振动理论课后答案

1、仅供个人参考For personal use only in study and xesearch; not for conunercial usel-“?一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振 动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制？解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为x = J.sin Qfi x =sin 他EsmlOjrt?。= = _(L01T)2 sm 10 叭由物体的受力分析，N?=0 (极限状态)物体不跳离平台的条件为:? 1 1- :2-C既有?？ g j vj_= 9.9 3 nunW卫(io讦兰呂,(1询由题意可知 = 5Hz,

2、得到0 = 2加=10兀，1-2M有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为小二及勺=10cm 时的速度分别为vi = 20 cnVs及求其振动周期、振幅和最大速度。解：设该简谐振动的方程为x二儿锁加+：乙恥cos十町二式平方和为将数据代入上式：12+(-)2 4= jlL+(3)2联立求解得CZJ= Vn2/ = 2.12 .2吩=2.964A=10.69cm：/于1/s： 7= s当 = 0时，V取最人，即：得：= 22.63m/s答：振动周期为2.964s：振幅为10.69cm；最人速度为22.63m/s。1-3?个机器内某零件的振动规律为04如血+ 0.%os砒，*的单位是 cm, 0

3、 = 10兀1/s?。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加 速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。解：?产 0.583(cos30.95sin cz)2 + sin 30.95coscf)99999999= 0.583sin (cf +30.95)?振幅 A=0.583999999z = 0.583sin (砒+ 120.9 了口)?x = 0.583(32 sin (dJf +120.95)?最人速度?也=0 583 ca = 18.3cm； s?最人加速度？益曲=0-583d2 = 574.6 cm2/s1-4某仪器的振动规律为x二血血型+ %如3曲。此振动是否为简谐振

4、动? 试用x-?t坐标画出运动图。解：因为3=3 32=33,3工3?.又因为T1 =2兀/ 3 ?丁2=2兀/3 3 ,所以，合成运动为 周期为*211/33的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为 有理数时，町合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为鬼兔和力I丿，试求它们的合 成的复数表示式，并写出其实部与虚部。解：？两简谐振动分别为0 ,32 ,则：沪=3cos5 漲 t+3isin5 兀 t,7T7T畑占)$=5cos(5 兀 t+ 2 )+3isin(5 兀 t+ 2 )或兀=$幻 + 3訂冋：x

5、= H弄如) 其合成振幅为：卫二后+宁=妬5其合成振动频率为5叭，初相位为：=arctan3则他们的合成振动为： 屈 皿叫？实部：Jcos(5Xt+?aictan亍)5?虚部： sin(5 咒t+?aictaii 3)Ift 1-6图1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解：三角波一个周期内函数可表示为池)-/-l由式得27T=0) T石2 jJ0 = J x()cZ/ = J (-t +1)必 + J (Z - V)dt = 1Q99999999999?7V2卩 =J x(f) cos丁 b i-7 图2 jd) r d)COS 总込皿 +(f 一 1) COS ?2(衣=天天a2 T

6、 二一J x(f) sin T o= (-/ +1) sin 雀d + I ( f 一 1) sin nG)ddt = 07F J 7V开:开w?n=l,于是，得x(t)的傅氏级数1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。 解：锯齿波一个周期内函数p?(t)可表示为2, 30 i 7979?27T2tt2tt=atT由式得.开999992jm? ?2 f 1 1=1 P(f) sin n(&ddt = t sin n(&.tdi =- T Q7T J 2tt7T2s9797979?9?9?9?9?9?9?9?9?9?9?9?9979797979797979?979?9?979?9?

