弹塑性力学-第3章 应变状态

1、第三章 应变状态第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因

2、，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。3.1 位移与线元长度、方向的变化1.1坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X、Y、Z)上的投影为(x,y,z)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u、v、w)，这些位移分量可看作是坐标(x,y,z)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即=x+u(x,y,z) =y+v(x,y,z) (3.1-1)=z+w(x,y,z)上式中函数u、v、w以及它们对坐标(x,y,z)的偏导数假设是连续的，则式(3.1-

3、1)确定了变量(x,y,z)与(,)之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。 如果在(3.1-1)中，假设x=x0,y=y0，则由(3.1-1)式可得如下三个方程=x0+u(x0,y0,z) =y0+v(x0,y0,z) (3.1-2)=z+w(x0,y0,z)*式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点M1*,M2, ，在物体变形前为平行于z轴的直线(x=x0,y=y0)上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标(x,y,z

4、)末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用(,) 38第三章 应变状态表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler 法。Lagrange描述法是用变形前的坐标 (x,y,z)做自变量，而Euler法则是用变形后的坐标(,)做自变量。在固体力学中，通常物体的初始形状、固定情况以及载荷是一定的，需要确定的是物体各点的位移u、v、w和应力ij。对于小变形一般采用Lagrange坐标法；而对于大变形有时用Euler法。在数值计算中，通常采用矢量来表示，因为要计算变形

5、前后两次应变的变化，所以用Euler法比较方便。在以后的讨论中，我们采用Lagrange坐标法。 图 3.1 变形表示法1.2 变形体的应变设物体中变形前相距十分近的两点M,N，变形后移位至M*,N*。变形前M,N的坐标分别为M(x,y,z)，N(x+dx,y+dy,z+dz)，变形后M*,N*的坐标分别M*(,),N*(+d,+d,+d)。那么，矢量所表示的线元在物体变形后由矢量M*N*表示线元。那么，和M*N*的平方为=dS2=dx2+dy2+dz2 (a) =dS*2=d2+d2+d2 (b)根据(3.1-1)式，点+d=x+dx+u+du (c) 此处du是因M,N两点所产生的增量，将

6、其在(x,y,z)处展开为Taylor级数，即uuu2u2u2u22 du=dx+dy+dz+2(dx)+2(dy)+2(dz)2+ (d) xyzxyz略去(d)式中的高阶微量(dx)2，并将(d)式代入(c)式，则可得39第三章 应变状态+d=x+dx+u+由(3.1-1)式知，=x+u,所以d=(1+同理可得 uuudx+dy+dz xyzuuu)dx+dy+dz (3.1-3a) xyzvvvdx+(1+)dy+xyz (3.1-3b) wwwd=dx+dy+(1+)dzxyzd=(3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算dS与dS*之

7、差，于是由(a)式和(e)式可得2 dS* (f) -dS2=2(xdx2+ydy2+zdz2+xydxd+yyzdyd+zzxdzd)x式中v1u2v2w2y=+()+()+()y2yyyw1u2v2w2z=+()+()+() z2zzz (3.1-4)uvuuvvwwxy=yx=+=2xy=2yxyxxyxyxyvwuuvvwwyz=zy=+=2yz=2zyzyyzyzyzuwuuvvwwzx=xz=+=2zx=2xzzxxzxzxz式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移u、v、w，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量

8、表示为11xzxyx2211ij=yxyyz (3.1-5) 221zx1zyz22x=u1u2vw+()+()2+()2x2xxx40第三章 应变状态1.3线元的长度变化引入符号 EMN=dS*-dS (3.1-6) dSEMN是点M和N间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比我们把这个量称作点M在点N方向的相对伸长度。根据式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，则可得伸长度EMN的表达式为1EMN(1+EMN)dS2=xdx2+ydy2+zdz2+xydxdy+yzdydz+zxdzdx 2=xl2+ym2+zn2+xylm+yzmn+zxnl (3.1-7)dxdydz式中

9、 l=，m=，n=是矢量的方向余弦。如果在(g)式中令dSdSdSl=1,m=n=0，那么有Ex=+2x-1 (3.1-8a)此处Ex表示M点在x方向的相对伸长度。类似有M点在y、z方向的相对伸长度为 Ey=+2y-1 Ez=+2z-1 (3.1-8b) 因此，应变分量x、y、z描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。1.4线元方向的变化变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。矢量与坐标轴(X，Y，Z)形成的方向余弦分别为l、m、n；而矢量M*N*与坐标轴夹角的方向余弦分别为l*=ddd m*= n*= (3.1-9) dS*dS*dS*利用(3.1

