2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：综合测试卷Word版含解析

1、2 1综合测试卷一、选择题1 .设m, n为非零向量，则“存在负数N使得m= Q”是“ m n0”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：若？ K0,使m= Q,则两向量 m, n反向，夹角是180,那么mn=|m|n|cos 180 =|m|n|0;若m n0,那么两向量的夹角为(90 ,0 180 ,并不一定反向，即不一定存在负 数N使得m=加，所以是充分而不必要条件，故选 A.答案：A2 .下列判断正确的是()A, “若a2b2,则a0,2019x+20190” 的否定是：“ ？ xow 0,2019x0+2019W0”解析：对于

2、A选项，“若a2b2,则ab2,则ab，不妨取a =-2, b=1,则a2b2成立，但ab不成立，A选项中的命题不正确；由基本不等式可得 f(x) = qx + 9 + J-12,yJx2+9 -1=2,当且仅当 加2+9 = 1时,即当 /+9 =1时，等号成立，但 收 + 93, B选项中的命题错误；对于 C选项，命题“若x= y,则sin x= sin y”是真命题，其逆否命题也为真命题，C选项中的命题正确；对于 D选项，由全称命题的否定可知，命题“？ x0,2019x+ 20190”的否定是：“？ x00,2019x0 + 2019W0”，D选项中的命题错误.故选 C.答案：C3 .命

3、题p： ？ x0 R, x-20 ,命题q： ？ xCR, Vx0为真命题命题税p： ?xCR, x- 2 0为假命题命题q： ? xC R , MXxo为真命题明显地，答案选A.答案：A1一一兀、一一“ -4 .设命题p： 依)=；在7义域上为减函数；命题 q ： g(x)=cosx+2为奇函数，则下列命 题中真命题是()A.娥p)A q B.懈p)八降q)C. pA q D. pA 娥 q)1解析：f(x)=-在定义域上不是减函数，故命题p是假命题，xg(x)=cosx+ = sin x是奇函数，故命题 q是真命题,则(税p)A q为真命题，其余为假命题.答案：A 225 .若双曲线x2-

4、 y-2= 1(a0, b6, . IPO |PF|,，xp =当，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 y=bx上， a，S*FO = 2OF| |yP|=2。，b0)的一条渐近线的倾斜角为30,则其离心率的值为()10.若双曲线C: X2-y2= 1的离心率大于2,则该双曲线的虚轴长的取值范围是 （）A. （1,2） B. （2品+8）C.（1,柩D. （2镒，仆）2解析：:双曲线 C： x2 5= 1, .-.a2=1,可得 a= 1, c=，1 + b2,y21 + b2,双曲线C: x2 b2=1的离心率大于2, 工2,解之得bV3,双曲线的虚轴长：2b2/，故选B.答案：Bx2 y2

5、11.已知。为坐标原点，点F1、F2分别为椭圆C： 7 +匕=1的左、右焦点，A为椭圆C 上的一点，且 AF2LF1F2, AF1与y轴交于点B,则|OB|的值为（）33A.2叼 55C； D- 23解析：如下图所示：由AF2LF1F2可知： AF1 / OB且|AF2|为椭圆的半通径-O为F1F2中点,.OB为AF1F2的中位线， 1|OB|= 2|AF 2|b2 33 .一 一 .又|AF2|=1=5，QB| = ,本题正确选项为 B.答案：B12 .如图，F1、F2分别是双曲线 卷一匕=1（a0, b0）的两个焦点，以坐标原点。为圆心,a b|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两

6、点，若 F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.V3-1 B.gC. 2 D.3+1解析：连结 AF1，,F1F2 是圆。的直径，F1AF2=90,即 F1ALAF2,又. F2AB是等边三角形，F1F21 AB,，一 1 ，一AF2F1 = 2/AF2B=30 ,因此，Rt4F1AF2 中，|F1F2|=2c, |FA|= 2|F1F2|= c, |F2A|=今|F1F2|=V3c.根据双曲线的定义，得 2a=|F2A|-|FiA|=(V3-1)c,解得 c= (0,设 p：实数 x满足 x24ax+3a20, q：实数 x 满足 |x3|0 得(x a)(x 3a)0 ,，ax3a

7、当a=1时，1x3,即p为真时，实数x的取值范围是1x3.由|x3|1,得2Vx4,即q为真时，实数x的取值范围是2vx0 得(x a)(x 3a)0 ,所以，p为真时实数x的取值范围是axj3xi + yi + /3zi = 0令 xi=1,则 yi = 0, zi=0,ni= (1,0,1).AEn2= 0设平面ABE的法向量为n2=(X2, y2, Z2),则ABn2= 01y3x2 + y2+ 3Z2z2. = 03x2+ y2= 0令 x2= 1,则 y2 =，3, z2=0,ni n2 .cosni, n2n2=(1, /3,1 上0).sinni, n2一|ni| |n2&x 2

