直线与椭圆位置关系

1、复习：点与圆的位置关系有几种，如何判定？复习：点与圆的位置关系有几种，如何判定？ 法1（几何法）：比较dOA与r的大小；法2（代数法）：代入判断 直线与圆的位置关系有几种，如何判定？直线与圆的位置关系有几种，如何判定？法1（几何法）：比较dO-l与r的大小；法2（代数法-）：联立后看符号 1 1：如何判断点、线与椭圆的位置关系？：如何判断点、线与椭圆的位置关系？2 2：利用直线与椭圆的位置关系研究几何图形的性质。：利用直线与椭圆的位置关系研究几何图形的性质。本节课的重点：本节课的重点： 点点 P(xP(x0 0,y,y0 0) )与椭圆与椭圆 的位置关系及判断：的位置关系及判断：1.点在椭圆外

2、点在椭圆外2.点在椭圆上点在椭圆上3.点在椭圆内点在椭圆内22221(0)xyabab1220220byax1220220byax1220220byax例例1：已知直线：已知直线l：x+y-3=0，椭圆，椭圆 判断直线判断直线l与椭圆与椭圆C的位置关系。的位置关系。22:14xCy已知直线已知直线l：y=mx-m ，椭圆，椭圆 判断直线判断直线l与椭圆与椭圆C的位置关系。的位置关系。22:14xCy已知直线已知直线l：y=x+m ，椭圆，椭圆 判断直线判断直线l与椭圆与椭圆C的位置关系。的位置关系。22:14xCy1 1、公共点问题：、公共点问题：判断直线与椭圆的位置关系的方法有：判断直线与椭

3、圆的位置关系的方法有：几何法：直接作图；几何法：直接作图；代数法：代数法：直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0 与椭圆与椭圆 的位置关系的位置关系 ： 102222byaxCByAx yoF1F2x yoF1F2x yoF1F2x12222byax3.相离相离: 方程组无公共解方程组无公共解.2.相切相切: 方程组只有一组公共解方程组只有一组公共解.1.相交相交: 方程组有两组公共解方程组有两组公共解.等价于：等价于：00/2/cxbxa(代数法代数法)直线与椭圆联立得直线与椭圆联立得练习练习1：已知直线：已知直线y=mx-2与椭圆与椭圆 总有公共点，求总有公共点，求m的取值范围。的取

4、值范围。2214xy练习练习2：已知直线：已知直线ykx1与椭圆与椭圆 总有公共点，求总有公共点，求m的取值范围。的取值范围。1522myx2 2、弦长问题：、弦长问题：例例2：已知直线：已知直线xy10与椭圆与椭圆 相交于点相交于点A、B，求弦长，求弦长|AB|。 141622yx小结：小结： 若直线若直线l:y=kx+b与椭圆相交于与椭圆相交于A、B两点，两点，设设 则弦长则弦长|AB|:1122( ,), (,)A x yB xy221221)()(|yyxxAB),(2211bkxybkxy2212221)()(|xxkxxAB2212)(1xxk2122124)(1xxxxk-设而不

5、求设而不求思路思路1 1：直接求出直接求出x1, y1, x2,y2 思路思路2 2：只要求出只要求出x1, x2思路思路3 3：直接求出直接求出x1+x2、x1x2 例题例题3：若直线：若直线y=x+m与椭圆与椭圆 相交于相交于2214xyA、B两点，求弦长两点，求弦长|AB|的取值范围。的取值范围。例题例题4：已知直线：已知直线l：4x-5y+40=0及椭圆及椭圆C： 221259xy椭圆椭圆C上是否存在一点上是否存在一点P，使点，使点P到直线到直线l的距的距离最小？若存在，请求出最小距离。离最小？若存在，请求出最小距离。3 3、最值问题、最值问题 . 036)42(4)21 (16)41

6、 (222kxkkxk4)41 (2)21 (1620221kkkxxxM.21k解得，得由1936)4(222yxxky)4(2xky存在，设解：由题意知直线斜率082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为经检验，符合经检验，符合0.241936. 522方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx4 4、弦的中点问题、弦的中点问题 .241936. 522方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx另解：，则，设)()(2211yxByxA193619362224222221212121yxyxyyxx09)(36)(4321212121yyyyxxxx得：

