2016年10月24圆锥曲线解答题

1、2. （ 2016?天津）设椭圆2 2 +J =12 3a "（a>；）的右焦点为F,右顶点为A，已知一+-= ，其中0为原点，e为椭圆的离心率.|0F| |0A| |FA|（1 ）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线I与椭圆交于B （B不在x轴上），垂直于I的直线与I交于点M,与y轴交于点 H，若BF丄HF，且/ MOA= / MAO，求直线I的斜率.【解答】丄+】=|of| |oa| |fa|解:(1)由f _ 3 a b-Qq2 _ 3即 - 一：一 =_ 餐/ 7/J _ 3 a(a- /a2 - 3)2 2 2a a -( a - 3) =3a (a - 3),解得 a

2、=2.2 2二椭圆方程为(2)由已知设直线I的方程为y=k (x-2), (k丰0), 设 B (X1, y) M (xo, k ( xo - 2),/ MOA= / MAO ,二xo=1 ,再设 H (0, yH),'y=k(x- 2)联立"/ ，得(3+4k2) x2- 16k2x+16k2- 12=0.I宀丄2 2 2 2 = (- 16k )- 4 (3+4k ) (16k - 12) =144> 0.由根与系数的关系得16k2 - 12二23+41/-12k3+4k2_8k2- 6-3+4k2MH所在直线方程为 y- k (xo- 2)=-丄(x- xo),令

3、 x=O ,得 yH= (k+ ) xo - 2k,/ BF 丄 HF,即 1 - Xi+yiyH = 1 -81? 63+4k212k 5"3+4k 2整理得：9二=1，即 8k2-3° 12(kZ+l):k= 或.3. （ 2016?浙江）如图，设椭圆C: ' '+y2=1 (a> 1)a（I）求直线y=kx +1被椭圆截得到的弦长（用 a, k表示）（H）若任意以点 A（ 0，1 ）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值得 X1=0 或 X2= 一 -：，：2 2、 2 2，可得：(1+a k)x +2ka x=0， =192 ?

4、l+k a2直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为:I 2a2 |k | /5=,；-（H）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设 y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足 | AP| =| AQ| ,记直线AP, AQ的斜率分别为：k1, k2;且k1, k2>0,刘工k2,由(1)可知2/ |k2|Ji+k|AQ| =2a2 Ik】 Ijl+k J |AP|='2 a2故：2h . 2i 2'1+ a k 2，所以，(k12- k22) 1+k12+k22+a2 (2-l+a2k/a2)22k1 k2 =0，由工 k2,k1, k2> 0,可得:1+k12+k

5、22+a2 (2 a2) k12k22=0,因此1)2 21 i_1 |a (a - 2)，2 21+a (a - 2 )> 1,因为式关于k1, k2；的方程有解的充要条件是： 所以a> .因此，任意点A (0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:1V av 匚,e= =得，所求离心率的取值范围是：a a4.2 2(2016?天津)设椭圆.+J1 (a> 的右焦点为F，右顶点为A .已知+ = _|0F| |0A| |FA| ?(1 )求椭圆的方程；(2)设过点A的直线其中O为原点，e为椭圆的离心率.I与椭圆交于点B ( B不在x轴上)，垂直于I的直线与I交

6、于点M ,与y轴于点H，若BF丄HF，且/ MOA <Z MAO，求直线I的斜率的取值范围.【解答】解：(“由丁+十=匸，得'Rn +Va2 - 3 臥？ - 3 即,a2 - 3 a(a -寸 J - 3) a a ( a 3) =3a (a 3),解得 a=2.2椭圆方程为''4I的方程为y=k (x-2), (k丰0), (xo, k (xo- 2),(2)由已知设直线设 B (xi, yi), M/ MOA <Z MAO , xo> 1,再设 H (0, yH),ry=k(x- 2)/ v2 ，得(3+4k2) x2- 16k2x+16k2-