10、-6)式解得dS*=(1+EMN)dS，并注意到(3.1-3)式可得1uuu(1+)l+m+n1+EMNxyzv1vvl+(1+)m+n (3.1-10) m*=1+EMNxyzw1wwn*=l+m+(1+)n1+EMNxyzl*=41第三章 应变状态式(3.1-10)表示任意线元在变形后的方向，即变形后M*N*的方向余弦可以用变形前MN的方向余弦表示。如果变形前线元dx与X轴平行，则该线元的方向余弦为l=1，m=n=0，那么由(3.1-10)式知，该线元变形后的方向余弦为vuwx m*=x n*=x (3.1-11) l*=1+Ex1+Ex1+Ex1+此处Ex是变形前与X轴平行线元的伸长度。

11、由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移u、v、w不相同，因此方向要改变(图3.2)；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。因为线元dx在变形后成为已变形物体上坐标曲线上的线元，所以式(3.1-11)实际上给出了点M*上坐标曲线的切线方向的方向余弦。类似地可以由 (3.1-11)式得出已变 形物体上坐标曲线y和z的切线的方向余弦。如果用ix、iy、iz表示点M*在坐标、切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图3.2 线元的方向余弦 量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由(3.1-11)式如同线元dx那样得到类似的(3.1-11)式。具体列于表3.1。类似于(3.1-9)的方法也导出用

12、M*N*的方向余弦表示变形前的方向余弦，读者可自行推导。42第三章 应变状态1.5剪切度与切应变 如图3.3所示，设变形前物体中经过M 的切线的方向余弦分别为l1、m1、n1和l2、 点的两条任意纤维I和II，此两纤维在M点 m2、n2；变形后，物体中的M点移动到M*， 纤维I和II变成纤维I*和II*， 纤维I*和II*的*方向余弦也变为l1*、m1、n1和l2、m2、n2。由前面可知，变形后两纤维的方向余弦可用变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图3.3 剪切变形 则可求得变形后纤维I*和II*之间夹角的方向余弦。将(3.1-10)式代入上式，并注意(3.1-5)式，则可得 cos(I

13、*，II*)=1(1+2x)l1l2+(1+2y)m1m2+(1+2z)n1n2 (1+EI)(1+EII)* cos(I*,II*)=l1*l2+m1m2+n1n2 (3.1-12)+xy(m1l2+l1m2)+yz(n2m1+n1m2)+zx(n1l2+n2l1) (3.1-13) 注意，式中纤维I和II的伸长度EI和EII由(3.1-7)确定，但必须用变形前物体的纤维I和II的方向余弦l1、m1、n1和l2、m2、n2。由(3.1-13)显然可知，当知道了6个应变分量x、y、z、xy、yz、zx和变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由(3.1-7)式和(3.1-13)求得

14、该两纤维变形后的夹角。如果变形前物体中纤维I和II分别平行于X轴和Y轴，则l1=m2=1，其余的方向余弦为m1=n1=l2=n2=0，且变形后物体中纤维I*和II*的切线方向分别与单位矢量ix、iy重合，则根据(3.1-7)式和表达式(3.1-8)可知 cos(ix,iy)=xy(1+Ex)(1+Ey)=xy1+2x)(1+2y)在变形前，纤维I和II的夹角为直角，令xy为变形后纤维引起的夹角减少量，那么由上式可得cos(ix,iy)=-xy)=sinxy=2xy1+2x)(1+2y) (3.1-14a)类似可得分别与Y、Z轴和Z、X轴平行的两纤维夹角的减少量yz和zx为43第三章 应变状态s

15、inyz=sinzx=(1+2y)(1+2z) (3.1-14b) zx(1+2z)(1+2x)yz称角xy、yz和zx为剪切度。由以上分析可知，xy、yz和zx表示了切应变，当它们均为零时，则纤维之间的夹角变形后保持不变。由以上的分析可知，在(3.1-4)式中，应变ij所出现的量不外乎下面9个分量uxv=xwxuyvywyuzv (3.1-15) zwz ui,j称ui,j为相对位移张量。因此，当知道了位移对坐标的偏导数，则可根据(3.1-4)式计算出应变分量ij，从而也就知道了任何一根线段在任何方向的伸长EMN(由(3.1-7)式)，同时还可计算出原来与坐标轴平行的两线段角度的减少量ij，

