d + 5 = 0的一个虚根，则。=11 .函数y = F-2.t+】在区间0,4上的最小值为0,最大值为1,则实数用的取值范围是12 .在平面直角坐标系xOv中,点力、8是国工2+）,2 - 6x + 5 = 0上的两个动点, H满足|-48|=2JJ，则|8+砺|的最小值为 二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13 .满足sina >0 （liana <0的角a 属于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限:14 .半径为1的球的表面积

3、为（）4A. 7TB. -7TC. 2-TD.315 .在（1 +工）6的二项展开式中 /项的系数为（）A. 2B. 6C. 15D. 203616 .耶函数y = x”的大致图像是()5 = (1,2).17.已知向后 = (L0),则向用务在向届。方向上的投影为()A. 1B. 2D. (0,2)IX.设宜线/与平面a平行.内线7在平面a上，那么(A.直线/平行于直线刑B.直线/与直线"异面C.直线/与直线山没有公共点D.。线/与直线m不垂直19.用数学收纳法证明等式1 + 2 + 3 + 2 = 22 + (亡)的第3)步中，假设 =A时原等式成立，那么在二人+ 1时，需要证明

4、的等式为()A. 1 + 2 + 3 + 2 A + 2伏 +1) = 2k° + k + 2(k + 1)十伏+1)B. l + 2 + 3 + . + 2Jl + 2( + l) = 2(A+l)2+(A+l)C. l + 2 + 3 + .+2"(2A + l) + 2(A + l) = 2A、A + 2(A + l)?+(A + l)D 1 + 2 + 3+.+21+(2+ 1) + 2(：+ 1) = 2(+ 1) +(A+ 1) 222220 .关于双曲线L-3 = l fjL-L = l的焦距和渐近线.卜列说法正确的是()16 416 4A.俵距相等，渐近线相

5、同B.焦距相等，渐近线不相同C.焦距不相等,渐近线相同D.焦距不相等,渐近线不相同21 .设函数y = /(x)的定义域为R,则“/(0) = 0"是“)=/(刈为奇函数”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充盥条件D.既不充分也不必要条件22 .下列关于实数a、8的不等式中，不恒成立的是()A. a2 + b > 2abB. a' +/>2 > -2ah，。+b、,.,a + b、,.C. ()- > ahD. ()- > -ah2223 .设单位向量q。仁既不平行也不垂直，对H零向第a =距4+必与，6=,fif结论：若xty2 -x

6、2yt = 0,则a 九若西工+必%=0.则a 15：关于以上两 个结论，正确的判断是()A.成立，不成立C.成立，成立B.不成立，成立D.不成立,不成立24 .对于椭网：r十2=1 （a/> O.a w力）,若点（七,.）满足随"十"< 1，则称该 （T "（T n点住椭阴£“川内.在平面直角坐标系中，若点,4作过点（2,1）的任意椭圆0外）内或椭圆£“对上，则满足条件的点力构成的图形为（）A.三角形及及内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部 三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25 .如图.已

7、知正三棱柱的体积为9。,底而边长为3,求异面直线BQ与力。所成的角的大小.26 .已知函数/U） = sinK + JJcosK,求/（工）的最小正周期及最大值，并指出/（k）取得 鼓大值时X的值.27 .如图，汽乍而灯反射镜。轴极面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点万处,已知灯口直径是24加,灯深IOctm,求灯泡与反射 镇的顶点。的距离.Ulrui28 .已知数列4是公并为2的等基数列.(1)若q、%、如成等比数列，求q的值：(2)设q =-19,数列q的前项和为S.,数列也满足=1, “."二(')"，记j=S“+

8、2"T也( w N),求数列上的最小值j .(即1 4 C”对任意 N成立)29 .对丁函数/&)与g(x),记集合=3/(x)>g(.6.(I)设/(x) = 2|x|, x(.v) = .v + 3» 求(2)设/；(x) = x-l,，(x) = (，+a3'+l, h(x) = 0,如果。八“1)。八犷=区，求实 数。的取侑范围.附加题一.选择题(本大题共3题，每题3分，共9分)1 .若函数/(.r) = sin(x + 0)是偶函数，则*的1个值足()A. 0B. C. KD. 2不22 .在我平面匕 满足|z-l| =4的复数z所对应的点的