7、12=0 .联立I 4312 2 = (- 16k2) 2 - 4由根与系数的关系得2 2(3+4k2) (16k2 12) =144> 0. c 16 八-122 X | -9 53+4/8k2- 69>3+4kz彳-12k珀二k(x 1 - 2)=13+4kMH所在直线方程为.丄.，_':,Uk u令 x=o，得 r，- I .： - ': |(:./ BF 丄 HF,一 I工，.：,2即 1 - Xi+yiyH,3+4k3+4k抛物线E: x =2y的焦点F是C的一个顶点. (I)求椭圆C的方程； (H)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C

8、交于不同的两点 A , B，线段AB的中点为D，直线0D与过P且垂直于x轴的直线交于点 M . (i)求证：点 M在定直线上； k u5. ( 2016?山东)平面直角坐标系xOy中，椭圆2 2+ '=1 (a> b > 0)的离心率是/ b2Vs整理得：9即8&3":或(ii)直线l与y轴交于点G,记厶PFG的面积为S1,A PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点 P的坐标.y +【解答】解：(I)由题意可得e=：抛物线e： xy的焦点F为(0,石),即有 b=JL, a2- c2=JL2 4解得 a=1, c= _2可得椭圆的方程为 x2+4y

9、2=i ；(H) (i )证明：设 P (xo, yo),可得 xo2=2yo,由y=JLx2的导数为y'=x，即有切线的斜率为 xo,2则切线的方程为y-yo=xo (x - xo),可化为y=xox - yo,代入椭圆方程，2 2 2可得(1+4xo ) x - 8xoyox+4yo - 1=0,2 2 2 2 2 2 =64x° yo - 4 (1 +4x° ) (4yo - 1) > o,可得 1 +4x° > 4yo .设 A (X1, y1), B (X2, y2),8xnyn4xnynyn可得X1+X2=，即有中点D (，-),l

10、+4x0Jl+4x02l+4x02直线OD的方程为y= - x,可令x=xo,可得y=-%4即有点M在定直线y=- 上；4(ii)直线I的方程为y=xox- yo,令x=o，可得G (o,- yo),1 2= xo (1 +xo )；-1 4xn7 n 11S2=| PM| ?| xo-|=(yo+) ?2 24则 sia+q吒+4-xoyo i (1+2 k/) 2一 =x0?1皿/ 8 1+%2 ,S仁'| FG| ?| xo| =丄xo?(丄+yo)+ 1人2Si 哄 1+丁)(1+珀2)(z(2t-l)令 1+2xo =t (t> 1),贝y石一=s2t则当t=2，即 g

11、时,=一取得最大值'',此时点P的坐标为6. （ 2016?宁波校级模拟）已知抛物线2x =4y的焦点为F, A、B是抛物线上的两动点，且-| ： -.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .(I)证明为定值；()设厶ABM的面积为S,写出S=f ( X)的表达式，并求 S的最小值.【解答】解：(1)设A (xi, yi), B (X2, y2), M (xo, y。)，焦点F (0, 1)，准线方程为 y= - i,显然AB斜率存在且过F ( 0, 1)2 2设其直线方程为 y=kx + 1，联立4y=x消去y得：x - 4kx - 4=0,判别式 =16 (k +1

12、 )> 0.X1+X2=4k, xw 4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为 y'='，则易得切线 AM , BM方程分别为y= ( ) X1 (x2 2-X1)+y1, y=(二)x2 (x - X2)+y2，其中 4y1=x12, 4y2=x22，联立方程易解得交点 M 坐标，K i + Xxo= =2k, yo= = - 1,即卩 M从而， f'= ( , - 2),l-|. (X2- X1, y2 -y1)2T?：l，= ( X1+X2)(X2 - X1)- 2 (y2 - y) J (x?2-x/)- 2(x?2-x/) =0,(定值)224命题得证.这就

13、说明AB丄FM .(H)由知在厶ABM中，FM丄AB，因而SAB|FM| .疋-丨；-:, (- X1 , 1 - y1) =X( X2, y2- 1 ),即"Tr r Hl，| FM而 4y1=x12, 4y2=x22, 则 X22= ： , X12=4 人因为| AF |、| BF|分别等于A、B到抛物线准线y= - 1的距离，所以 |AB| =| AF|+| BF|=y1+y2+2=Zgf= X-+2=)于是 S|AB| FM| = 十)3,由2知S> 4，且当 X1时，S取得最小值4.7. ( 2016?四川)已知椭圆 E +' =1 (a> b>