16、更一般地还可计算cos(I*,II*)，因此ij充分地表示了应变。如果ij=0，则意味着没对角度变化，因为这时并不知道(3.1-15)中的任何值，所以也无法由(3.1-10)式*求得l1*、l2、等，反过来也不知道l1、l2等，所以cos(I*,II*)无法求出。 有变形，仅有刚体移动或转动；如果已知应变分量ij，则不能求得一根线段的绝3.2 应变张量与转动张量一般来说，物体中各点的变形由(3.1-5)式中ij的6个分量可完全确定，因为知道了这6个分量就等于知道了伸长度和剪切度。在变形理论分析中，通常还需引入9个参数，即 uxuv+ exy=eyx=yx1wvx=(-)2yzex=vwez=y

17、zvwwueyz=ezu=+ezx=exz=+ (3.2-1) zyxz1uw1vuy=(-)z=(-)2zx2xyey=这样，位移的所有一阶偏导数都于由这(3.2-1)式的9个参数表示为44第三章 应变状态u=exxv1=exy+z x2w1=exz-yx2u1=exy-zy2v=eyyw1=eyz+xy2u1=exz+yz2v1=eyz-x (3.2-2) z2w=ezz2.1微元体的转动为了研究微元体的转动，首先阐述x,y,z的几何意义。为此，设垂直于Z轴的线元为，利用(3.2-2)，并注意此时dz=0，则(3.1-3)式成为 1d=(1+ex)dx+(exy-z)dy21 d=(exy

18、+z)dx+(1+ey)dy (3.2-3) 211d=(exz-z)dx+(eyz+x)dy22在图3.4中表示出平面XOY，线段MN是变形前线元的长度，而线段M*N1*是变形后在平面XOY上的投影。根据图3.4显然有 tan=dyd，tan*= (3.2-4) dxd再根据(3.2-3)式和分子分母均除MN原长dS，则有1(exy+z)cos+(1+ey)sintan*=1(1+ex)cos+(exy-z)sin2(3.2-5) 图3.4 线元角度的变化变形物体在变形过程中，由前节已经知道，线元不仅产生尺度变化，而且线元的方向也发生变化。但是在变形时起变化的不仅线元的相对方向，而且还有它的

19、绝对方向，因为从初始状态的物体中割离出来的无限小微元体，到终了状态时，除了产生形变外，还有些转动。把这术语应用到微元体上(它在产生位移过程中不仅位置要发生改变，而且还改变了大小和形状)，意指所有属于微元体的许多个线元转动的平均值。同时，约定作为绕z轴的转动角，此处z轴是变形前和线元垂直的轴，是线元MN (在变形前的位置)和它在变形后M*N*在垂直z轴平面上投影之间的夹角(图3.5)因此45第三章 应变状态MN因变形产生绕z轴的转动角为z=*- (3.2-6)由(3.2-5)、(3.2-6)和三角函数关系式可得1(exy+z)cos+(1+ey)sintan+tanz =11-tantanz(1

20、+ex)cos+(exy-z)sin2从上式可解得 图3.5 线元绕z轴角度变化11z+exycos2+(ey-ex)sin2 tanz=-11+excos2+eysin2+exysin22取z从=0到=2间隔中的平均值(即取所有垂直于z轴的线元的tanz的平均值)， 1 tanz=22tan0zd=H1+H2d其中 H1=Z22101+ecos2+esin2+exysin2xy2 1 H2=42exycos2+(ey-ex)sin2 101+ecos2+esin2+exysin2xy21令f=1+excos2+eysin2+exysin2，则积分H2可化为 21 H2=4而积分H1可化为 2

21、df1=lnff4020=0H1=z22+e0dx2+ey+(ex-ey)2+exysin(2+) z+2d =2+e+e+(e-e)2+e2sin (a) 2xyxyxy46第三章 应变状态式中 =arcsinex-eyex-ey2 =arccos 2 +exyexyex-ey2 2+exy由以上可得12tanz=z12+ex+ey+exey-exy42(2+ex+ey)tan+(ex-ey)+exy122+ex+ey+exey-exy42+(b) 因为所求得的arctan ()且多值函数，所以结果不定，但这种不定性可以揭示出来。如果考虑到使ex,ey,ez趋近于零时，从(a)式可知积分H1

22、必然趋近于z，据此在 (b)式中必须使2(2+ex+ey)tan+(ex-ey)+exy122+ex+ey+exey-exy42+=2 (c)于是得到tanz的表达式为 tanz=z12(1+ex)(1+ey)-exy4(3.2-7a)用类似的方法可以写出tanx和tany为12(1+ey)(1+ez)-eyz4 (3.2-7b) ytany=12(1+ex)(1+ez)-exz4tanx=三个参数tanx，tany，tanz表征出包围M点的无限小体积的转动，它们分别和x，y，z成正比，而且在后者等于零时也等于零。因此，如果它们在任一坐标系X,Y,Z等于零，那么它们在任何其他坐标系中都等于零。

