第十一次格林公式ppt课件

1、第三节第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用格林公式及其应用 LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞区域 )多连通区域 ( 有“洞区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理定理1. 设闭区域设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有, ),(yxP),(yxQddd dLDQPP xQ yx yxy( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,ddd dxyLDPxQyxyPQ或一、一、 格林公式格林公式证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y

2、 - 型区域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21那么yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即yxxQDdd( , )dLQ x yy同理可证yxyPDdd( , )dLP x yx、两式相加得:LDyQxPyxyPxQddddyxoL2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如

3、图)(的正向边界表示kkDD证毕推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例例1. 1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令令,22xQyxP那么yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00例例2. 计算计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解

4、: 令令, 那么2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye例例3. 计算计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重合点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxy

5、yx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件第二节例第二节例4,沿三条不同积分曲线积分相等沿三条不同积分曲线积分相等,均等于均等于1.yxo例例4. 计算计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 问问:此积分是否沿任何曲线从此积分是否沿任何曲线从

6、O积到积到B积分值都等于己积分值都等于己1?若是则称积分与路径无关若是则称积分与路径无关,否则积分与路径有关否则积分与路径有关.定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起点及终点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为

7、曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 那么(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd2ddLP xQ y证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux那么),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有y

8、QxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd那么),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内,xQyP那么2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计

9、算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;有加就得减取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yA xoL例例4. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添

10、加辅助线段,AOD它与L 所围原式22(3 )()L AOxy dxyx d yDyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D , 那么6483例例5. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设设,22yxQyxP那么xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx例例6. 验证验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 ,

11、并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP那么)0()(22222xyQyxxyxP由定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy例例7. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )

12、0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2考虑考虑: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQD

13、ddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(2. 设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxCCCCDyxoaaC1. 设设 C 为沿为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点D2. 质点质点