14、0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三a2 b2角形的三个顶点，点 P( 7，)在椭圆E 上.2(I) 求椭圆E的方程；(n)设不过原点 O且斜率为丄的直线I与椭圆E交于不同的两点 A , B,线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C, D，证明：丨MA| ?| MB | =| MC| ? MD| 【解答】(I)解：如图，fa=2b由题意可得椭圆E的方程为 &-_-;，解得 a =4, b =1,(n)证明：设AB所在直线方程为,口古宀r/口且b + C"/口22尸知+m也22联立联立 *2，得 x +2 mx+2 m - 2=0 . =4m2- 4 (2m2- 2) =8

15、- 4m2>0,即 :""- 设 A (百，yj, B (X2, y2), M (X0, y°),则：.! I ,：. i, ：，：.-_-.-：，|AB|= +!1 _ i '：x0= - m,则OM所在直线方程为y= - 联立).)而 MA| ? MB| =(寺 |桩|(1)直线I的倾斜角为(10-5m2) =_1.424& ( 2016?上海)双曲线 x2-二=1 (b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2，直线I过F2且与双曲线交于A，B两点., F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程;(2)设b=rj匸，若I的斜率存在，且(

16、卜；+ j) ?f =0，求I的斜率.【解答】 解：(1)双曲线X2-上丁=1 ( b>0)的左、右焦点分别为 F1, F2, a=1, c2=1+b2, b2直线I过F2且与双曲线交于 A, B两点，直线I的倾斜角为 , F1AB是等边三角形，2可得：A (c, b2),可得：-2b2=2c422、3b =4 (a +b ), 即 3b4- 4b2- 4=0 ,2b> 0，解得 b =2 .所求双曲线方程为：x2-?=1,其渐近线方程为y= ±2x.(2) b=二，双曲线 x2-=1,可得 F1 (- 2, 0), F2 (2, 0).设A (刈,y1), B (X2

17、, y2),直线的斜率为：k= 七*直线I的方程为：y=k (x - 2),fy=kx - 2k由题意可得:i工 / ，消去y可得：(3- k2) x2+4k2x-4k2-3=0,2 =36 (1+k2)> 0,可得 Xi+X2= i ,k2 - 32贝H yi+y2=k (xi+X2- 4) =k ( 4)=；-.= (xi+2, yi),-.；=(X2+2,y2),? ：|，=0 可得:(X1+X2+4, yi+y2) ? (xi - X2, yi - y2)=0 ,可得 xi+X2+4+ (yi+y2) k=0 ,1.2k?k=0可得：k2=,k= ±5解得l的斜率为:2

18、 29. ( 20i6?山东)已知椭圆 C:二一 +' =i (a>b> 0)的长轴长为4，焦距为 2 Ia2 b2(I)求椭圆C的方程；(H)过动点 M (0, m) (m> 0)的直线交x轴于点N，交C于点A , P (P在第一象限)， 且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i) 设直线PM , QM的斜率分别为k, k',证明兰为定值；k(ii) 求直线 AB的斜率的最小值.B【解答】解：(I)椭圆C:=1 (a> b> 0)的长轴长为4,焦距为2 '.可得a=2,/ b2C=“寸:， b= ：

19、，2 2可得椭圆C的方程：42丄(H)过动点 M (0, m) (m> 0)的直线交x轴于点N，交C于点A , P (P在第一象限)， 设N (- t, 0) t> 0, M是线段PN的中点，贝U P (t, 2m),过点P作x轴的垂线交C于另 一点 Q, Q (t, - 2m),(i)证明：设直线 PM , QM的斜率分别为k , k',2m_ m m , _ 2m - in k=, k'=t - 0 tt - 0-3mF-=-3.为定值;.2 2(ii)由题意可得 -42PN的方程为：y=kx +m,(2 2x y _42,可得：y=kx+m2 2 2即：(1+

