第十二章第2节可分离变量的微分方程ppt课件

1、第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如形如xdxfydyg)()(的一阶微分方程叫做已分离变量方程的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .设设 是方程的解是方程的解 , )(xyxdxfxdxxg)()()( 两边积分两边积分, 则有则有ydyg)( ,)(xdxf (称为通积分)则有恒等式则有恒等式 .)()(CxFyG 即即的方程都叫做可分离变量方程的方程都叫做可分离变量方程. 可用分离变量的方法可用分离变量的方法求解求解.或或 5422yxdxdy 例例如如.2254dxxdyy 形如形如)()(21xfxfdxdy 0)()()()(2121 dyyNxNdxyMxM例

2、例1 求微分方程求微分方程yxxdyd23 的通解的通解.解解 分离变量得分离变量得.32xdxydy 两边积分两边积分,32xdxyyd 得得13lnCxy Cxylnln3 即即13Cxey 31xCee 3xeC 令令1CeC ( C 为任意常数 )或或说明说明 在求解过程在求解过程中每一步不一定是中每一步不一定是同解变形同解变形, 因此可因此可能增、减解能增、减解.如此例如此例, y = 0 也是原也是原方程的解方程的解 , 但在变量但在变量分离时丢失了此解分离时丢失了此解.例例2 解下述初值问题解下述初值问题, 0)1(2 ydxxdyx解解 分离变量得分离变量得,12xdxxyyd

3、 两边积分得两边积分得,ln11lnln2Cxy 即即Cxy 12由初始条件得由初始条件得 C = 1, . 112 xy( C 为任意常数为任意常数 ).故所求特解为故所求特解为. 1) 0 ( y求方程求方程 的通解的通解 . yxexdyd 解法解法 1 分离变量分离变量, xdeydexy ,Ceexy 或或01)( yxeCe( C 0 ).解法解法 2 令令 ,yxu 那么那么.1yu 故有故有,1ueu 积分积分,1Cxeudu ,)1 (lnCxeuu ( C 为任意常数 ).即即,)1(lnCyeyx udeeeuuu 1)1 (3例例(1) 找出事物的共性及可以贯穿于全过程

4、的规律列方程常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件(3) 求微分方程的通解 , 并根据定解条件确定特解 . 2、 解微分方程应用题的方法和步骤内容小结内容小结1、可分离变量方程的求解方法、可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 .习题习题12-2 P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6.思考与练习思考与练习求下列方程的通解 :0)()() 1 (22dyyyxdxyxx提示提示:xdxxyd

5、yy2211)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量分离变量(2) 方程变形为方程变形为2 yxcosysinCxysin22tanln一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题

6、三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船船速速为为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三三、3