摩擦角的应用

1、物体的平衡之巧妙方法一一摩擦角的应用 一、摩擦角的定义摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）Ff Fn , 支持面的支持力Fn的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F （以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力 F与支持解析：由摩擦公式：Ff Fn得FfFntan力Fn的方向成tan 1角（如图1所示），而这个角就称之为摩擦角。摩擦角 二tan、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的， 引入摩擦角后，可以将这对力合 成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在

2、四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和 第三个力的大小、方向变化情况待定），这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中， 作用在物体这三个力合力为 0，等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交。 三、方法的应用例1,如图2所示，用绳通过定滑轮物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动， 若物块与地面的摩擦因素1，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（ ）°A.绳子的拉力将保持不变B. 绳子的拉力将不断增大C.地面对物块的

3、摩擦力不断减小D.物块对地面的压力不断减小 解析：如图3所示，取物体0点，作力的三角形。重力为有向线段，从该线段箭头端点做地面作用力的作用所在射线，作从射线上任意点指向0点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势。由1知力三角形中和的夹角小于 450，初始状态绳子拉力与水平呈450,力三角形中和的夹角从 450开始慢慢减小，图3中B <90o, 不难得出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。例2，如图4所示，倾角450的斜面上，放置一质量 m的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素，欲

4、使小物块能静止3在斜面上，应对小物块再施加一力， 该力最小时大小与方向是（ ）°A. mg sin150，与水平成 15o斜向右B.mg sin 300，竖直向上C. mg sin 75°，沿斜面向上D.mg tan15°，水平向右解析：由 週得，摩擦角 tan 1 tan 1週 30°，33作出力的三角形，如图 5所示，蓝色有向线段为重力，黑色 射线为斜面对物块的作用力，红色有向线段为施加的力，青 色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂 直），则F mg sin（45°） mg sin15°方向与水平成15o斜向右。即A

5、正确。例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱1）。现对木箱施加一F的方向与水平面夹角90 °的过程中，木箱的与地面之间的动摩擦因数为（0拉力F,使木箱做匀速直线运动。设 为，如图6，在 速度保持不变，则（ A. F先减小后增大 C. F的功率减小从0逐渐增大到 ）B. FD. F一直增大 的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此 木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件 得：mg N F sin ，mgF jcos sinN F cos两式联立解得_盹，可见F有最小值，2 sin（）所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率m

6、gvcosP Fv cos cos sin逐渐增大，则功率 P逐渐减小，在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的 方法二（引入摩擦角）：由（0 黑色射线为地面对木箱的作用力F1,红色有向线段为拉力F,蓝色有向线段为重力。由题意在 增大到90°的过程中， 向变化，易得到： 由矢量表达式：mgV，可见在 从0逐渐增大到90°的过程中tan1 tanC正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果是 F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废）1）得，摩擦角0 <450,作出力的三角形，如图 7所示,从0逐渐F的变化趋势为青色曲箭头方F先减小后增大。对于 F的功率，F FiG，重

7、力的功率显然为 o（重力与速度成 90o），得到F的功率与F1的功率互 为相反数，F1的功率P1 F1?vcos ,显然F1与v 的角度”保持不变，而F1不断的减小，从而F的功率 P |P1| | F1?vcos |的值不断的减小，所以答案为 AG 结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。 因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参 加竞赛的学生才掌握。例4,（竞赛训练题）如图 8所示，质量为 m的物体放在水平 罷，想用力F推动物体3上，物体与地面的动摩擦因素水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？0.1 mg60 sin -2F1 0答案:解析：摩擦角 tan 30，

8、考虑临界情况，重力 m 地面对物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时，则有mgsin (60° o) sinF，临界角01 mg600 sin1狷，由图0时物体可在地面上滑动。即1 mg。” sin 2F四、拓展实践 练习1 .一物体质量为 m,置于倾角为 数为 ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。的斜面上，图10所示，物体与斜面间的动摩擦因练习2.（竞赛训练）结构均匀的梯子 AB,靠在光滑竖直墙上，已知梯子 长为L,重为G,与地面间的动摩擦因数为卩，如图11所示，（1）求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角B的最小值B°（2 ）当9 =0 °时，一重为P的

9、人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯 子开始滑动？练习3.（竞赛训练）一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠 在竖直的墙上，同图11所示，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别 为卩1、卩2,求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。答案解析练习 1，Fmin mg cos( ) SinCOS mg2解析：（引入摩擦角）如图12所示，摩擦角 tg ，由 平衡条件得，作力的矢量三角形， 其中：蓝色有向线段为重 力,黑色有向线段为斜面对物体的作用力，红色有向线段为拉力。显然：当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最sin cos将梯子的重力13所示，其中Fminmg COS（）小，即：练习2，解析：（1）（引入摩擦角） 三力汇交，作出力的三角形，如图 墙面对楼梯的支持力，tan 1。mgG，根据Ni为竖直F为水平面对楼梯的作用力，摩擦角:由平衡条件可得：LLCOS 0 L sin 0 tan2所以有：° tan 12（2）如图14所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替G，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。练习3，解析：系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把 两端点的受力分别用水平面对梯子的作用力