20、2k ) x +4mkx+2m - 4=0m2=4- t2, QM 的方程为：y= 3kx+m,2x2+2(kx+m) 2=4,十曰2(iu2- 2)2(iu2- 2)可得 xa=, yA=+m ,(2k+l)xQ(2k+l)xQ2 f 肿 _ 2)同理解得XB='yB=(18kz+l)x-6k(ni2-2)亠丄，(18k z+l)p2(m2- 2)2(m2- 2)-32k£(m3-2)k -=(2k2+l)xQ(18k2+l)xQ (18k2+l)(2kE+l)KQ2(id2-2)-6k(m3-2)、-8k(6k2+l)(ir2-2)yA- yB=k+m-(亠:.)=,.(

21、2k2+l)xQ(18k'+l) %(18k>l) C2kz+l)xQ= 2kAB= =_ = . ，由 m>0, xo>0,可知 k>0,咗藍A 4k 4k所以6k+： 二当且仅当k='时取等号.k6此时”，即m= 1 1 ,符合题意.7876丁所以，直线AB的斜率的最小值为：丄10. (2016?上海)双曲线x2 =1 ( b> 0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,直线I过F2且与 b2双曲线交于A、B两点.1T(1 )若I的倾斜角为二， FiAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；_ 2(2) 设b=，若I的斜率存在，且| AB | =4，求

22、I的斜率.【解答】解：(1)若I的倾斜角为, F1AB是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由 tan/ AFF2=tan =一，求得 b2=2, b=-,63 N1+护故双曲线的渐近线方程为 y= ± bx= 土或lx, 即双曲线的渐近线方程为 y= ±二x.(2)设b=二，则双曲线为x20),若I的斜率存在，设I的斜率为k，则I的方程为y- 0=k (x - 2),即y=kx - 2k,2 2 2 2，可得（3 - k ） x +4k x- 4k - 3=0,由直线与双曲线有两个交点，则3- k20，即k 二.2 =36 (1+k )>

23、0.求得k=，5I的斜率为 L-511. (2016?天津一模)已知椭圆2 2C:二一+=1 （a>b> 0）的离心率为/ b2, 2 2圆R: x + (y - 2) =4的直径，过点P (0, 1)的直线I与椭圆C交于两点 交于两点M , N(I)求椭圆C的方程；(H)求证：直线 RA , RB的斜率之和等于零；(川)求|AB | ?| MN |的取值范围.【解答】解：(I)因为椭圆C长轴长等于圆R: x2+ (y-2) 2=4的直径， 所以2a=4, a=2;(1分)由离心率为，得e2=,2a 2,长轴长为等于A, B，与圆R2 2所以一=，得 b?=2 ； - （2 分）2

24、 2所以椭圆C的方程为二一+=1； - (3 分)(n)当直线I的斜率存在时，设2I的方程为y=kx+1，与一42 2消去 丫，得（1+2k ） x +4kx - 2=0;设 A （xi, yi）, B （X2, y2）,则 X1+X2= -' , X1X2= -, - （5 分）l+2k2l+2kz由 R （ 0, 2），得71 - 2 y2 - 2kRA + kRB=+ "X14k=2k -" J =0 （7 分）l+2k2所以直线RA , RB的斜率之和等于零；- （8分）（川）当直线 I 的斜率不存在时，|AB|=2 _, | MN| =4, |AB|?|M

25、N|=8； - （ 9 分） 当直线I的斜率存在时，|AB|=二y =.1-r?|Xi- X21t_-J?：'：.，=廿？，:' -' | V 1+21/l+2kH2k2I MN | =2=2/ , （ 11 分）V Vl+k2 V 1+k2所以 |AB|?|MN|=？2l+2k2 V 1+k2=4 匚? ；1+21?因为直线I过点P （0, 1）,所以直线I与椭圆C和圆R均交于两点，2令 1+2k =t，则 t> 1,所以 | AB |?|MN | =4 匚？ V - ： - ' =4 =、？ ：._ _< 8 匚,又y=4一在t > 1时单