7、9?9n= , 2,3于是，得x（t）的傅氏级数4二屈+圧二丄 tan%二护=0M汀，？圧1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。99999T4 4一込如2几（上丄）T M74 羊+2丘T阻咛T3(-44?op平均值为099999(1=09797?2f-TCOS左觀必一#7EF 4p =一 一L4 sin 刃加 +dsn nait9794T T4爲4P d COS 73(3 - 畀 d COS23f nTV 4蚪 2jtsin co s12Tm T +隅 f1将签？?$?（弋入整理得卜人参考总4垃nn如?花rn nZ1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。 解：町

8、表示为由于得：即：ii(r求题l-io图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。P(f)= 解：I?79?9?99?2兀? 一频谱函数:12$.G(e)= j%-血血01疣.=Po sin 2fQt (cos 刃才-jsin ocos_ 22X +12慣+ Q_1_.20 -=2 对qPq?9/(2)2 -心 + sin(2疏-小卜jcm(2况7cos(2 欢 +旳一cos(2o-2矶_ G-sin(2 -sin(2 奶 +时+ Q 1川、Q(6)CU77- jsrn+ -7召r COS-cos(2或+ 胁-jsin2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2所示。己知，a = 30 ,加

9、=1 kg, k = 49N/cm,开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。图 T2-1解:lx9.8xl十，兀=汽=乌=性巴=70ad/sx = xQ coscont = -0.1 cos70f cm2.1图E2.2所示系统中，已知加，c, k“化和血。求系统动力学方程和稳态响应。图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)解：等价于分别为册和耳的响应之和。先考虑忑，此时右端固结，系统等价为图(a),受力为图(b),故：mx + cx + kx=siii coY + c/p cos /(1)c = q + u , k = & + k, a)n =人-人in(1)的解可参照释义

10、(2.56),为：巾)=YA sin(/-q) + qAco如-q)(2)k J(l s*+(2财k 乱1一町 +(2肘其中：s亠洋1-厂故(2)为：考虑到兀(/)的影响，则叠加后的X(f)为：2.2如图T 2-2所示，重物叫悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物, 从高度为h处自由卞落到上而无弹跳。求世下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规 律。平衡位置X答案图T2-2解:I IV5产v2=lgh动量守恒:平衡位置:r叱 + w,故:故:2.4在图E2.4所示系统中，已知皿k-尸。和血，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。A1 卜 ki 解:图 E2.4答案图E2.4取坐

11、标轴兀和兀,对连接点A列平衡方程:即:(人 + kjX = k2x2 + 化 sin 曲(1)对川列运动微分方程: 即：(2)由(1), (2)消去呂得:mx. + 举=上*-sin 刖(3)故：由(3)得:2.5在图E2.3所示系统中，己知皿c, k,化和血，且/=0时，x = x0, x = v0,求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值卞对激励力响应的叠加。图 E2.3解：15求出C, D后，代入上面第一个方程即可得。2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是人及人，悬臂梁的质量忽略不计。质 无3图T2-7答案图T2-7解：k k人和h为串联，等效刚度为：=（因为

12、总变形为求和）R口和心为并联（因为人三的变形等于心的变形），则：R口和忍为串联（因为总变形为求和），故：故：2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成 的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为血时，偏心质量惯性力在垂直方向人小为me ar sin cot 己知偏心重W= 125.5 N,偏心距e = 15.0 cm,支承弹簧总刚度系数k = 967.7N/cm,测得垂直方向共振振幅X,” =1.07cm ,远离共振时垂直振幅趋近常值X。= 0.32纫?。求支承阻尼器的阻尼比及在 = 300r/niui运行时机器的垂直振幅。图 E2.7me77解:0 =

13、1/sin 伽 _ 0)J(l-F)2 +(2 肘尸1时共振，振幅为:远离共振点时，振幅为:v trie 11 zX.=1.07 cm1 MX. = = 032cm -M(1)(2)由(1)= = ariKxi,等号两边再左乘KM1JJJKMlKMlKx;=简耐农丘，等号两边左乘兀丁xKMlKxj = 当& j 时重复”次得到：Kxf =,等号两边左乘MK1故：MX, = arMKiMxi ,等号两边左乘球x1iMxj =年 MKiM)c) = 0 ,当 if j 时即x： Mx t = 0 ,当i工j时重复运算：xMK iMxi = a）jxMKlMxj = 0,当 i 工 j 时重复次。5

