指数与对数的运算

1、指数与对数的运算【课标要求】(1) 通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函 数模型的实际背景；(2) 理解有理指数幕的含义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。(3) 理解对数的概念及英运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数：通过阅读材料, 了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质 为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算 理，能对常见的指数型

2、函数、对数型函数进行变形处理。【要点精讲】1、整数指数幕的概念。(1)槪念：an = a-a-a a(n e N*) a =(a 0)。一 = (a H 0,” w N*)V门个aam -an =amn(mjieZ)(2)运算性质:am)n = an,n(m,n e Z)两点解释： 屮 可看作(ab)n =an bn(neZ)旷吕严”(巴)“可看作R bn :. (-)n=an 宀 Jbbb12、根式:(1) 定义:若xn =a(n .n e 2V+)则x叫做a的门次方根。(2) 求法：当门为奇数时：正数的门次方根为正数，负数的门次方根为负数记作：x = ,7i当门为偶数时，正数的门次方根有两

3、个(互为相反数)记作：x = 负数没有偶次方根0的任何次方根为0a(a 0)一 a(a 0)轲称：亦叫做根式门叫做根指数a叫做被开方数(3) 公式： 丽“ =a ；当门为奇数时 0 = “：当门为偶数时 奶=问=0,k = (nneN*) , (ak )n =(anY =am 由 n 次根式 nmm ”定义，亦是屮的“次方根，即：用=畅i(2同样规泄：a “ =(aOjn.neN且 1) ； 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义。(3)指数幫的性质：整数指数幕的运算性质推广到有理指数幕。circix = +”(“ A O, = s e Q)(” =ci fa A O, ry s

4、w Q)(rzZ?)r = nrhr(67 O, Z? O,厂 w Q)(注)上述性质对r、5eR均适用。4、对数的概念(1) 泄义:如果aa 0,且工1)的b次幕等于N,就是涉=N，那么数b称以d为底N的对数，记作ogaN=h,英中d称对数的底，N称真数。 以10为底的对数称常用对数，logN记作IgN； 以无理数e(e = 2.71828)为底的对数称自然对数，logN，记作In N ：(2) 基本性质：真数N为正数(负数和零无对数)：2) log, 1=0： log/ = l： 4)对数恒等式：严=N (3) 运算性质：如果0,“H0,M 0,N0,则 oga(MN) = ogaM +t

5、ogfl N :M log = oga M - logn N : lognMz, =/Hog/7M(neR)。Nlog N(4) 换底公式：logc N = (a O.d H 0,m 0,m H l.N 0),log,”两个非常有用的结论log, log/= 1;log m bn = log boHl【注】 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1) ax)=bof(x)=logab, logaf(x)=bf(x)=ab;(定义法)(2) af(x)=a8(x)f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)0 (转化法)(3) af札bg(x)of(x)logma

6、=g(x)logmb，(取对数法)(4) l0gaf(X)=l0gbg(X)l0gaf(X)=l0gag(X)/l0gab(换底法)【典例解析】题型1:指数运算o 2 j1例 1.(1)计算：(3-) 3(5_)05+(0.008)亍一 (0.02) 5 x (0.32)2 -0.0625 25；(2) 化简，三(3)化简：:S j令=_迈)X42-424川+2师 + ,(4) 化简： 川芒 ,(1 -20)x亦沪+2屎+ 4沪V例2.已知A + x4=3,求y_2的值。 xf题型2：对数运算例3.计算1)(lg2)2 +lg2-lg50 + lg25：(2) (log32 + log9 2)

7、-(log434-log83)；lg5lg8000 +(lg2 門 21 1lg600-lg0.036-lg02 2例4设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c(1) 求证：log2(1 + ) + log2(1 + ) = 1 :h + r求证：-g36 45 （用 a, b 表示）1=2?题型4：指数、对数方程例 6：解方程(1) log(*T)bF+2x-l)=l (2)log2log3（log4 x） = 0例7设关于兀的方程4v-2v+,-/9 = 0(Z?eR),0),则 log2 a =.9326. (1) lg52 +-lg8 + lg51g20 + (lg2)2:(2) (l

8、og25+log40.2)(log52+log250.5)7. 若lg(x-y) + lg(x + 2y) = lg2 + lgx + lgy ,求丄的值.2曲=16&解下列指数方程:(1)82x=128(3) 278x=81a(4) 52x-23-5x-50 = 09 解下列对数方程(1)log2(AH-l4) + log2( + 2) = 3 + log2(x + 6)(2)(log3x)2 +log93x = 2(3) lg j5x + 5 =_：lg(2x_l)(4) log 2 log 3 (log 2 X) 1 = 010 如果函数y = a2x +2ax在区间卜仁1上的最大值是1

9、4,求d的值。1 + ?v + 4 a行.设f(x) = lg丄二1一若X e (-00,1时f(x)有意义，求实数a的范围。【思维总结】1. 历 =a =n、o鮎N=b (其中N 0,a0,aHl)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在 许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较 方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2. 要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式 分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训 练逐渐积累经验：3.

