广西柳州、贵港、钦州、河池四市2013届高三一月份模拟数学理试题

1、柳州市、贵港市、钦州市、河池市2013届高中毕业班一月份模拟考试数学（理）试题一、选择题（每题5分，共12小题，满分60分）1若集合，则集合中元素的个数为A 5 B 4 C 3 D 22已知，且，则 A B C D3已知等差数列满足：则使前n项和取得最大值的n值为 A50 B51 C50或51 D51或524复数的平方等于 A B C D 5已知平面向量，且，则m的值为 A1 B-1 C4 D-46已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是7，则 A1 B2 C0 D8从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有一名女生的选法共有 A36种 B30种 C42种 D60种9函

2、数的图像的一条对称轴是 A B C D10一个四面体A-BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为 A B C D11已知椭圆方程为,O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线上（除去与x轴的交点）的动点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆相较于点N，则线段ON的长为A Bb C D不确定12已知函数，把方程的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 A B C D二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13函数的定义域是 。14已知满足不等式组，则的最大值是 。15在区间上的最大值是，则 。16已知函数满足下列关系：（1）（2

3、）当时，给出下列四个命题：（1）函数为周期函数；（2）函数为奇函数；（3）函数的图像关于轴对称；（4）方程的解的个数是8其中正确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上）三、解答题：（第17题10分，1822题每题12分，共70分）17已知中，是三个内角的对边，关于的不等式的解集是空集。（1）求角的最大值；（2）若，的面积,求当角取最大值时的值。18设计一种游戏，由甲、乙两人进行轮流摸球。每次摸取一个球，黑色袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球，游戏规则如下：若摸到红球，将此球放回袋中可继续再摸；若摸到黑球，将此球放回袋中则由对方摸球，甲先摸球。（1）求在前四次摸球中，甲恰好摸到两次红球的

4、概率；（2）设随机变量表示前三次摸球中甲摸到红球的次数，求随机变量的分布列及数学期望19在如图所示的四棱锥中，已知平面为的中点。（1）求证：（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的余弦值。20设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为,右焦点F与点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）是否存在经过点（0,3）的直线,使直线与椭圆相交于不同两点M,N满足?若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。21已知函数（1）当时，求的最大值；（2）设，是图像上不同两点的连线的斜率，是否存在实数a，使得k<1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。22若数列满足前项和为（1）求

5、数列的前项和；（2）设数列满足条件：，求证：参考答案一 选择题（每小题5分，共60分）123456789101112CACBDBDACABC二. 填空题(每小题5分, 共20分)13. （，1）（2，） 14. 12 15. 16. 三. 解答题(共70分)17. 解：（1）若解集为空，则， 2分解得. 3分 则C的最大值为.4分（2）， 5分得， 6分 由余弦定理得：， 7分从而得，9分则. 10分18. 解：（1）设甲“摸到红球”的事件为A，则P（A），“摸到黑球”的事件为，则P（），1分乙“摸到红球”的事件为B，则P（B），“摸到黑球”的事件为，则P（）, 2分在前3次摸球中，甲摸到一次

6、红球的情况是：A（B），A 3分故所求事件的概率为P. 6分（2）在前四次摸球中，出现甲得分数比乙高的情况如下：甲得8分，AAAA，概率为P1; 7分甲得7分AAA，概率为P2; 8分甲得5分AA（B），或AA，或AA，概率为P3; 9分甲得4分A，或A，概率为：P4; 10分甲得3分，不可能比乙高; 11分故所求事件的概率PP1P2P3 P4. 12分19. 解：解法一. （1）是的中点，取的中点，则，又 1分四边形为平行四边形，面PAD，面PAD2分. 3分 （2）以为原点，、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，4分则D（1，0，0），C（1,1，0），B（0，2，0），P（0,0，

7、1），M（0，1, ），（0,0，1），（1,1，0），则面PAC的法向量为（1,1，0）5分（0，2,1），（1，1,0），则面PBC的法向量为（1,1，2） 6分而·110，面PAC面PBC. 7分 （3）设直线与平面所成的角为，（1,0，）， 8分则10分 . 12分解法二：（1）同上. 3分（2）证明：PA平面ABCD，PABC， 4分又AC2+BC2=2+2=AB2， 5分BC平面PAC， 6分又BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC； 7分（3）解：取PC中点N，则MNBC， 8分由（2）知BC平面PAC，则MN平面PAC所以MCN为直线MC与平面PAC所成角，设为，

8、9分NCPC，MCPB 11分 . 12分20. 解.（1）依题意得， 2分， . 4分 所以是公比为2，首项为2的等比数列. 6分 （2）由(1)知是公比为2，首项为2的等比数列,则. 8分. 9分即 10分 所以1. 12分21. 解：(1) 依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为, 1分由,得,即,故. 2分又, 3分从而可得椭圆方程为. 4分(2)由题意可设直线的方程为,5分由知点在线段的垂直平分线上,由消去得, 6分即可得方程（*）当方程（*）的即时方程（*）有两个不相等的实数根. 7分设,线段的中点,则是方程（*）的两个不等的实根,故有. 8分从而有,.于是,可得线段的中点的坐标为又由于,因此直线的斜率为,由,得， 10分即，解得， 11分综上可知存在直线：满足题意. 12分（2）方法二：设存在直线，斜率为,则联立方程 5分得：，由12（12k25）0， 6分设、 由韦达定理得，8分 又，则 9分移项得：解得±， 11分此时0适合题意， 故存在直线=±3满足题意. 12分22. 解.（1）, 1分又函数在和时取得极值，1，3是方程的两根，2分，3分当变化时，有下表:（-，-1）-1（-1，3）3（3，+）00而,.时,的最大值为. 5分要使恒