数学必修ⅰ北师大版2.1生活中的变量关系学案

1、1生活中的变量关系1常量与变量的区分在研究某一问题的变化过程中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量谈重点 正确理解常量与变量可结合生活中的实例，用辩证的观点来理解常量与变量，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，所以物动则变在我们的生活中容易找出众多的实例，如：(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程均为变量，但在实际运动过程中，绝对的匀速是没有的，因为人驾驶汽车在行驶过程中，不可避免地要进行加速、减速或刹车等操作(2)电影院里，对某一场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量但相对于某个较长时间的

2、间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量由此可以看出，常量具有相对性，而变量是永恒的，是大量存在的【例1】一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s300100t，在这里，常量是_，变量是_解析：判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.答案：300，100s，t2生活中的变量关系及判断生活中的两个变量之间可能具有依赖关系，也可能不具有依赖关系，具有依赖关系的两个变

3、量可能是函数关系，也可能是非函数关系(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系特别地，如果对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么就称这两个变量之间有函数关系(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不会发生任何变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系(3)依赖关系和函数关系的联系与区别：函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系例如，

4、积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用所以下雪与来年的丰收具有依赖关系又因为作物的丰收还受其他因素的影响，如天气、施肥量等，所以下雪与来年的丰收不具有函数关系破疑点 判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系的步骤确定因变量和自变量；判断对于自变量的每一个取值，是否都有唯一的因变量与之对应若满足这个条件则是函数关系，否则不是这里要特别注意的是，满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多【例2】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并

5、将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；(3)商品的销售额与广告费之间的关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系分析：两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系解：(1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由

6、落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(

7、3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系解技巧 如何判断两个变量之间是否存在依赖关系判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化；判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应3生活中变量关系的表示(1)通过图像反映两变量之间的关系用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方式在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的例如：如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图像回答

8、下列问题：上午8时的气温约是多少？全天的最高气温、最低气温分别是多少？大约在什么时刻，气温为0 ？大约在什么时刻内，气温在0 以上？两个变量有什么特点？它们具有怎样的对应关系？此题是一个通过图像来反映两变量关系的问题，所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系上午8时气温约是0 ，全天最高气温大约是9 ，在14时达到全天最低气温大约是2 ，在4时达到大约在8时和22时，气温为0 .在8时到22时之间，气温在0 以上由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数；而对于气温Q的一个值可能有两个时间t和它对应，所以时间t不是气温Q的

9、函数(2)通过表格反映两变量之间的关系两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量与自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化例如：口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了在不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：请回答下列问题：请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像根据上述数据以及得到的图像，你得到怎样的实验结论？根据表中数据的范围绘制出F随t变化的图像如右图，于是可得实验结论：随着温度的升

10、高，口香糖的黏附力先增大后减小；当温度在约37 时，口香糖的黏附力最大；当温度在50 时，黏附力最小所以可通过加热的办法除去磁砖上的口香糖残留物【例31】如图1是一辆汽车的速度随时间而变化的示意图图1(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？(4)如果纵轴换成路程s(千米)，横轴表示时间t(时)，如图2是一个骑自行车者离家距离与时间的关系图像在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑自行车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？图2分析：解用图像反映两变量之间关系的题

11、目的关键是识图，弄清两个变量之间的关系解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时(3)出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新启动后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车、加油等(4)在出发后8时到10时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为(千米/时)；在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为(千米/时)；在出发后10小时到18小时时间段匀速运动，车速为(千米/时)；在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速为(千米/时)【例32】从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：K数含金量(%)24K99以上22K91.