23、因此可得出结论，在物体上任一点，如果有x=y=z=0 (3.2-8) 则表示通过该点的线元对于通过这点的任意轴平均来说没有转动。所以，等式x47第三章 应变状态(3.2-8)是物体上M点周围任意无限小微元体没有转动的条件。2.2应变张量与转动张量在直角坐标系下，式(3.1-5)称为Green应变张量。虽然是在直角坐标系中导出的，但它们所描述的几何关系与坐标系的选择无关，因此适用于任意正交坐标系。从数学角度出发，Green应变张量属对称二阶张量。对于式(3.1-4)，如果忽略高阶微量，则(3.1-4)式中将成为xyyzzxuxvy=ywz=z (3.2-9) uv=yx=+=2xy=2yxyxv

24、w=zy=+=2yz=2zyzyuw=xz=+=2zx=2xzzxx=将其写为张量形式为ux1vuij=(+)2xy1wu(+)2xz1vu(+)2xyvy1wv(+)2yz1wu(+)2xz1wv(+) (3.2-10) 2yzwz在直角坐标系中，称(3.2-10)式为Cauchy应变张量，它也是二阶张量。由张量分析知，任何一个二阶张量都可唯一地分解成一个对称张量和一个反对称张量。因此(3.1-15)式可写成11 ui,j=(ui,j+uj,i)+(ui,j-uj,i)=ij+ij (3.2-11) 22其中ij的元素为(3.2-10)式，而ij的各元素为48第三章 应变状态01vu ij=

25、(-)2xy1wu(-)2xz1uv(-)2yx01wv(-)2yz1uw(-)2zx1vw(-) 2zy0 (3.2-12)根据(3.2-1)式，上式也可写为0 ij=z-y-z0y-x (3.2-13) 0x由(3.2-7)知，ij反映了包围某点无限小微元体的转动，因此称ij为转动张量。2.3物体变形的描述与简化以上的讨论阐述了已知位移u、v、w决定物体任意一点无限小区域的位移、转动和纯应变三个因素，这些因素确定了假想从物体中切割出来的无限小微元体受载后的终了位置和终了形状。但是必需指出，整体位移和微元体的转动并不是微元体变形的特征，变形是由应变ij所决定的。但是，如果说整个物体的变形，则

26、其具有特征的是物体上各点的位移和各纤维的转动角。如梁的变形通常是指梁的挠度(即位移)，而轴的变形是指轴的一端相对于另一端的扭转角(即转动角)。因此从这个观点出发，位移和转动是整个物体变形的特征，而伸长度和剪切度是物体在无限小微元体变形的特征。这两个特征具有实际意义，前者决定承力构件或物体的刚度，后者决定承力构件或物体的强度。由上面的叙述可知，“小变形”这一术语就产生二种解析，“小形变”可以了解释为小伸长度和小剪切度(同1相比)；或者可以解释为小位移(同物体的尺度相比)和小转动角(同1相比)必须指出，小变形的经典理论实际上是建立在小位移和小转动角的假设基础上的。但是这一情况很少用应有的明确程度加

27、以说明。因此，习惯于将变形的概念联想到应变分量，以为是指小伸长度和小切应变。应孩强调的是关于小位移和小转动角的假投，比之小应变分量的假设，很大程度地限制了论述的普遍性、并且前一假设的结果也服从后一假设，但反过来则并不肯定。其次必须指出，在必须表明小位移时，常常没有预先说明它应和什么比较是微小的，其实这样的预先说明是十分必要的，因为位移是具有量纲的量。今后使用“小变形”这一术语时，始终是指小伸长度和小剪切度(同1相比)。 此外，如果所研究的问题同时又有小位移和小转动，总是预先加以说明。 49第三章 应变状态直到现在，还没有对伸长度和剪切度的大小加以任何限制。但是在弹塑性力学的论述中这样的普遍性照

28、例是没有必要的，因为只有很少的材料(例如橡皮)才在颇大的相对应变的情况下还保留它的弹性的性质，大多数应用在工程上的材科(例如所有的金属和合金)仅在同1相比很小的伸长度和剪切度下才是弹性的。例如钢的弹性变形区域大概在相对伸长度的数值是10-3到510-3这一量级，钢的弹性切应变的最大数值也在类似的量级上。有色金属(及其合金)，数字稍有不一样，但它们的弹性变形区域也限制在很小的伸长度和切应变内。从上面可见，弹塑性力学应用于金属结构时，略去同1比较起来很小的伸长度和剪切度以简化公式是很自然的而且是合理的。由此，小应变理论提供了最大的实际兴趣。当忽略同1相比很小的伸长度和剪切度来简化前面己求得的公式，

