2020届高三数学立体几何专项训练

1、2020 届高三数学立体几何专题(文科 )吴丽康 2019-111 .如图，四棱锥 P-ABCDK 底面 ABC时矩形，P4平面ABCD E为PD的点.(I )证明：PB2 . 如图，四棱锥 P-ABC珅，AB/ CD AB= 2CD E为PB的中点.(1)求证：CE/平面PAD(2)在线段AB上是否存在一点 F,使得平面 PAD/平面CEF若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由3如图，在四棱锥 P ABCD3,平面 PACL平面 ABCD且PA! AC PA= AD= 2,四边形 ABC附足BC AD ABL AD AB= BC= 1.点E, F分别为侧棱 PB PC±的点,J

2、E PF且PB= PC=入(入 w0) (1)求证：EF/平面PAD1 一，(2)当入=2时，求点D到平面AFB的距离.4.如图，四棱柱 ABCDA1BC1D的底面ABCD1正方形.证明：平面ABD/平面CDB;(2)若平面ABCD平面口口叫直线l ,证明：BiD / l .5.如图，四边形 ABC匿平行四边形，点 P是平面ABC0卜一点，M是PC的中点，在 DM上取一点 G过G和AP作平面交平面 BDMF GH求证：AP/ GH6.如图，在四棱锥 P-ABC珅，PAL底面 ABCD ABL AD ACL CDDZ ABC= 60 , PA= AB= BC E 是 PC的中点.证明：（1） C

3、DL A耳（2） PDL平面 ABE7.(2018北京通州三模，18)如图，在四锥P-ABCD中,平面PAB，平面ABCD四边形ABCD为正方形,/XPAB为等边三角形，E是PB中点，平面AEDPC交于点F.(1)求证:AD/ EF;(2)求证:PBL平面 AEFD;记四棱锥P-AEFD的体积为V,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出)的值.8一.如图，在四棱锥 P-ABCDK 底面 ABC匿/ DAB= 60°且边长为a的菱形，侧面PADME三角形，其所在平面垂直于底面ABCD若G为AD的中点.(1)求证：BGL平面PAD(2)求证：ADL PB;(3)若E为BC边的中点，能否

4、在棱 PC上找到一点F,使平面DE巳平面ABCD并证明你的结论.9.(2016 高考北京卷)如图，在四棱锥 P-ABCW, PC1平面ABCD AB/ DC DCLAC求证：DCL平面PAC求证：平面 PABL平面PAC 设点E为AB的中点.在棱 PB上是否存在点F, 使得PA/平面CE耽明理由.1.1. 如图，在四棱锥 P- ABCDK 底面ABCD1矩形，点E在PC上(异于点P, C), 平面 ABE棱P吩于点F.(1)求证：AB/ EF;(2)若AFL EF,求证：平面 PADL平面 ABCD1.2. 如图，在四棱锥 P ABC珅,PA1平面 ABCD PA= AB= BC= &

5、 AD= CD= 1, ,- .一 1Z ADC= 120° ,点 M是AC! BD的交点，点 N在线段PB上，且PNh 4PB(1)证明：MN/平面PDC(2)求直线MNW平面PAC所成角的正弦值.12. .（2016 高考四川卷）如图，在四棱锥 P ABCW, PAL CD AD/ BC1/ADC= / PAB= 90 , BC= CD= 2AD在平面PAD*找一点 M使得直线 CM/平面PAB并说明理由;证明：平面 PABL平面PBD13. (2016 高考江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC ABC中，D, E分别为AB, BC的中点，点 F在侧棱 BB上，且 BiD±

6、AF, AiGXAiBi.求证：(1)直线DE/平面AGF;(2)平面BDEL平面AGF.14.【2014,19如图，三棱柱 ABC AB1C1中，侧面BB1cle为菱形，B1c的中点为。，且AO 平面BB1c1c.(1)证明：B1C AB；(2)若 AC AR, CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC A14cl 的高.15.(2017 天津，文 17)如图，在四棱锥 P-ABCD中,AD，平面 PDC,AD/ BC, PD±PB, AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证:PDL平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成