7、由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为变式：本题改为变式：本题改为M M（2,42,4），问），问“是否存在被是否存在被M M平分的弦，平分的弦， 若存在，求弦方程若存在，求弦方程”。该怎么解？。该怎么解？设点作差法设点作差法：作用：可解决弦的中点和弦的斜率作用：可解决弦的中点和弦的斜率和和椭圆系数之间的椭圆系数之间的关系。关系。前提条件：直线与椭圆相交。前提条件：直线与椭圆相交。解决方案：验。解决方案：验。求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,1, 14:62222OBOABAxybybxAxyOB),

8、(),(2211yxByxA解：设得：则由OBOA15852.22yx椭圆方程为5 5、垂直问题、垂直问题 0,22121yyxxOBOA：法1, 112211xyxykkOBOA：法练习练习3：已知椭圆：已知椭圆C的中心在原点，焦点在的中心在原点，焦点在x轴上，轴上，离心率离心率 ，椭圆，椭圆C与直线与直线x+y+1=023e相交于相交于P、Q两点，若三角形两点，若三角形OPQ为直角为直角三角形，求椭圆三角形，求椭圆C的方程。的方程。练习练习4：已知椭圆：已知椭圆C的中心在原点，焦点在的中心在原点，焦点在x轴上，轴上，离心率离心率 ，椭圆，椭圆C与直线与直线x+y+1=023e相交于相交于P

9、、Q两点，以线段两点，以线段PQ为直径的圆为直径的圆经过原点，求椭圆经过原点，求椭圆C的方程。的方程。（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4 4）与垂直有关的问题）与垂直有关的问题解解1:(1:(整体整体) )设而不求；解设而不求；解2 2:(:(个体个体) )设点作差法设点作差法02121yyxx小结小结: :直线与椭圆：直线与椭圆：（2 2）弦长问题）弦长问题（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系( (即公共点个数）即公共点个数）2122124)(1xxxxkAB基本解题步骤：基本解题步骤：联立联立; ; 消元消元; ; 二次项二次项系数系数+ +; ; 韦达韦达; ; 化简，代公

10、式化简，代公式求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,1, 14:62222OBOABAxybybxAxyOB),(),(2211yxByxA解：设02121yyxxOBOA得：则由222441byxxy由2224) 1(4bxx0448522bxx整理得：54458022121bxxxx由韦达定理得) 1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852 b1585222yx椭圆方程为02121yyxx弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线：已知椭圆例2114722mmxyyxxyO121代入椭圆将解：mx

11、y) 1 (01)(422mxx012522mmxx直线与椭圆有公共点，0) 1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共所以当2525m4 4、最值问题、最值问题 代入椭圆将mxy)2(012522mmxx由弦长公式得：5) 1(20411|1|2222mmakAB245522m5102|0maxABm时，当xy 此时，直线方程为xyO121弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线：已知椭圆例2114722mmxyyx4 4、最值问题、最值问题 .125144)(822的取值范围求上的点，是椭圆，：已知例yxuyxyxP yoF1F2x代入

12、椭圆方程：将解xuy2125)(14422xux0125252)2511441(22uxux0) 125)(2511441(4)252(022uu得：由13 u1313yx4 4、最值问题、最值问题 练习练习1：已知过椭圆：已知过椭圆 的右焦点且斜率为的右焦点且斜率为 1的直线的直线l与椭圆相交于点与椭圆相交于点A、B，求弦长，求弦长|AB| 。141622yx等于椭圆等于椭圆C的短轴长，求的短轴长，求 的值。的值。已知椭圆已知椭圆 ，直线，直线22:14xCy:,l yxmPQ且直线且直线 与椭圆与椭圆C相交于相交于P、Q两点，若两点，若lm练习练习2：例题例题5：过椭圆：过椭圆 内一点内一点M(2,1)作一条弦作一条弦AB，221164xy使得弦使得弦AB被点