26、调递增，所以 |AB|?|MN | =4 一 4 :,当且仅当t=1 , k=0等号成立；（13分）综上，|AB|?|MN|的取值范围是48刁.（14分）2 212. （2016?衡阳三模）已知椭圆：亠-：. 的左、右焦点分别为 F1、F2，短轴b 2 2 2a=2, b=c, a =b +c ，二 b =2；两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.（1 ）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点 M满足MD丄CD，连接CM，交椭圆于点（3）在（2）的条件下，试问 x轴上是否存异于点 C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒 过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点

27、 Q的坐标；若不存在，请说明理由.r【解答】解：（1）2椭圆方程为:-I (4 分)(2) C (- 2, 0), D则 0P = (xr ¥小0M二 yQ)(2, 0),设 M (2, yo), P (X1, y1),直线 CM :，代入椭圆方程 x2+2y2=4,x4yo2（y - 8）8y0，一，4佥8)8y0:（8分）疳8202，2 -9y0+8y0+8y0+8（3）设存在 Q （m, 0）满足条件，则 MQ丄DP （11分）-x1=-蓝+8.(定值)(10 分)一、一 f 4yn 8yn（12 分）坯+8 y0+s一 一4Xn则由.一1 - .1,从而得m=0%+8y0+8

28、存在Q （ 0, 0）满足条件（14分）13. (2016?河东区一模)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为丄，且经过二点1. ，过点P (2，1)的直线I与椭圆C相交于不同的两点 A，B .2(I)求椭圆C的方程；(n)是否存直线I，满足， J ?若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明 理由._c 12 2【解答】解：(I)设椭圆c的方程为''.i.'.-，由题意得a2 b2 2解得a2=4， b2=3，故椭圆C的方程为 -'i(n)若存在直线I满足条件，由题意可设直线I的方程为y=k (x- 2) +1，(2 22 2 2由出 43得(3+4k

29、 ) x - 8k (2k- 1) x+16k - 16k - 8=0.y=k(x-2)+lL一因为直线I与椭圆C相交于不同的两点 A , B,设A , B两点的坐标分别为(X1, yi), (X2, y2),所以 = - 8k (2k - 1) 2- 4? (3+4k2) ? (16k2- 16k- 8)> 0.整理得 32 (6k+3)> 0.解得 i-:-16k2-16k- 33+4以2匸8k(2k - 1)乂丁，+,1£3+4k2且-.J 一"，即 丫 . I '1，所以- I'："：，.即： ； I.所以J解得.3+4 k23

30、+4kz3+4k2 42所以：-亠.于是存在直线I满足条件，其的方程为亠-2 214. (2016?南昌校级二模)已知直线I: y=kx +1 (k丰0)与椭圆3x +y =a相交于A、B两个不同的点，记I与y轴的交点为C.(I) 若k=1，且| AB| =-，求实数a的值；2(n)若L：=2 |'.,求厶AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程.【解答】解：设 A (X1, y1), B (X2, y2),fy=x+l2(I) 由 *得 4x +2x+1 - a=0, 3, + y11 a则 X1+X2=, X1X2=,- _则 I AB I =_：, |, .=-：-.-，解得 a=2

31、.y=kx+l99(n)由，得(3+k ) x +2kx +1 - a=0,L3x2+y贝 y X1+X2=-2k3+k2X1X2=3+k由匚=2 二得(-X1, 1 - y1)=2 ( X2, y2 - 1),解得X1= - 2X2，代入上式得：2k 2kX1+X2= - X2=-.，则 X2=3+/3+“loc卜丨衍亠=2 血侖阴当且仅当k2=3时取等号，此时 X2= , X1X2= - 2x22= - 2X3+评(3+kU3又 X1X2= ,3+k25贝U-='，解得a=5.63所以， AOB面积的最大值为丄上，此时椭圆的方程为 3x2+y2=5 .216. (2016?陕西校级

32、模拟)已知 F1、F2分别是椭圆C : / +y2=1的左、右焦点.4(1 )若P是第一象限内该椭圆上的一点，I ?；上-',求点P的坐标；1 2 4(2 )设过定点 M ( 0, 2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A , B,且/ AOB为锐角(其中 O为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围.【解答】解：(1)因为椭圆方程为知 a=2, b=1，：.二' ；,可得：，1 -、订7!设 P ( x, y) ( x> 0, y > 0),则一 工，八一-:. - V -''，= 帀，即为P(l，又一；.，联立(2)显然x=0不满足题意，可设I的方程为