7、角的正弦值.16.(2016 高考浙江卷)如图，在三棱台 ABC DEF4,平面 BCF巳平面 ABC/ACB= 90 , BE= EF= FC= 1, BG= 2, AC= 3.(1)求证：BFL平面 ACFD(2)求直线BD与平面ACF所成角的余弦值.17. (2018 全国出)如图，矩形 ABC所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M是CD上异于C, D的点. 证明：平面 AMD_平面BMC(2)在线段AM上是否存在点 P,使得MC/平面PBDi明理由.立体几何中的翻折问题.一 ,兀118.1. 如图(1),在直角梯形 ABCW, AD/ BG / BAD= -y, AB= BC= 2AD

8、= a,E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将 ABEgBE折起到图(2)中AABE的位置，得到 四棱锥Ai- BCDE(1)证明：CDL平面AiOC(2)当平面ABE1平面BCDE寸，四棱锥 A-BCDE勺体积为3642,求a的值.119.如图 1,在直角梯形 ABCDK Z ADC= 90 , AB/ CD AD= CD= 2AB= 2,E为AC的中点，将 ACDgAC折起，使折起后的平面 ACD平面ABCB直，如图2.在图2所示的几何体D- ABC中：(1)求证：BCL平面ACD (2)点F在CD上，且满足 AD/平面BEF求几何体 FBCE勺体积.20.如图，长方体 ABCDABGD

9、 中，AB= 16, BC= 10, AA= 8.点 E, F分别在 AB, DC上, 过点E F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH(1)求证：AE= DF;(2)判断AD与平面a的关系.2020届高三数学立体几何专题(文科)1解析：(I)设AC的中点为Q 连接E0在三角形PBD,中位线EO（n）AP=1, ADV3, Vp-ABDVP-ABD1 -PA AB AD = AB=,作AHL PB角PB于H,由题意可知 BC!平面PAB Bd AH故AHL平面PBC又AH PA AB 久13,故A点到平面PBC勺距离近.PB 13132.(1)证明：如图所示，取PA的中点H,连

10、接EH DH因为E为PB的中点, ,1所以 EH/ AB EHh 2AB1又 AB/ CD CD= 2AB.所以 EH/ CD EHh CD因此四边形DCEK平行四边形，所以CE/ DH又DH?平面PAD CE?平面PAD所以CE/平面PAD1(2)如图所示，取 AB的中点F,连接CF, EF,所以AF= 2AB,1，一，一 ，又C氏2AB所以AF= CD又AF/ CD所以四边形 AFC时平行四边形，所以 CF/ AQ又CF?平面PAD所以CF/平面PAD由(1)可知CE/平面PAD 又CE? CF= C,故平面 CEF/平面PAD故存在AB的中点F满足要求.八 PE PF八 八一一3 .(1

11、)证明 .X ( X 0), EF/ BC . BC/ AD . . EF/ ADPB PC又 EF?平面 PAD AD?平面 PAD EF/ 平面 PAD1(2)解入=2，F是PC的中点, 在 RtA PAO43, PA= 2, AC=/， . PC= /pA+aC =乖,PF= 1PC=半.平面PACL平面 ABCD且平面 PA3平面ABC吩 ACPA! AC PA?平面 PAC PA!平面 ABCD PA! BC又 ABL AD BC/ ADBC± AR 又 PAP AB= A, PA AB? 平面 PAB16.BCL平面 PAB ，BCL PB在 RtA PBC, BF= P

12、C=看.连接BQ DF设点D到平面AFB的距离为d,在等腰三角形 BAF中，BF= AF=*,AB= 1,5. S abf=/，又Saabx 1,点F到平面ABD勺距离为1,，由VFABD= f 彳4仁3* dX坐解得d=¥，即点D到平面AFB的距离为芈4 .证明 （1）由题设知 BB/ DD且BB= DD,所以四边形BBDD是平行四边形，所以 BD/ BD.又 BD?平面 CDB1, B1D?平面 CDB1,所以 BD/ 平面 CDB.因为 AD / BiG / BCM AD= BG= BC所以四边形 ABCD平行四边形，所以 AB/ DC又A1B?平面CDB1, DC?平面CDB

