第五节极限的存在性定理1ppt课件

1、第五节第五节 极限的存在性定理极限的存在性定理单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例例1求数列求数列,333,33,3的极限的极限.解解(1)存在性存在性令令,333,33,3321 yyy)a单调性单调性1 n时时13 33 333 3 21yy 设设kn 时时1 kkyy1 kn时时1 kkyy133 kkyy21 kkyy故对一切正整数故对一切正整数n有有,1 nnyy所以数列递增所以数列递增.有界性有界性)b1 n时时331 ykn 时时设设3 ky1 kn时时233 ky3 ky33 ky31 ky故对一切正整数故对一切正整数n有有3 ny,所以所以 数列有界数列有界.综上所述

2、综上所述, 数列极限存在数列极限存在.(2)求值求值设设Aynn lim将将13 nnyy两边求极限两边求极限得得1lim3lim nnnnyy即即AA3 故故3.A 例例2 设设1,12, 211 nxxxnn,求求.limnnx 解解(1)求值求值设设Axnn limnnnnxx lim12lim1那那么么即即AA12 故故21 A因因2 nx.21 A(2)存在性存在性对对, 0 要使要使Axn )12()12(1Axn Axn111 11 nnAxAx41Axn 224Axn 114 nAx 1412 n只需只需112log4 n故极限存在故极限存在.取取112log4 N求数列极限求

3、数列极限:1.先按单调有界证极限存在性再按递推公式求先按单调有界证极限存在性再按递推公式求极限值极限值,本方法一般适用于数列详细给出的本方法一般适用于数列详细给出的2.先按递推公式求极限值再按精确性定义验证先按递推公式求极限值再按精确性定义验证给出的情况给出的情况.情况情况.极限存在性极限存在性,本方法一般适用于数列递推公式本方法一般适用于数列递推公式如果数列如果数列 nnnzyx,满足下列条件满足下列条件(1)从某项开始有从某项开始有nnnzyx (2) nnxlimAznn lim那那么么数列数列 ny极限存在极限存在,并且并且Aynn lim由已知由已知, 对对0 ZN,时时当当Nn ,

4、 Axn Aznnnnzyx 同时成立同时成立证证nnnxyz 所以所以 Ayn成立成立因而因而.limAynn 注注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理此定理称为两边夹法则或夹逼定理.(2)不等式两边极限必须存在且相等不等式两边极限必须存在且相等.(3)此定理对一般函数极限仍然成立此定理对一般函数极限仍然成立.此时此时A A 补充补充 (00年考研真题年考研真题3分分)设对任意的设对任意的, x总有总有),()()(xgxfx 且且, 0)()(lim xxgx 那那么么)(limxfx )(A)(B)(C)(D存在且等于零存在且等于零存在但不一定等于零存在但不一定等于零一定不存在一定不存在不一定存在不一定存在.答案答案 ).(D例例3 求求).12111(lim222nnnnn 解解nnnn 22212111nnn 212 nn1lim2 nnnn11lim2 nnn 因为因为且且所以所以原式原式. 1例例4求求.)54321(lim1nnnnnnn 解解因为因为nnnnnn1)54321( nn1)5(nn1)55( 5n155 且且55lim n5)55(lim1 nn 所以所以原式原式. 5常见的建立不等式的方法常见的建立不等式的方法(1)分母变大分数值变小分母变大分数值变小,分母变小分母变小分数值变大分数值变大.(2