10、解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指 数与对数函数的性质，英中单调性是使用率比较高的知识：【课后作业】 仁计算。(2)5-2拓 + J5 + 2后3(2)2化简下列各式（结果用有理数指数幫表示）：(1)3化简下列各式（结果用有理数指数幕表示）:2131（2）（。戸厂）（宀戸才）万2 11 丄 5（1） （2门沪）（一6/卢）令（一3么可,）；4已知d + d=7,求下列各式的值：丄 丄(1) a2 +a 2:(2) a2 +(r2:6. （1）已知a = log3 2, 3 =5,用匕“表示log3 /30 :（2）设 Ig2 = “,lg

11、3 = b,用表示 log512 :7设兀1, y.且21og j-21ogyX + 3 = 0,求T = x2 -4y2 的最小值。& (1)已知3V =4V =36,求匸仝的值。答案详解 题型1:指数运算例仁解:（1）原式可（善）7斜+（罟）X279o皿（对10 10000（2）原式-血G +侖）_ 血（3 +馆）_血（3 +、2-J4-2巧 2_ J弟 _1尸(3-73)(3 + 73)6血(3 + 馅)2 _ (12 + 65)=。近 * 品（注意复习，根式开平方）(/)?+/(2 庆)+ (2 沪)(驴(a1 -f/3)5- - - “ “ =a分子=lg5(3 + 31g2) +

12、30g2)2 =31g5 + 31g20g5 + lg2) = 3：(a3 -23)x x = a3 xuxa = aa1 -2b1/G +2/沪+4/异 a1-2b1点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幕的形式.然后利用分数指数慕的运算性质求解，对化 简求值的结果，一般用分数指数幕的形式保留：一般的进行指数幕运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指 数幕，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例 2.解：T V+% 丄=3 , .(F+x J=9,. x + 2 + x=9,二 x + x =7 ,/.(X + x_1 )2 = 49 ,A-2 + %-2 = 47 ,3 _3_2

13、-2 _ 247-218-3又. x2+x 2= (x2+ x 2) (x 1 + x1) = 3 (7 1) = 18 ,-: = =3。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例 3 解:(1)原式= (lg2)2+(l + lg5)lg2+lg52=(lg2+lg54-l)lg24-21g5= (l + l)lg2+21g5 = 2(lg2 + lg5) = 2 ；(2) 原式=(空+空)(蛭+空)=(空+竺)(旦+旦一坐1遽丄:lg3 lg9 lg4 lg8 lg3 21g321g231g221g3 61g24分母二(lg6 + 2)_lg点评

14、：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不髙，但是数式运算是学习数学 的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的务种技巧。一 、 “、 亠7 ,a + b + c ,a + b-c ,a + b + c a + b-c、例 4.证明：(1)左边=log。+ log7= log?()abab(a+b)2-c2 , a2+2ab + b2-c2 ,2ab + c2-c2 f.=log?= log?= log：= log? 2 = 1；h + cb + c解：(2)由log4(l +) = 1 得 1= 4, 3a+b+c = 0aa由 o(a +

15、b-c) = -a + b-c = =4由+得一“ =2由得c = 3a-b.代入a2 + b2 =疋得2a(4a一3b) = 0 , d0, 41lg f lg f ,y =Ig3 lg4lg611 ,迴 6lg 3_ lg 2_ lg 4= 1zx lgrlgr lg/ 21gr 2y题型4：指数、对数方程例 6： 解(1) 3.F+2x-I = 2.F-inF+2x = 0=x = 0,x = -22x2-10但必须：0(2 ) Iog3(log4 A)= 1,*. log4 x = 3 , x = 43 = 64例 7 解:(1)原方程为b = 4x-2x+, v 4v-2v+, =

16、(2X)2 -2x2X = (2X -1)2 -1 -1,当b e 1,+s)时方程有实数解:(2当b = l时，2”=1，方程有唯一解兀=0：当b_l时，(2”一 1尸=1 + 亠2, =1VTT.2X 0,l + Vl+0,/. 2V =1 + V1+T 的解为x = log2(l + Vl+)；令1-Jl + Z? 0 = y/ + b vl=-lvbvO,.当01 甘,2 = 1-Jl + b 的解为 x = log2(l - Vl+T)； 综合、，得1) 当一lv/?v 0时原方程有两解：x = log2(l VT+7?):2) 当b0sS.b = 一1 时，原方程有唯一解x = iog2(i + ViTz7)；3) 当b1 时，-ta二次函数y = (t + l)2