13、, 所以AB/平面CDB.又因为BE AB= B, BD A1B?平面ABQ 所以平面ABD/平面CDB.（2）由（1）知平面 ABD/平面CDB1,又平面 ABCDI平面8口上直线l ,平面ABCDI平面八七年直线BD所以直线l /直线BD,在四柱 ABCD ABCD中，四边形 BD田为平行四边形，所以 B1D / BD 所以 BD / l .5 .连接AC交BD于点Q 连接 MO因为PM= MC AO= OC所以PA/ MO因为PA?平面MBD MO平面MBD所以PA/平面 MBD因为平面 PAHG平面 MBD= GH所以AP/ GH6 .证明(1)在四锥 P-ABCDK 因为PAL底面A

14、BCD CD?平面ABCD所以PAL CD因为ACL CD 且 PAH AC= A,所以CDL平面PAC而AE?平面PAC所以CDLAE(2)由 PA= AB= BC, /ABC= 60 ,可得 AC= PA因为E是PC的中点，所以AEL PC由 知AEL CD且PS CD= C,所以AE1平面PCD而PD?平面PCD所以AE± PD因为PAL底面ABCD所以PAh AB.又因为 ABL AD且 PAO AD= A,所以ABL平面PAD而PD?平面PAD所以ABL PD.又因为ABH AE= A,所以PDL平面 ABE7 .(1)证明 因为ABCM正方形，所以AD/ BC.因为AD?

15、平面PBC,BC?平面PBC,所以AD/平面 PBC.因为AD?平面 AEFD,平面 AEFD平面 PBC=EF,所以AD/ EF.(2)证明 因为四边形 ABCD正方形，所以ADLAB.因为平面 PABL平面 ABCD平面PABH平面 ABCD=AB,AD平面 ABCD,所以ADL平面 PAB.因为PB?平面PAB,所以ADL PB.因为 PAB为等边三角形，E是PB中点，所以PB± AE.因为 AE?平面 AEFD,AD?平面 AEFD,A的 AD=A,f以 PB1平面 AEFD.(3)解 由(1)知,V 1=Vc-AEFDV e-abc=VF-adc= VC-AEFE=|Vi

16、,'4 nr5 B VbC-AEF= Vl,则 VP-ABC=V 巧Vl= 丫1,.8 .解(1)证明：在菱形 ABCD / DAB= 60° , G为AD的中点，所以 BGLAD又平面PADL平面 ABCD平面PADT平面 ABCDAQ所以BGL平面PAD(2)证明：如图，连接 PG因为 PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGL AD由(1)知，BGL AQ 又 PGABG= G,所以 ADL平面 PGB因为PB?平面PGB所以ADL PB(3)当F为PC的中点时，满足平面 DE也平面 ABCD证明如下：取 PC的中点F,连接DE ER DF在PBC43, FE/ PR

17、 在菱形 ABCDh, GB/ DE而 FE?平面 def de?平面 def EFn DE= E, PB?平面 PGB GB> 平面 PGBPBH GB= B,所以平面 DEF/平面PGB因为BGL平面PAD PG 平面PAD所以BGL PG又因为PGL AD Am BG= G,所以PGL平面ABCD又PG 平面PGB所以平面 PGBL平面ABCD所以平面DEFL平面ABCD9 .【解】(1)证明：因为 PCL平面ABCD所以PC! DC又因为DCL AC且PS AC= C,所以DCL平面PAC(2)证明：因为 AB/ DC DCL AC 所以 ABI AC因为PCL平面ABCD所以P

18、CX AB又因为P6 AC= C,所以ABL平面PAC又AB?平面PAB所以平面 PABL平面PAC(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF理由如下：如图，取PB中点F,连接EF, CE CF又因为E为AB的中点，所以 EF/ PA又因为PA?平面CEF且EF?平面CEF所以PA/平面CEF10 .证明 (1)因为四边形 ABC比矩形，所以 AB/ CD又AB?平面PDC CD?平面PDC所以 AB/平面PDC又因为 AB 平面ABE平面 AB的平面 PDC= EF,所以AB/ EF(2)因为四边形ABCD1矩形，所以AB± AD因为AF± EF, (1)中已证AB/ E

19、F,所以AB± AF又ABL AD由点E在PC上(异于点所以点F异于点D,所以 AFn AD= A AF, AD?平面 PAD所以ABL平面PAD又AB?平面ABCD所以平面 PADL平面 ABCD11 .(1)证明 因为AB= BG AD= CD 所以BD垂直平分线段 AC又/ ADC= 120 ,所以 MD= 2AD= 2, AM=乎.所以 AC=小.又AB= BC= 3,所以 ABB等边三角形，3 BM 1 BM BN 所以B阵5,所以而3,又因为PM 4PB所以而后3,所以MM PD又MN?平面PDC PD?平面PDC所以MN/平面PDC又 BDL AC PAP AG= A,