33、y=kx +2,设 A (X1, y1), B (X2, y2),联立,-r+y =1=>d+4k2)x2+i6ki+i2=o,y=kx+2由厶=(16k) 2- 4 (1+4k2) ?12> 0，得.16k121£ l+4kz 1 ' lHk2又/ AOB为锐角，即为t. .' : i,即 Xix2+yiy2>0, xix2+ (kxi+2) (kx2+2)> 0,又匚L+4k2LHkz可得4又m，即为.-.,解得-:ii .2 217. （2016?威海一模）已知椭圆C : '+厶/ b2=1 （a> b > 0）的离心

34、率为丄,且过点（1,'）.V0（1）求椭圆C的方程；2 2 2（2）设与圆O: x +y =相切的直线I交椭圆C与A，B两点，求 OAB面积的最大值,4及取得最大值时直线I的方程.【解答】解：（1）由题意可得，e=.，a2- b2=c2,点（i,代入椭圆方程，可得6kmX1+X2=-,1+3/由直线I与圆O: x-=1，解得 a=d, b=1 ,2 2即有椭圆的方程为一+y2=1 ；3；(2) 当k不存在时，x= ±-时，可得y= 土，2 2OABX=；224 当k存在时，设直线为 y=kx +m, A (x1, y1), B (X2, y2),2 2 2将直线y=kx+m代

35、入椭圆方程可得(1 +3k ) x +6kmx+3m - 3=0,3 m2 - 3x1x2=l+3k22'J：ii ?|AB|=|汕2F拠盏）"7l+3k2F J相切，可得=， 即有 4m2=3 (1 +k2),当且仅当即k=土 时等号成立,可得 Ss=|AB|?2y=±2 218. (2016?河北区二模)在平面直角坐标系xoy中，椭圆：.I _' I ' 的焦距为2, 一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.(I)求椭圆C的标准方程；(H)椭圆C的右焦点为F,过F点的两条互相垂直的直线11, 12,直线11与椭圆C交于P,Q两点，直线12与直线x=

36、4交于T点.(i) 求证：线段PQ的中点在直线 OT 上;(ii) 求：的取值范围.|PQl【解答】解：(I)由椭圆得w n 2 ,解得a=2, c=1 ,依二22 2故所求椭圆的标准方程为 一.-'.5x v2 2(H) (i)设直线PQ的方程为:2 2x=my +1，代入椭圆方程'-'得(3m +4) y +6my -9=0,则判别式厶=36m2+4X 9 (3m2+4)> 0,设 P (X1, y1), Q (X2, y2), PQ 的中点 G (xo, yo),则 yi+y2=' , yiy2= J ,3 异+43m'+4贝卩 yo= (y

37、i+y2)=:_, xo=myo+仁 r 23异+43m2+4即 G (£,),；.-；.:3m-3 mkoG=3mZ+4设直线FT的方程为：y= - m （x - 1）,得T点坐标为（4，- 3m）, koT=-，4二 koG=kOT,即线段PQ的中点在直线 OT上；（ii）当 m=0 时，PQ 的中点为 F, T（ 4，0），则 | TF| =3, |PQ| = 二， J -j，当 20 时，|TF|=_：_：1 -< .j|PQ|4*-93tn2+4=12则-JI:-'I 二设 t=，则 t> 1,则 y=3 宀一 +=3t+ =3Vip +1 t则 y&g

38、t;3+1=4,异+13ui2+4（t+ ）在（1, +s）为增函数,则»3十综上詈A 1,故求|TF|IPQI的取值范围是1, +8）.19. (2016?石家庄二模)已知椭圆C:(a> b> 0)的离心率为V20)的直线1交椭圆C于A, B两点，I MA I = A| MB I ,且当直线l垂直于x轴时,(1) 求椭圆C的方程；(2) 若入 丄,2，求弦长|AB |的取值范围.2【解答】解：(1)由题意可得，.-：，即厶-a 222 _ k2 12 2，贝V a =2b，过点M ( 1,IAB|= _.2 2把 x=1 代入 J- . '_ j ,得 y= +