29、则对于 (3.1-8)实行简化，得到：Ex=x， Ey=y， Ez=y而根据(3.1-14)式得到xyxy， yzyz， zxzx因此在小应变的情况下，应变分量x,y,z可以与相应的伸长度等同看待，而应变111分量xy=xy,yz=yz,zx=zx可以与相应的剪切度等同，但因它们仍需用式222(2.1-4)计算，所以小应变仍属非线性。应当指出，如果转动很大，而剪切度却很小，那么在决定变形后线元的方向时，同转动相比可以略去剪切度(这里是指可一般略去剪切度；在有剪切度但不同时有转动的式子中，就不能略去剪切度)。材料力学梁的理论中的平面假设、和板理论中的Kirchhoff假设，就是这种简化处理可变形

30、物体线元方向的例子，两者都是是假定同转动相比可以略去剪切度而作出结论的。如果应变和转动角都很小，此时同1相比微小的不仅仅是应变分量，而且在(3.2-7)中还可略去与转动角相关的平方项高，从而可以获得tanxxx， tanyyy tanzzz当伸长度、剪切度和转动角同1相比都很小时，利用(3.2-1)式可将(3.1-4)改写为50第三章 应变状态xyyzzx1211y=ey+ey+(eyz+x)2+(exy-z)222212112z=ez+ez+(exz+y)+(eyz-x) (3.2-14) 22211111=exy+ex(exy-z)+ey(exy+z)+(exz-yeyz+x)=xy222

31、2211111=eyz+ey(eyz-x)+ez(eyz+x)+(exy-z)(exz+y)=yz2222211111=ezx+ez(exz-y)+ex(exz+y)+(eyz-x)(exy+z)=zx222222x=ex+ex+(exy+z)2+(exz-y)2222111在应变分量公式(3.2-14)中包括了以下项：(a)参数eij的线性项；(b)参数eij彼此相乘的项；(ck彼此相乘的项和(d)参数eij与k的乘积项。当eij和k同1相比很小时，则有两种可能性，则有两种可能性：(1) k与eij同阶或更高阶的微量；(2) eij与k2同阶或更高阶的微量。对于第一种情况，(3.2-14)式

32、中只需保留线性项，因此应变分量用(3.2-10)式计算，即为Cauchy张量。对于第二种情况，在(3.2-14)式中只需保留(a)和(c)形式的项，简化后可得应变分量为1212+z2), yey+(x212zez+(x2+y),22xex+(y+z2),xyexy-xyyzzxeyz-yz (3.2-15)ezx-zx式(3.2-14)和式(3.2-15)应用很广，式(3.2-14)用于小应变分量和小转动分量，而且两者属同一量级时，则就是通常指的小变形情况。式(3.2-15)用于小应变和小转动，但转动仍比应变大很多，因此适合柔性构件问题，如细长杆、板壳等，这种情况通常称为大变形小应变。而(3.

33、1-4)式属大变形大应变问题。总之，Cauchy应变张量属于线性问题，其余均为非线性问题。3.3主应变和应变不变量3.1应变张量的坐标变换同一个变形可在不同的坐标系中研讨。在所有各种情况下，可以用前面所51第三章 应变状态确定的六个应变分量把变形的特征充分地表示出来，但这六个应变分量的值却随坐标轴方向的选择而变更。设原有的坐标系为X、Y、Z，另坐标系为X'、Y'、Z'，它的各轴的方向对第一个坐标系各轴的方向余弦如表3.2所示。因为二个坐标系均为直角坐标，因此表3.2所列方向余弦之间有下面的关系：2l12+l2+l32=122+m3=1 m12+m222n12+n2+n3

34、=1l1l2+m1m2+n1n2=0l1l3+m1m3+n1n3=0 (3.3-1a)l2l3+m2m3+n2n3=0l1m1+l2m2+l3m3=0l1n1+l2n2+l3n3=0 (3.3-1b)m1n1+m2n2+m3n3=0上式也可写为 l12+m12+n12=1 222l2+m2+n2=122l32+m3+n3=1如果线段在第二个坐标系X'、Y'、Z'各轴上的投影是dx'，dy'，dz'，那么在第个坐标系X、Y、Z各轴上的投影是：dx=l1dx'+l2dy'+l3dz' dy=m1dx'+m2dy'

