数学奥林匹克高中训练题(171)_图文

1、 年第 期 设 则 点 记为 , 再把 : 三 点 放 回 原位 置 尸 仍 为 优点 下 面证 明 点 “ “ 因为 , 为红点 所以 点 , 必在弧冗 上任 一 从而 普 “ , 外 因 此 从点 ' 出 发到 弧 位 到 置 红 点 个 数 与 黄 点 个 数 之差 至 少 大 于 , 丨 , 点 ; 八 时 至少大 于 从而 当 , 故 “ 仍 为优 点 时 命 题成 立 个 点 中 若 黄 点 个数 , 若“ 一 ° 另 一 方面 在 , 为 , 将 圆周 分成 一 段 将 , 个 红色 , 点 放人 每 段 弧 中 每 段弧 中 至 多 两 个 点 则 综 , ,

2、 每 个 红 点 均 不 可 能 为优 点 , 因 此 圆 周 上 黄 点 个数 的 最 大 值 为 又 , 则 圆 周 上 黄 点个 数 的 最 大值 为 四 在式 、 中 令 三 、 优点 一 定为 红 点 则 首 先 考 虑 简 单情 形 当 圆周上 分别有 、 令 、 、 、 、 、 个点 此 得 , 町 因此 , : 时 若 圆 周 上 至 少有 一 个优点 则 圆 周 上 黄 点 , 为 彳 禹函数 个 数 最 大值 分 别 为 到 一 、 、 、 、 、 、 由 设 “ 般性 结 论 : 其中 个 点 将其 任 意 染成 红 , , 卢 圆 周 上有 知 、 令 , , 则 黄

3、两 色 当 且 仅 当 黄点 个 数 不 大 于 时 才能 保 证 圆 周 上至 少 有 一 个优 点 存 在 如 个黄 点 , 接 下来 用 数 学 归 纳 法给 出 证 明 当 三 个红 点 , 时 圆 周 上有 四 个 点 , “ 广 、 , 在 三 个 相 连 的 红 点 中 取居 中 的 所 以 该 多 项式 的 系 数 均 为 那 个 易 知 其 为 优点 故 , 时 命 题成 立 但当 為 时 , 假 设当 灰 ' 时 命题 成立 即 圆 周 上 有 , 互 广 為 ' 个 点 分别 染 成红 黄两 色 为确 保 圆 、 , 一 周 上 至少 有 当 个 优 点

4、则 黄 点 个数 不 超过 , 时 在 , , 个黄 点 中 任 取 一 个 记为 , , 在 、 两旁 分 别 取 与 最近的 红 , 放 “ 点 分 别 记为 将 此三 点 从 圆 周 上 拿走 个 点 且 满足 , 所以 因此 , 则 在 圆周 上 只 剩 下 , 供 、 时 命题成 立 的 条 件 由 归 纳 假设 知 圆 周 上 至 少 存 在 一 故 个优 中 等 数 学 数 学 奥 林 匹 克 问 题 时 开着 或 关 着 ( ; , 则 其下 一 层 对应的 那扇 窗 开 : 关着 辦层娜 初 为线段 上 織 关 则 其下 , 一 在菱形 一 中 。 , : 层 对 应 的 那

5、 扇 窗开 着 证 明 第 层唯 一 的 点 延长 , 与 与 的延长 线 那扇 窗 必开 着 上 期 问 题 解 答 交于点 联结 , 延长 交于点 的 若 面积 沉 试用 表 示 四 边形 高挪 设 : , , 满足 、 证明 初 , 如 图 、 与 内 切于 点 在 点 上 , 力 直线 证明 : ; ; 分 别 与 切于 点 、 , 注意到 , 口 直线 于点 与 翻 : 交 ; 咖 , 平分 高 “ 乂 设 , , 证明 : : 丨 : “ 高 扇窗 ( 幢 建筑 物 有 , 层 第 混有 , 又 , 则 ( 顶层有 扇 窗 开 着 远 处 望 去 所有 的 窗 户 成倒 立 的 杨 辉 三角形 , 士 “ 士 ! 七 更 特别 的 是 若 同 层相 邻 的 两 扇 窗 同 , 故 原 不等 式 其中 “ , ”