14、.1质量加、长、抗弯刚度E/的均匀悬臂梁基频为3.515（E/n/3/2,在梁自由端放置 集中质量小用邓克利法计算横向振动的基频。解：3m1/45.2不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基 频。mm=00=1/4 1/41/4图 E5.2解： 当系统中三个集中质量分别单独存在时：f _9（/4）3 _ _ 16（1/ _9（/4）3711 - Y1EI 12 / * 几一 12 7图 E5.35.3在图E5.3所示系统中，已知川和也用瑞利法计算系统的基频。解：近似选取假设模态为：系统的质量阵和刚度阵分别为：3k -2k0M = diag(m 2tn tn),

15、 K = -2k 3k -k 0 -k k由瑞利商公式：5.9在图E59所示系统中，已知R和人用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。(1)图 E5.9J/2解：两端边界条件为:固定端:,自由端：xf =RT1Tr0由自由端边界条件得频率方程:代入各单元状态变量的第一元素，即： 得到模态：0山=1 1.414，0=1 -1.4147,2)o用传递矩5.10在图E5.10所示系统中，已知G/p,(i=l,2),厶(d=l,2)和川=1 阵法计算系统的固有频率和模态。解:两自由端的边界条件为：Xt =L丁，x,=eRTT10Tr0图 E5.10J1G/piGIP2J2=/i rJ T其中：人=相=由

16、自由端边界条件得频率方程:-co2J2 = 0 = = 0 , co216护（人+匚）彳丿4（0 +/J代入各单元状态变量的第一元素，即: 得到模态：0 =1 17 ,严=1511在图E5.ll所示系统中悬臂梁质量不计，八/和口已知。用传递矩阵法计算系统 的固有频率。g|E5.11解：引入无量纲量:y詔，叼旦兀=巫，社四/El s ElEI定义无量纲的状态变量：边界条件：左端固结：xf = o o M 尺，右端自由：xf = y e o of根据传递矩阵法，有:其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:1 0 0 0_ 11112 60 10 0，S：=0 11-0 0 100 0 112 0 0 1

17、10 0 0 1得：利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程:5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计皿、/和EI已知，支承弹簧刚度系数k = 6E/P0用传递矩阵法计算系统的固有频率。(0)(0.5)图 E5.12解：引入无量纲量:定义无量纲的状态变量：边界条件：左端较支：xf = o 0 o Fs右端自由：= o o of根据传递矩阵法，有:在支承弹簧处：X：5 =A+注意到上式中&为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为： 因此有：6.3图E6.3所示阶梯杆系统中已知加，p, S, E和h求纵向振动的频率方程。解：模态函数的一般形式为:题设边界条件为：M（v）=o, ES处少=訥辿

18、LknQQdxdr边界条件可化作：0(0)=0 , ES(/) = mark(/)(l)导出C： = 0及频率方程:6.4长为/、密度为小抗扭刚度为G/卩的的等直圆轴一端有转动惯量为丿的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧,如图E6.4所示。求系统扭振的频率方程。解：模态函数的一般形式为：题设边界条件为：血一摯，皿一叫)dxdrdx边界条件可化作：G/,“(O)=仏哦0), GIpl) = -kl)以上两式联立消去G和G得频率方程:6.5长为/、单位长度质量为刃的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上， 如图E6.5所示。物块质量为加，弹簧刚度系数为静平衡位置在y=0处。弦线微幅振动, 弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。解：模态函数的一般形式为：题设边界条件为：畑)“，尸缨a”勢一灯们)dxdr边界条件可化作：加0)=0 , F0Q) = m卅一 k机)导出C： = 0及频率方程:tancol _ Feo a a(ina)2 -k)其中d =仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research； not for commercial use.Nur fur den person lichen fur Studi