35、;+m3dz' (3.3-3)dz=n1dx'+n2dy'+n3dz'注意3.1节中的式(f)左边是表示点M和N之间距离的平方因变形而引起的变化，由于这两点的选择与坐标无关，该式左边也应与坐标选择无关，因此在坐标变换过程是应是不变量。于是将(3.1-7)式右边的dx,dy,dz用矢量在新坐标上的投影dx'，dy'，dz'的(3.3-3)代入，将有1'''''EMN(1+EMN)dS2=x(dx')2+y(dy')2+z'(dz')2+2(xydx'dy'

36、;+yzdy'dz'+zxdz'dx')2(3.3-4) 其中52第三章 应变状态'x=xl12+ym12+zn12+2(xyl1m1+yzm1n1+zxl1n1)'222y=xl2+ym2+zn2+2(xyl2m2+yzm2n2+zxl2n2)22z'=xl32+ym3+zn3+2(xyl3m3+yzm3n3+zxl3n3)'xy=(xl1l2+ym1m2+zn1n2)+xy(l1m2+l2m1)+yz(m1n2+n1m2)+zx(l1n2+n1l2)'yz=(xl2l3+ym2m3+zn2n3)+xy(l2m3+l3m

37、2)+yz(m2n3+n2m3)+zx(l2n3+n2l3)'zx=(xl1l3+ym1m3+zn1n3)+xy(l3m1+l1m3)+yz(m3n1+n3m1)+zx(l3n1+n3l1) (3.3-5)由以上可见，式(3.3-4)与式(3.1-7)在形式上相类似，因此式中所含的各系'''''数x在坐标系X'、Y'、Z'中的意义与系数x,y,z,xy,yz,zx在,y,z',xy,yz,zx坐标系X、Y、Z的意义一样。显然，式(3.3-5) 就是坐标轴变换时应变分量的变换规律。3.2主应变和应变不变量现在讨论在那

38、一个方向伸长度EMN会具有极值。设取X'轴平行这个方向，那么根据(3.3-4)式有Ex'(1+1''-1 (3.3-6) Ex')=x 或 Ex'=+2x2' 由上式可见，求Ex'的极值归结为求x的极值，也即要确定l1,m1,n1的值，使得在该方向上使(3.3-5)式中的第一式有极值。由(3.3-1b)式于知，l1,m1,n1之间存在如下关系l12+m12+n12-1=0 (3.3-7)那么，假设一函数为' f=x-(l12+m12+n12-1)式中为Lagrange乘子。现将上式分别对l1,m1,n1求偏导数，并使其等于

39、零，则得如下线性方程组(x-)l1+xym1+zxn1=0 xyl1+(y-)m1+yzn1=0 (3.3-8)zxl1+yzm1+(z-)n1=0由于条件式(3.3-7)的存在，l1,m1,n1不可能同时为零，因此(3.3-8)是关于l1,m1,n1的线性齐次方程组。根据齐次方程组有非零解的条件，(3.3-8)式中的系数行列式必为零，即53第三章 应变状态x-xyzxxyy-yzzxyzz-=0 (3.3-9)'它至少有一个实根，将它记为1。注意到(3.3-5)中x的表达式还可写为' x=(xl1+xym1+zxn1)l1+(xyl1+ym1+yzn1)m1+(zxl1+yz

40、m1+zn1)n1'将上式括号中的式子用(3.3-8)中的值代入，并注意到(3.3-7)式，将发现x=1，'即x的极值就是1。当分别设Y',Z'平行于伸长度EMN具有极值的方向时，采用类似的方法可分别得到关于l2,m2,n2和关于l3,m3,n3的类似于(3.3-8)式的线性齐次方程组，且其系数行列式与(3.3-9)式完全一样。将(3.3-9)式展开该式得'' 3-I1'2+I2-I3=0 (3.3-10)I1'=x+y+z'222=xy+yz+zx-(xy+yz+zx)其中 I2I'=+2-(2+2+2)xyzx

41、yyzzxxyzyzxzxy3''这三个参数I1',I2分别称为第一、第二、第三应变不变量。 ,I3方程式(3.3-10)有三个实根。设这三个实根分别为1、2、3。则由根与系数关系，有'=12+23+31 (3.3-11) I2'I3=123I1'=1+2+3称1、2、3为主应变，所在方向称之为主方向。''另外，注意到应变分量xy和yz可以写为'xy=(xl1+xym1+zxn1)l2+(xyl1+ym1+yzn1)m2+(zxl1+yzm1+zn1)n2'zx=(xl1+xym1+zxn1)l3+(xyl1+ym