39、2 T, 2 丄_a b则空75Sl 联立得：a2=2, b2=1.椭圆C的方程为厂 .J_-；(2)如图，当直线I的斜率存在时，设直线I方程为y=k (x - 1),y=k(x _ 1) 联立"文2o ，得(1 +2k2) y2+2ky - k2=0.存+y 二 1设 A (X1, y1), B (X2, y2),_2kl+2k2yi由 | MA |= A| MB | ,l+2k2得.TJ,( 1 - X1，- y1)=入(X2 - 1, y2),则-y1= “2,把代入消去y2得：一-亠l+2k A当疋',2时，'-一.厂 衰0,.21+2/X 2解得:_：.&g

40、t;-弦长| AB |的取值范围为 口2 220. (2016?漳州二模)已知椭圆一+=1 (a> b> 0)的左、右焦点分别是点Fl, F2,其a 2椭圆的方程为；(n)由(I)知 F1 (- 2, 0); AC 丄BD；(1)当直线AC , BD中一条直线斜率不存在时， *丨1 -'-； b2离心率e=,点P为椭圆上的一个动点， PF1F2面积的最大值为4二.2(I)求椭圆的方程；(n)若A , B, C, D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点Fi,1=0，求 |二|+|的取值范围.【解答】 解：(I)由题意知，当 P是椭圆的上下顶点时 PFiF2的面积取最大值

41、;J丨一;；即八厂；由离心率为得:一联立2解得 a=4, c=2, b =12 ；(2)当直线AC斜率为k, k丰0时，其方程为y=k (x+2),将该方程带入椭圆方程并整理 得：2 2 2 2(3+4k2) x2+16k2x+16k2 48=0;若设 A (xi, yi), B (X2, y2),贝V：16k2-3+4k2_16k2 - 43 ,= 2 ；3+4 k 2-2八2 ；3+4kzI AC1+lBD |_168t2- 1) (3t+l)16卅12t2+t - 1168t - 112-rr-_ 1 ' ： .：.- '4 ：.：-=；2 直线BD的方程为y= - -

42、| .一| ,同理可得 p | - 21 -'k4+3k2- 亍=：； (3+4 k)(4+3k2)令 k2+1=t, t> 1 ；t = 1 t+2设f (t) =f-, (t> 1), f' (t);tt t ( 1 , 2)时,f' (t)> 0, t( 2, +s)时,f' (t)v 0; t=2 时，f (t)取最大值，又 f (t)> 0;4综上得.丨卜/ 的取值范围为亠. I2 221. (2016?大庆校级模拟)如图，曲线r由两个椭圆T仁' .-： -：-.和椭圆T2：a2 b2'-"-：| J

43、组成，当a, b, c成等比数列时，称曲线r为猫眼曲线”.b2 c2(1)若猫眼曲线 r过点" ，且a, b, c的公比为.，求猫眼曲线 r的方程；(2)对于题(1)中的求猫眼曲线r任作斜率为k (k丰0)且不过原点的直线与该曲线相 交，交椭圆Ti所得弦的中点为 M，交椭圆T2所得弦的中点为 N，求证：二丄为与k无关的定值；(3) 若斜率为 匚的直线I为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆Ti上的任 意一点(点N与点A，B不重合)，求 ABN面积的最大值.XXj切-2f 22/I41 2<22J1 41 2由0M-:; a_2, c_1 ,2 2 , 2 TKy T

44、y 丄 (2)证明：设斜率为 k的直线交椭圆Ti于点C (xi, yi), D (X2, y2),线段CD中点M(xo, yo),=1ii,得：一：，:丁 :丁1得4=1-k存在且k工0, Xi 工 X2,且 X0工 0,同理，k?k°N_- 2;(3) 设直线I的方程为/ :,尸厂直+in化简得，-二二'.' 一2 2 2由厶=0化简得m =b +2c ,工 _汁:-，联立方程得2 22.2丄a b化简得. +_ _. -J .二二_'.J- 一由厶=0 得 m2=b2+2a2,，两平行线间距离:、Vb2+2c2+7b2+2a2赤73|AB| =2逅蜗2 a