8、- 414=4 平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值为,1444-19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PAL平面 ABCD, AD/BC, ADXCD,且 AD=CD =2声 BC=4*, PA=4.(1)求证：ABXPC;(2)在线段PD上，是否存在一点 M,使得二面角 M-AC- D的大小为45,如果存在， 求BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.解析：(1) /AD = CD=272, BC = 4*y2, /.AB = AC=4,. PA，平面 ABCD, .-.ABXFA,，AB，平面 PAC, PC? ABXAC(2)以A为原点，以过 A平行于CD的直线

9、为x轴，AD平面 PAC,ABXPC;AP所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系O xyz,则A(0,0,0), P(0,0,4), B(2V22亚，0),设 pM= FD, 0K1, M(0,2 / 4 4，0), D(0,2m, 0), C(2b0)过点(寸2, 1)且离心率为求椭圆C的方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C相交于A, B两点, 出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解析：(1)由已知点代入椭圆方程得半+5=1由6=呼彳#a=12可转化为a2=2b2,由以上两式解得 a2=4 x2 y2所以椭圆c的方程为：4+5=1.(2)存在这样的直线.且满足PB =

10、 2PA.若存在，求b2 = 2当l的斜率不存在时，显然不满足 PB=2PA, 所以设所求直线方程l: y=kx+3代入椭圆方程化简得:(1 + 2k2)x2+12kx+14=012k14 4X1 + X2= X1X2 =.1 + 2k21 + 2k2A= (12k)2-4X 14X(1+ 2k2)0, k2j设所求直线与椭圆相交两点A(X1, y1), B(x2, y2)由已知条件PB=2PA可得X2=2xi,综合上述式子可解得k2=2为合题意，所以所求直线方程为：v=3用x+ 3.21.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD，平面 ABCD , M点 在线段

11、PB 上，PD/平面 MAC, PA=PD = /6, AB=4.求证：M为PB的中点；(2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.解析：(1)证明：如图，设 ACABD=O, ABCD为正方形，O为BD的中点,fi连接 OM , . PD / 平面 MAC , PD?平面 PBD,平面 PBD n 平面 AMC = OM ,.PD / OM ,则瞪=BM-,即M为PB的中点; BD BP(2)解：取 AD 中点 G, 1.PA=PD,，PG，AD, 平面 PAD，平面 ABCD ,且平面 FADA 平面 ABCD = AD,，PG，平面 ABCD,贝 UPGAD,连接 OG,贝 U PGXO

12、G由G是AD的中点，。是AC的中点，可得 OG / DC,则OGXAD.以G为坐标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线为x、v、z轴距离空间直角坐标系，由 一2PA=PD =AB=4,得 D(2,0,0),A(2,0,0),P(0,0，V2),C(2,4,0),B( 2,4,0),M 1, 2, % DP=(-2,0, 72), DB= (-4,4,0).设平面的一个法向量为 m=(x, y, z),m DP=0-2x+V2z= 0则由，得，取 z=42,得 m=(1,1, V2).mDB = 0-4x+4y=0V2CM= -3, -2,彳,直线MC与平面BDP所成角的正弦值为：一CM m,

13、|cosCM, m |=1= I 1|C M|m|弋9+4+2b0)的焦距为2,且过点(1)求椭圆C的方程； 3(2)P, M, N是C上不同的三点，若直线 PM与直线PN的斜率之积为一4,证明：M, N 两点的横坐标之和为常数.解析：(1)由题意椭圆C: $+b2= 1(ab0)的焦距为2,且过点 也，斗，3所以c= 1,，j22= 1,解得a=2, b=花，所以椭圆C的标准方程为3=1(2)设 P, M, N 三点坐标分别为(xp, yP), (xm, yM), (xn, yN),设直线PM, PN斜率分别为k1, k2,则直线PM方程为y-yp= k1(x xp)x24+由方程组43=1消去V,y yp= ki x xp得(3 + 4k2)x2 8 ki(kixp yp)x+ 4k2xP 8kixpyp+ 4yP- 12=0由根与系数关系可得：xm + xp =8ki kixp yp3+4k24k2xp 8kiyp 3xp3+4k28ki kixp yp故 xm =; xp=3+4k28 k2 k2xp yp同理可得:xn + xp =1-3+4k2又 上 k2=-4,8k2 k2xp yp故 xn+ xp=