42、1+yzn1)m3+(zxl1+yzm1+zn1)n3 将上面两式中括号内的式子用(3.3-8)代入，则有'xy=1(l1l2+m1m2+n1n2)'zx=1(l1l3+m1m3+n1n3)''由(3.3-1a)可知，xy=zx=0。因此，如果在X'轴方向的伸长度是极值，那末应''变分量xy也就是变形发生时，在X'方向和Y'方向之间的直角以及X'方=zx=0，向和Z'方向之间的直角没有变化。由此可见，不论在物体上任何点的变形怎样， 54第三章 应变状态总可以找出通过物体的三条纤维，它们在变形前是互相垂直的，

43、而在变形后仍然还是互相垂直。将1代入(3.3-8)式，则可求得l1,m1,n1，从而可确定1的方向，即主方向。如果将(3.3-8)式中的l1,m1,n1分别用l2,m2,n2和l3,m3,n3代替，以及别将用2和3代替，则可求得l2,m2,n2和l3,m3,n3，从而确定主应力2和3的主方向。 完全类似地还可求得最大切应变为1=±(2-3) 2=±(3-1)3=±(1-2)以及八面体的切应变为 1222228=(1-2)+(2-3)+(3-1)3 (3.3-12) 12222=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2+6(xy+yz+zx)23应变偏量及其不变量分

44、别为 1(2-)0012331 (3.3-13) 0(22-3-1)0 eij=3100(2-)3123'=e1e2+e2e3+e3e1 (3.3-14) J2'J3=e1e2e3J1'=034 应变率张量和应变增量张量4.1应变率张量在小变形条件下，应变张量可简写为1ij=(ui,j+uj,i) (3.4-1) 2而当介质处在运动状态时，以v(x,y,z,t)表示质点的速度，vi表示速度的三个分量，以时间t作为起点，则经过无限小时间段dt以后，位移为ui=vidt，由于dt很小， ui及其对坐标的导数也很小，因此可以应用小变形公式，即55第三章 应变状态ij=如果令i

45、jdt=ij，则有 11(ui,j+uj,i)=(vi,j+vj,i)dt (3.4-2) 22 ij=1(vi,j+vj,i) (3.4-3) 2ij称为应变率张量，上式定义不论ij大小都成立，但要求是对每一瞬时状态进行计算，不是按初始位置计算。因为，在一般情况下当按初始位置计算时 d ijij dt只有在小变形条件下才有 ij=由(3.4-2)和(3.4-4)式可知 dd11 ij=ij=(ui,j+uj,i)=(ui,j+uj,i) (3.4-5) dtdt22dij=ij (3.4-4) dtt于是应变对时间的变化率为 ux=ty=vywzz=将上式写为张量形式为 vuxy=+xywv

46、yz=+ (3.4-6) yzuwzx=+zxx1 ij=xy21xz21xy2y1yz21xz21yz (3.4-7) 2z4.2应变增量张量应当指出，对于固体材料，当温度不变时或变形是缓慢的，则其力学行为与应变率关系不大，只有在受到动载荷时，因变形速率很快，材料的力学性质才会与应变速率有关，这类材料通常称为应变率敏感材料。因此，根据第一章中的基本假设，时间因素对物体的弹塑性力学行为不发生影响(即不考虑粘性效应)，而 56第三章 应变状态且这里的dt并不代表真实的时间，仅仅代表加载变形的过程。于是，对于这里所讨论的问题主要关心的不是应变速率而是应变增量dij。于是采用应变增量dij代替应变率

47、ij更能表示不受时间参数选择的特点。以dui代表位移增量，则(3.4-3)式成为 1 dij=(dui,j+duj,i) (3.4-8) 2在小变形条件下 dij=1(dui,j+duj,i)21=d(ui,j+uj,i) (3.4-9) 2=d(ij)这说明在小变形时、按瞬时状态计算dij与按初始状态计算dij(近似地)没有什么区别。类似地、应变增量张量的应变增量偏量为deij=dij-dij (3.4-10) 注意，在求应变增量时，每一次都应从瞬时位置计起，而不是从初始位置算起。例如在简单拉伸时，轴向应变增量为 dl d= l此处l是拉伸时的瞬时长度(为了不与相混淆，令dE=dl)。一般情