45、? _心b2+2a2 ABN的面积最大值为2 222. (2016?抚顺一模)已知椭圆''- - 的左顶点为A1,右焦点为F2,过点a2 b2F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为丄2(I)求椭圆的离心率；()若厶AiMN的外接圆在 M处的切线与椭圆相交所得弦长为 ，求椭圆方程.【解答】 解：（I）由题意 “，:（1分）ab3因为Ai （- a, 0）,所以亠二！（2分）a+c 23分）将b2=a2 - c2代入上式并整理得“ 二1.二.（或a=2c）且2所以一一（4分）4 2（n）由（I）得a=2c,、=,汪、，（或丄可4c 3c5分）所以 Ai （-

46、 2c, 0）".i,外接圆圆心设为2P （X0, 0）（6分）解得：（7 分）3c（8 分）4所以一,£所以 AiMN外接圆在 M处切线斜率为1，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC方程为工 二，即/-244分）与椭圆方程 3x2+4y2=12c2 联立得 7x2- 18cx+11c2=0 解得一.，1 .（10 分）由弦长公式| _ ;'，:.（11 分）11cT（12 分）解得c=1（13分）2 2所以椭圆方程为-（14分）4323. (2016?莱芜一模)设椭圆 C: +艺亍=1 (a> b> 0),定义椭圆C的相关圆”方程为/ b 2 2即(1

47、+2k2) x2+4kmx+2m2- 2=0,2 2x2+y2=.若抛物线y2=4x的焦点与椭圆c的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形(I)求椭圆C的方程和 相关圆”E的方程；(H)过 相关圆” E上任意一点P作相关圆” E的切线与椭圆C交于A, B两点，O为坐标 原点(i) 证明：/ AOB为定值；(ii) 连接PO并延长交 相关圆”E于点0,求厶ABQ面积的取值范围.【解答】解：(I)：抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合， 且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，2 b=c=1 a =1 +1=2 ,2 “椭圆c的方程为丄.相关圆”E的方程为x2

48、+y2='.3证明：(n) (i)当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x= 二3则A，爭，B当直线I的斜率存在时,(，_设其方程为，-二y=kx+m,设 A (X1, y1), B (X2, y2),尸kx+m联立方程组-，得 x2+22(kx+m)=2,垃+梵2二4kml+2k22m2 -22厂 i+2k2(l+k')(2m'二 2)1+2 k 24k3 Im22+lDl+2k2痔 fl.。,l+2k2二；为定值解：(ii) pq是 相关圆”的直径，-f7， - -; 11 ' I，要求 ABQ的面积的取值范围，只需求弦长 |AB|的范围, 当直线AB

49、的斜率不存在时，由(i)知|AB|=_3|AB|=宀=1 (l+2k2)284k4+5k2+l=呂一"k4+4k2+l F 4k4+4k3+l当k丰0时，| AB| =2 - r -!.£, Ov4k 七+4 8_ 14k2v|AB| 一.二,当且仅当k= I '时， 取=”号.< |AB| ；,_ 2当k=0时，|AB|=丄.|AB|的取值范围为 ABQ面积的取值范围是丄，订:.324. (2016?邯郸模拟)已知椭圆x2+y2=42 2G:二一+一 . =1 (a>b>0)的焦点和一个顶点在圆 / b2上.(1 )求椭圆的方程；(2)已知点P

50、(- 3, 2),若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以 AB 为底边的等腰三角形 ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.【解答】解：(I)设椭圆G的右焦点为F( c, 0),2 2 2 2由题意可得： b=c，且 b +c =8 ,. b =c =4,o o o故 a =b +c =8，2 2椭圆G的方程为，-(4分)84(H)以AB为底的等腰三角形 ABP存在.理由如下2 2 设斜率为1的直线I的方程为y=x+m，代入中，84化简得：3x +4mx+2 m - 8=0 , (6 分)因为直线I与椭圆G相交于A , B两点， =16m2 - 12 (2m2- 8)> 0, 解得-2 W -:,(8 分)