9、轨迹是()A.两个点 B. 条线段 C.两条直线 D. 个阀3 .已知函数/(外的图像是折线段/8C0E,如图，其中4(1,2)、8(2,1)、C(3,2)、 。(4.1)、£(5,2) 若宜线y =云+力(£4w R)与/")的图像恰有4个不同的公共点,B.3 3D.0则次的取值范圉是(A. (-l.O)U(O,!)C. (0J二.填空题（本大题共3题，每题3分，共9分） 224 .椭圆工+22 = 1的长半轴的长为25 95 .已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30二则该圆锥的侧面积为6 .小明用数列&记录某地区2015年12月份31天中每天是否

10、下过雨，方法为:当第A天 卜过南时，记4=1,当第A大没卜.过雨时，记 =1（144431）：他用数列4记录该 地区该月年天气象台预报是否TT雨,方法为：节摘报第A天有雨时.记a二1,当预报第4大 没仃雨时，记”二一1（1工4«31）：记录完毕后，小明计空出+也+. +/仇 = 25.那么该月气象台预报准确的总天数为三.解答题（本大题12分）7.对于数列.与也,若对数列上的每项q ,均有ck =ak或=，则称数列£ 是4与会的一个“并数列”.（1）设数列与阻的前三项分别为q=l, % =3,d=5, 4=1. ”=2,4=3, 若数列£,是也与，的一个“井数列”，

11、求所有可能的打序数组（q,c?,q）：（2）已知数列4、kJ均为等差数列.。,的公差为I,首项为正整数3 k的前 10项和为-30,前20项和为-260,若存在唯的数列血，使得£是也与包的 一个“并数列”，求，的值所构成的集合.2016年上海市春季高考数学试卷详解一.填空题1. 3,对于更数3 + 4i, 3为实部，4为虚部2. 7 , log?041) = 3n1 +1 = 2,nx = 73. -数形结合，观察可得，夹角为三，或者夹角公式tane = ±Q- = l. " = £ 441+1x044. 2,田)，由根号内大于等于岑，可得、-220 =

12、、225. 8,划去兀索5所任仃与所任列，可得代数余广式为|二 ，值为86. I,反函数经过点(2.1),，原函数经过(1,2),/(1)=1 + 4 = 2 = 4 = 17. ,由正弦定理，=> =4=>C = 2>/3sin A sin 8 I J28. 24, 4个人全排列，号=249. 3, ci, = 2 > q = ' ,，4的各项和为 = 33-q10. -4,根据题意.两虚根共挽，Ax=2 + i, x, =2-i,两根之和 =4 ,即。=-4 I411. 1J，结合图像,如图可知，若/ <1,取不到最小值0.若/ >2,最大值大1

13、, 均不符合，”口,212. 4,如图，=2石，大阀半价为2,，1回心”到线段08的距离为1,以M为阴心，1为半径作小网，可知46与小园相切,且切点C为伯中点，况+历=2沅, 结合图像可知. |无唧点。到小圆Is点的距离，二|3L=2,即|8+而舄=4二.选择题13 .选B.由sina>0,可知在、二象限,由tana <0,可知在二、四象限,二选B14 .选D,根据球的表面枳公式，S=4k = 4/t15 .选C,含/的项为故系数为C；=I516 .选C, 静惜数卜=工=二，为偶函数,且女工0,只有C选项符合17.送 A,bcosO =或者结令图像,内接观察IX.选 C,直线/与平