48、况下应变增l量的累计值dij的物理意义并不明显，但是当应变张量的主方向不变时，它们的积分才有明确的物理意义。对于简单拉伸问题有Ei=dE=ln(1+i) (3.4-11) 这就是对数应变，又称为真应变。4.5小变形的应变协调方程对于一个连续的物体，按某一应变状态变形后必须既不出现开裂，又不会出现重叠，即保持其连续性。此时所给定的应变状态是协调的，否则是不协调的。这就要求位移函数ui在所定义的域内为单值连续函数。一旦出现了开裂，位移函数就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能为单值。因此、为保持物体变形后的连续性，各应变分量之间必须有一定的关系。57第三章 应变状态在小变形情况下，6个应变分量

49、是通过6个几何方程与3个位移函数相联系。若已知位移分量ui，则由(3.4-1)求得各应变分量。若给定一组应变ij，(3.4-1)式是关于未知位移函数ui的微分方程组，它包含6个方程，仅三个未知函数，方程的个数超过了未知数的个数，若任意给定ij，则方程(3.4-1)不一定有解，仅当ij满足某种可积条件，或称为应变协调关系时，才能由方程(3.4-1)积分得到单值连续的位移场ui。在小变形条件下，应变的计算式为(3.2-9)。将(3.2-9)式中的6个应变分量分为两组。第一组为(3.2-9)式中的前三式，将该式中前两式分别对y和x求二阶偏导数，得 y2x3u3v ， 2=2 =22yxyxxy将上面

50、两式相加，得 22xy2uv2+=(+)=xy 22xyyxxyyx2这就是我们需要的应变之间的一个关系式将上式内各字母循环替换，就得到另外二式，第一组中共有三个关系式。第二组为方程(3.2-9)中的后三式，将它们分别对z、x和y求偏导得 yz2w2vzx2v2u2w2u ， ， =+=+=+zxzyzxyxzxyxyyz将上式中的第二和第三式相加，并减去第一式，然后再对z求导，则有 xy2zyzzxxy3w ( +-)=2=2zxyzxyzxy将上式各字母循环替换，就得到另外二式。第二组也共有三个关系式。 于是第一组和第二组的6个关系如下58第三章 应变状态2y2z2+=yz22yzzy22

51、2zx+=zx22zxxz (3.5-1) 2xzxxyyz(+-)=2xyzxyz2yxyyzzx(+-)=2yzxyxz2zyzzxxy(+-)=2zxyzxy上列应变分量之间的6个微分关系式，称为应变协调方程，又称变形连续方程(圣维南恒等式)。当弹塑性变形固体在外界因素影响下，物体中产生应力与应变，如能先求得位移u,v,w，对于小变形问题则可由式(3.4-9)可计算应变分量，这时应变协调方程(3.5-1)自然满足，因应变协调方程本是由式(3.4-9)所导得。但是，如先求出应力，然后再求应变，则所求的应变分量必须同时满足应变协调方程(3.5-1)，否则，应变分量之间可能互不相容，因此也就不

52、能用式(3.4-9)求得正确的位移。 式(3.2-2)可以视为位移分量u,v,w的微分方程，如果应变分量和转动分已知，则求式(3.2-2)的积分，就可求得位移分星u,v,w，进步可证明，在求上述积分时、必须满足应变协调方程。22xy2+=xy22xyyx3.6正交曲线坐标中的应变几何方程在求解具有曲线或曲面边界的弹塑性力学问题时，一般选用正交曲线坐标系比笛卡儿直角坐标系更为方便。6.1正交曲线坐标设以三个独立变量(x,y,z)来定义的三个独立标量函数(X,Y,Z)为X=X(x,y,z), Y=Y(x,y,z), Z=Z(x,y,z) (3.6-1) 如果(X,Y,Z)表示笛卡尔坐标，则对任何一

53、组(X,Y,Z)，变量(x,y,z)都是空间坐标。那么在一规则区域内，独立标量函数与独立变量之间存在唯一解，即 x=x(X,Y,Z), y=y(X,Y,Z), z=z(X,Y,Z), (3.6-2) 如果(x,y,z)为常值(x0,y0,z0)，则方程(3.6-2)给出59第三章 应变状态x(X,Y,Z)=x0， y(X,Y,Z)=y0， z(X,Y,Z)=z0 (3.6-3) 方程x(X,Y,Z)=x0定义一个坐标面。当x0取不同的值，就得到与x0对应的一族坐标面。类似地，方程y(X,Y,Z)=y0和z(X,Y,Z)=z0给出另外两族坐标面。两个坐标面的交线定义一坐标线。如y=y0和z=z0的交线定义一条坐标线，沿这条线只有x在变化，该交线称为x坐