第十二章第8节二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件

1、程常系数齐次线性微分方第八节一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数齐次线性方程解法：三、n阶常系数齐次线性方程解法四、小结及作业二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程)(20 qyypy)()()(10 yxQyxPy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程0510 yyy如如?:怎样求解怎样求解问题问题.)( 的的两两个个线线性性无无关关的的解解关关键键是是求求 2则则的的解解是是如如果果,)()(2xyy 0 )()()(xqyxypxy,数数这要求应是同一类的函这要求应是同一类的函?什么函数什么函数一、二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程,满足要求满足要求rxey :

2、,)(满满足足的的条条件件讨讨论论有有形形式式解解假假设设reyrx2将它代入方程(2)得0)(2 rxeqprr, 0 rxe)(302qprr;)(),(的的解解就就是是则则满满足足因因此此只只要要23rxeyr的特征方程的特征方程为为称称)()(23023 yyy如如特征方程特征方程0232 rr特征方程的根特征方程的根2121rr,是是方方程程的的根根。xxeyey2,1. 当042qp时, 特征方程有两个相异实根21r ,r则微分方程有两个线性无关的特解,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为.2121xrxreCeCy)(20 yqypy对对于于特征方程特征方程)(302q

3、rpr特特征征方方程程的的根根,24221qppr的通解的通解论论下面就根的三种情况讨下面就根的三种情况讨)(22. 当当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解1y)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定),2y 2y代入方程1xre)(1urup0uq02qrpr特征方程特征方程 :那么)2(211ururu 0)()2(1211 uqrprupru因为1r是特征方程的重根 , 故0 yqypy,0121qrpr021 pr0 u不防取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.1xre)(1xuexrxre

4、1, )(1uru xre1)2(211ururu ,24221qppr3. 当当042qp时, 特征方程有一对共轭复根,21irir这时原方程有两个解xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 为了得到实数解, 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyiyxexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx二、二阶常系数齐次线性方程解法：二、二阶常系数齐次线性方程解法：qpyqypy,(0 为常数 )02qrpr特征方程特征方程;2121xrxreCeCy根21, rr21rr 实根 2

5、1rr ;)(121xrexCCy,2pir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解例例1. 求方程求方程032 yyy的通解 . 解解: 特征方程特征方程0322rr有根,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题求解初值问题0222stdsdtdsd,40ts20ttdsd解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为,)(21tetCCs利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为.)24(tets22C.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得, ir21

6、21，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3练习练习02564 yyy例例5例例 2000044)(,)(yyyyy)sincos(xCxCeyx44213通解通解xxey22特解特解三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,

7、 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为,irrirrr543211故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例6 6例例7. 求方程求方程052)4( yyy的通解. 解解: 特征方程特征方程052234rrr有根 :irrr21,04,321因此原方程通解为:xCCy2

8、1)2sin2cos(43xCxCex例例5. 解方程解方程0)4()5( yy解解: 特征方程特征方程045rr有根 :1,054321rrrrr原方程通解 :1CyxC223xC34xCxeC5( 不难看出, 原方程有特解),132xexxx22222442)(rrr例例8. 解方程解方程)0(0444wxdwd解解: 特征方程特征方程044r即0)2)(2(2222rrrr其根为,)1(22,1ir,)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步

9、骤:（1写出相应的特征方程写出相应的特征方程;（2求出特征根求出特征根;（3根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 310812P习习题题.),)()(),)()()()(365421086421思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy

10、,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 那么那么, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCC