第四章：第二节：换元公式ppt课件

1、第二节第二节 换元积分法换元积分法 一、第一类换元法一、第一类换元法 二、第二类换元法二、第二类换元法 三、小结三、小结 思考题思考题问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 那那么么.)()( CuFduuf假如假如)(xu （可微）（可微）dxxdF)( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法

2、定理dxduduudF )()()(xuf )()(xxf 设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )1()()( xuduuf ( 第一类换元公式第一类换元公式 : 凑微分法）凑微分法）)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1 公式公式1的目的是将左边的积分在变量代换的目的是将左边的积分在变量代换 u = (x) 下，转化为右边的积分来计算。下，转化为右边的积分来计算。 xdxf)( 如何用公式如何用公式1来求不定积分？关键是寻找来求不定积分？关键是寻找 适当的变量代换适当的变量代换 u = (x) , 这要根据具体问题这要根据具体问题 具体分析。具体分析。

3、 在积分式在积分式中中 d x 可以看作是对积分可以看作是对积分变量变量 x 的微分。的微分。例例1 1 求求.2sin xdx解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxdCu cos21解二）解二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd.cos2Cx udusin21;2cos21Cx 例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu |ln21.|23|ln21Cx dxbaxf

4、)( baxuduufa)(1一般地一般地)23(23121xdx 例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu |ln21.|ln21|ln21Cx xdxxd1ln 有有公公式式例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx Cunduuduunnn 1)1(11例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa

5、2111.arctan1Caxa Cxdxx arctan112例例6 6 求求解一：解一：.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx Cxxdxdxxcotcscsin122解二：解二： 2sin21cos112xdxdxx)2(2csc2xdx Cx 2cot例例6 6 求求.cos11 dxx思考题：为什么两种方法所得结果不一样？思考题：为什么两种方法所得结果不一样？ dxxcos11.sin1cotCxx 解一：解一：例例7 7 求求解

6、解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例8 8 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例9 9 求求 22

7、xadx解：解： 22xadxdxxaxaa)11(21 xadxaxadxa2121cxaaxaa |ln21|ln21)0(|ln21 acxaxaa类似地可推出类似地可推出 22axdx)0(|ln21 acaxaxaCxaxadxCxaxadx |ln,|ln例例10 10 求求解一）解一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）xdxxd2sectan 有有公公式式类似地可推出类似地可推出.tan

8、seclnsec Cxxxdx解二）解二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 例例10 10 求求.csc xdxCxaxadxCxaxadx |ln,|ln例例11 求求 22xadx解：解： 22xadx 2)(11axdxa 2)(1)(axaxd)0(arcsin acaxCxxdx arcsin12 )4(6xxxd )4(665xxxdx )4(61666xxxd666)411(241xdxx 6ln241x 661241xdx )4(

9、4124166 xdxcx )4(ln2416cxx 4ln24166例例12积积 分分 公公 式式 22)16(xadx)0(ln21 acxaxaa 22(axdx或）或）)0(ln21 acaxaxa 22)15(xadx)0(arcsin acaxdxxa 221)14(.arctan1caxa xdxsec)17(Cxx tansecln xdxcsc)18(Cxx cotcscln Cxxdxcoslntan)19(Cxxdx sinlncot)20(问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx

10、dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法注意：上面所用的变量代换形式为：注意：上面所用的变量代换形式为：)(t )(:xu 第第一一类类txsin 一般地，设所求积分为一般地，设所求积分为 xdxf)(令令 x = (t)那么那么 d x = (t) d t， xdxf)()2()( )( tdttf 得换元公式得换元公式然后计算出右边的积分，设为然后计算出右边的积分，设为ctFtdttf )()( )( 代回，代回，再将再将)(1xt xdxf)( tdttftx)

11、( )()( cxF )(1 x = (t) 要单调可导要单调可导 第一类换元公式第一类换元公式 xdxxf)( )( ) 1()()( udufxu 第二类换元公式第二类换元公式 xdxf)()2()( )()( tdttftx 两类换元公式的比较两类换元公式的比较 例例13 13 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax 2,2t.)ln(122Caxx .ln1aCC Cttxdx |tansec|lnsec例例14 14 求求解解.42

12、3dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 24cos2xt 例例14 14 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax .ln22Caaxax aaxt22tan .ln122C

13、axx .ln1aCC 说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 例例15 15 求求解：倒代换解：倒代换).0(422 adxxxa令令,1tx dttdx21 dxxxa422dttta | 122,0时时当当 x, 0 t dxxxa422所以所以tdtta 122222121dtta )1(12122222 tadtaaC

14、ata 223223)1(当当 x 0 时有相同的计算结果时有相同的计算结果 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例16 16 求求dxxx 251, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 21xt 解一：令解一：令解二：解二：令令txtan tdtdx2sec 2,2tt12 xx1dxxx 251 xdxxsectan5 xxdsectan4 xdx

15、sec)1(sec22 xdxxsec)1sec2(sec24Cxxx secsec32sec5135.1)348(151242Cxxx 例例16 16 求求dxxx 25111sec2 xt例例17 17 求求解：令解：令.11dxex xet 1, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtttt 1212Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 txdtt 122)0(,ln2122 aCaxaxaaxdx说明说明(3)(3) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数） lkxx,ntx n例例18 18 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx