山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第32讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习 新人教A版

1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情展望1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围).2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案一、二元一次不等式表示的平面区域及其判断方法1二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线AxByC0分成三类：(1)满足AxByC0的点；(2)满足AxByC>0的点；(3)满足AxByC<0的点2二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：AxByC0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子AxByC的值

2、具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使AxByC的值具有相反的符号二、线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题二元一次函数zaxby(ab0)的最值同直线zaxby0在y轴上截距的关系求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，利用其几何意义，通过求yx的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，

3、z也取最小值(2)当b0时，结论与b0的情形恰好相反1不等式组表示的平面区域是()【解析】x3y60表示直线x3y60及左下方部分，xy2<0表示直线xy20右上方部分故不等式组表示的平面区域为选项B所示部分【答案】B2已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()A12B11C3D1【解析】可行域如图中阴影部分所示先画出直线l0：y3x，平移直线l0，当直线过A点时z3xy的值最大，由得A点坐标为(3,2)z最大3×3211.【答案】B3某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40

4、元乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则，甲、乙两车间每天能够获得的利润为280x200y，画出可行域，由线性规划可知当直线z280x200y经过xy70与10x6y480的交点(15,55)时，

5、z280x200y取到最大值，因此，甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱时，每天能够获得的利润最大【答案】B4在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_【解析】不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由得A(1，1)，由得B(1，3)，由得C(2，2)，|AB|2，SABC×2×11.【答案】15(2013·福建高考)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值和最小值分别为()A4和3B4和2C3和2 D2和0【解析】作出可行域如图阴影部分作直线2xy0，并向右上平移，过点A时z取最小值，过点B时z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)，zmi

6、n2，zmax4.【答案】B6(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1C D【解析】如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分由得A(3，1)当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM.【答案】C考向一 109二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组表示的平面区域的面积为()A4B1C5D6(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A. B. C. D.【思路点拨】(1)画出不等式组表示的平面区域，确定平面区域的形状，从而求出面积(2)画出平面区域，显然点在已知

7、的平面区域内，直线系过定点，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可【尝试解答】(1)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即为所求，求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC的面积为S×(21)×21.(2)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.【答案】(1)B(2)A规律方法11.解答本例(2)的关键是根据直线ykx过定点，利用面积相等确定直线所经过的边界上的点.2.二元一次不等式

8、(组)表示平面区域的判定方法：(1)同号上，异号下.当B(AxByC)>0时，区域为直线AxByC0的上方，当B(AxByC)<0时，区域为直线AxByC0的下方.(2)直线定界、特殊点定域.应注意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点.对点训练已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A1B3C1或3D0【解析】其中平面区域kxy20是含有坐标原点的半平面，直线kxy20又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4

9、)，代入直线方程，得k1.【答案】A考向二 110求目标函数的最值(2013·课标全国卷改编)设x，y满足约束条件(1)求z2xy的最大值(2)若z，求z的取值范围【思路点拨】明确目标函数z的几何意义，数形结合找最优解，代入求值【尝试解答】(1)作出可行域，进一步探索最大值作出可行域如图阴影部分作直线2xy0，并向右平移，当平移至直线过点B时，z2xy取最大值而由得B(3,3)zmax2×333.(2)z表示可行域内的点到原点的距离，观察可行域知，可行域内的点A和点C到原点的距离分别为最大和最小又由得A(1,1)由得C(3,4)故|OA|，|OC|5.z的取值范围为，5 规

10、律方法21.本例求解的关键在于：(1)准确作出可行域；(2)明确目标函数的几何意义.2.(1)线性目标函数zaxby的几何意义与直线axbyz0在y轴上的截距有关，当b0时，直线axbyz0在y轴上的截距越大，z值越大；当b0时，情况相反.(2)常见的非线性目标函数的几何意义：表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)的距离.对点训练设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是_【解析】作不等式组表示的可行域，如图所示，作直线l0：3xy0，并上下平移当直线过点A、B时，z分别取得最大值、最小值由得A(2,0)由得点B，zmax3×206，zm

11、in3×3.故z的取值范围是.【答案】考向三 111线性规划的实际应用某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【思路点拨】题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A，B两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，故可以设出A、B两种产品的生产数量，列不等式

12、组和建立目标函数【尝试解答】设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得目标函数为z7x12y.作出可行域，如图阴影所示当直线7x12y0向右上方平行移动时，经过M时z取最大值解方程组得因此，点M的坐标为(20,24)该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润规律方法31.求解本例的关键是找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题.为寻找各量之间的关系，最好是列出表格.2.解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.对点训练某农户计划种

13、植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，求黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别是多少亩？【解】 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，由题意得即设总利润为z，则zx0.9y.作可行域如图所示，由得A(30,20)当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时，一年种植的总利润最大思想方法之十

14、五数形结合破解线性规划中参变量问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值问题，从图形上找思路恰好体现了数形结合思想的应用含参变量的线性规划问题，其参变量的设置形式通常有以下两种：(1)条件中的参变量：条件不等式组中含有参变量，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向(2)目标函数中的参变量：目标函数中设置参变量，旨在增加探索问题的动态性和开放性从目标函数的结论入手，对图形的动态进行分析，对变化过程中的相关量准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法1个示范例1个对点练(2013·课标全国卷)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A.B.C1D2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22