14、面 a 平行./. / A a = 0 e /»c /2 . . / Cl w = 0 .即选 C19 .选D,等式左边为连续的止整数，故排除A、B.等式右边代入 =4 + 1后，即D选项20 .选B,焦距均为4石,渐近线分别为'=±!工和卜=±2、，选821 .选 B,定义域为 R, /（-.V）= -f（x）, >,v = 0. ./（0） = 0,反之不行，故选 B22 .选D,例如，a = 2. b = -2.此时（色产尸<-而，故D选项不恒成立23 .选 A .若 $ v2 = Xy vt = 0 则。儿 若 xy 工 0,则 x,

15、% 工 0，设 '=义，可得a 二）认即。九，成立：a,5=（54+卜通）+ （乃,根据题意， q - e2 * 0. （xty2 +工）不一定为零，故推不出aB = 0，即推不出；不成立41工： v?r"4124 .选 B,由题意，一r = 1 设点彳（x,y） , *r + Jr4l，即r + -r4r + -r 恒 （T b” a 厅 “ b a b成立，.V4,炉41 ,即24x42, I4y41,，点/构成的图形为矩形及其内部 三.解答题25 .止:核柱"8C' 44G，底面为正三角形，底由而枳= 3x9 =矩,44正三棱柱,48。- 48c的体枳

16、/=&小力=¥></4 = 9jj，力4 : 4,连接&B , V AC / 4。，界向H线8c与AC所成用即 g 与4Q所成角， 即N4。/为所求角，底面边长为3,高为4,:AB = CB = 5, 46=3,52 +3： 5： 33： cos N4c 8 = :. N4GB = arccos，1 12x5x3101 110即扑面直线BCJ j/C所成用为arccos'.26 . /(x); sinx + >/5cos.r = 2sin(x +：), f = = 2 . f (.v)ntax = 2 .当sin(x + £) =

17、1时9取得G大值，工+'=工+ 24*，即工=± + 24万. AwZ.33 2627 .以点。为坐标原点，”为工轴正方向建立平面直角坐标系,设抛物线/=2p.J 根据题意，抛物线经过点（10.12）,代入抛物线方程.144 = 20 = =牛.|Q1Q焦点坐标为（,0） ,即灯泡与反射镜的J页点。的即向为父.28. (I)根据题意，/=q+4, q=q+6, ； (q+4=q(q+6),解得 q=-8：(2) ； q = - 19 , /. a = 2 21 , S =/一20 I*n,: ”=T，累加可得”=2-L, Ac =/r-20/i + 2l,-l.c-2 + 2

18、"-19,设/()= 2 + 2"-19,单调递增，且/<0, /(4)>0,，当>4.J.j,当 43, J.1eq ,数列£)的及小值为c& =-49.29. (I)根据题意,/(x)>g(x),即2|x| >x + 3,当 x20, 2x>x + 3=>x>3：当 x<0, -2x >x + 3 = xv-l：综上所述，。/“=(yo,T)U(3,+oo)；(2)当/(x)>6(x), H|Lr-l>O=>.r>l . A >A = (1,+x).当&x

19、)>机x),叩(1+7+1>0,化筒为"-1-J,0,*U04“ = R，工即对任意丫£(，1，不等式“>一二-上恒成立，如=4>0,)，= /在,w(0.xo)时单园递减，而，=5也是单调递减的， 3结合交会函数单调性的结论，在XW(-8,1时单调递增，I I44，当 x = 1 时，(7-) = ， a > 3 y99附加题1 .选B,“接代入选项验证即可，A选项，当e=0, /(k)=sinx为奇函数：B选项，节8 = g , /(x) = sin(x + g) = cosx 为偶函数：C 选项，当e= ;r, /(x) = sin(.r + ) =-sin.v为奇函数；D选项，当°二2乃，(工)=$山(X+ 2)=5由为奇函数：综匕选B2 .选D,结合复数的几何意义，可知|z-l| =4表示在复平面上到定点(1,0)的距离为4的点的轨迹,即表示圈心为(1.0),半径为4的网3 .选B,由对称性排除C、D选项，A=0时，符合题意，排除A选项，故选B.或者结合图像分析，要仃4个不同的交点，4初<<勺£,即-；<4