哈工大数字信号处理2011试题A

1、 3 （10 分）已知已知 X (k ， Y (k 是两个 N 点实序列 x(n ， y (n 的 DFT 值，今需要从 X (k ， Y (k 求 x(n ， y (n 的值，为了提高运算效率，试用一个 N 点 IFFT 运算一 次完成。 解：依据题意： x(n X (k ; y (n Y (k ， 取序列： Z (k = X (k + jY (k ， 对 Z (k 作 N 点 IFFT 可得序列 z (n ，又根据 DFT 性质： IDFT X （k） + jY （k） = IDFT（ X （k） + jIDFT Y （k） =（ x n） + jy （n） y n） ，由原题可知： （

2、，（ 都是实序列， x n） z n） =（ x n） + jy （n） 再根据 （ x n） = Re（ z n） ， （ y n） = Im（ z n） ， 可得： （ 综上所述，构造序列： Z （k） =X （k） + jY （k） ， y n） 可用一次 N 点 IFFT 完成计算 （ ，（ 值的过程。 x n） 第 6 页 （共 9 页） 4 （15 分）用矩形窗设计线性相位低通滤波器，逼近滤波器的传输函数 H (e j 为： e j , 0 c ， H (e = c 0, j 1） 求出相应的理想低通的单位抽样响应 hd (n ； 2） 求出矩形窗设计法的 h(n 的表达式，确定

3、与 N 之间的关系； 3） N 取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？ 解：1） hd (n = 1 2 H d (e j e jn d = 1 2 e c c j e jn d = sinc (n (n 2）为了满足线性相位条件，要求 = N 1 ， N 为矩形窗函数的长度。加矩形窗函 2 sinc (n RN (n (n 数得到 h(n ： h(n = hd (n RN (n = N 1 sinc (n , 0 n N 1, = 2 = (n 其它n 0, 3）N 取奇数时，幅度特性函数 H g ( 关于 = 0, , 2 三点偶对称，可实现各类幅 频特性；N 取偶数时，幅度特性函数 H g

4、( 关于 = 奇对称，所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 第 7 页 （共 9 页） 5 (15 分 设计一个数字巴特沃思低通滤波器，给定指标为： 1）衰减 1 3dB ，当 0 f 2.5Hz 2）衰减 2 40dB ，当 f 50 Hz 3）抽样频率 f s = 200 Hz 。试用双线性变换法进行设计，最后写出 H ( z 的表达式，并画出其结构。 附表：巴特沃思归一化模拟低通滤波器部分参数 阶数(N 1 2 3 4 分母多项式sN+bN-1sN-1+bN-2sN-2+b1s+ b0的系数 b0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.4142 2.0000 2

5、.6131 2.0000 3.4142 2.6131 b1 b2 b3 解： T = 1 = 5 10 3 fs ， c = 2 f cT = 2 2.5 采用双线性变换法: 由指标要求得： 1 1 = , st = 2 f stT = 2 50 = 200 40 200 2 2 = tg( T 2 20 log 10 | H a ( j 400 tg ( 80 | 3 20 log 10 | H a ( j 400 tg ( | 40 4 1 2 又 H a ( j = 2N 1+( c 故 20 log10 | H a ( j |= 10 log10 1 + ( 2N ，因而： c 2N

6、j 400 tg ( 4 40 10 log10 1 + c 2N j 400 tg ( 80 3, 10 log10 1 + c 第 8 页 （共 9 页） 取等号计算，则有： (1 :1 + 400tg ( / 80 / c 2 N = 100.3 , (2 :1 + (400tg ( / 4 / c 2 N = 104 1 log(10 4 1 /(10 0.3 1 = 1.42 得： N = 2 log1 / tg ( / 80 取 N=2 , 代入(1式使通带边沿满足要求， 可得 c = 15.7 又二阶归一化巴特沃思滤波器为： Ha( s = 1 s + 1.4142136 s + 1 2 代入 s = s / c ： Ha( s = 246.5 s + 22.2 s + 246.5 2 由双线性变换： H ( z = H a ( s | 1 z 1 s = 400 1+ z 1 246.5 (1 + z 1 2 = 400(1 z 1 2 + 22.2 400(1 z 2 + 246.5(1 + z 1 2 246.5 (1 + 2 z 1 + z 2 1.69126