20、 PA AC?平面 PAC 所以 BDL平面 PAC由知MN PR所以直线 MNW平面PAO成的角即直线 PD与平面PAC/f成的角，故/ DPM为所求的角.在 RtA PAD, PD= 2,1，DM 2 11所以sin/DP降DP= 2 = " 所以直线MNW平面PAC所成角的正弦值为-.12 .【解】 取棱AD的中点M正平面PAD,点M即为所求的一个点.理由如下：1 一因为 AD/ BC BC= ,AD 所以 BC/ AM 且 BC= AM所以四边形 AMC能平行四边形，从而 CM/ AB.又AB?平面PAB CM平面PAB所以CM平面PAB(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可

21、以是直线 MN上任意一点)1(2)证明：由已知，PAL AB,PAL CD因为AD/ BC,BC= 2AQ所以直线A*CN目交.所以PAL平面ABCD从而PAh BD.连接BM一，1 ,1因为 AD/ BC BC= 2AD 所以 BC/ MD 且 BC= MD1所以四边形BCDM1平行四边形.所以 B阵CD= 2AQ所以BDL AB又ABH AP= A,所以BDL平面PAB又BD?平面PBD所以平面 PABL平面PBD13 .证明(1)在直三棱柱 ABC ABC中，AC/AC在ABGK 因为 D, E分别为AB BC的中点，所以DE/ AC于是DB AC.又DE?平面ACF, AC?平面ACF

22、,所以直线DEE/平面ACE(2)在直三棱柱 ABC ABC中，AA1平面 ABQ.因为AC?平面ABiC,所以AA，AG.又 ACAB, AiA?平面 ABBA, AB?平面 ABBA, AAA ABi = A,所以AC，平面ABBA.因为BD?平面ABBA,所以 ACXBD.又 BD± AF, A Ci?平面 ACF, AF?平面 ACF, ACAAF= A,所以BD，平面ACE因为直线BD?平面BDE所以平面 BDH平面ACF14 .证明：(I)连接BCi,则。为BC与BC的交点，. ACL平面 BBGC. /.ACLBiC,分因为侧面BBGC为菱形，. BGLBC,分 BG，

23、平面 ABG, . AB 平面 ABC,故BiCX AB6分(H)作 ODL BQ 垂足为 D,连结 AD, v AOL BQ /. BCL平面 AOD又BC 平面ABC .平面ABCL平面AOD交线为AR作。也AR垂足为H, ； O也平面ABC乡分/CBB=60° ,所以ACBB为等边三角形，又 BC=i,可得O®，34由于 AC AB, . OA BiC )，. AD .CD2 OA2 也，2242i由OH-AD=ODOA,可得OH* ,又O为BiC的中点，i4所以点B到平面ABC的距离为浮，所以三棱柱ABC-ABC的高高为叵。仅分7另解（等体积法）：./CBB=60&

24、#176; ,所以ACBB为等边三角形，又BC=1,可得 BQ=3 ,由于 ACLAB, OA 2115 一八-B1C- , . . AB=1, AC号，9 分则等腰三角形ABC勺面积为1 -212 （ 2）2 -I ,22.48设点B到平面ABC的距离为d,由Vbi-abAA-bbic得无d 1 1,解得d 叵 8427所以三棱柱ABC-ABiG的高高为 叵。仅分715.（1）解 如图，由已知AD/ BC,故/DAP或其补角即为异面直线 AP与BC所成的角.因为ADL平面PDC,所以ADL PD.在RHPDA中，由已知，得AP=%D +叩工=也 故cos / DAP=；二（所以，异面直线AP

25、与BC所成角的余弦值为''.（2）证明 因为AD1平面 PDC直线PD?平面PDC,所以AD£ PD.又因为BC/ AD,所以PD£BC.又PD£ PB,所以PD£平面 PBC.解过点D作AB的平行线交 BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于 AB与平面PBC所成的角.因为PD1平面 PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以/DFP为直线 DF和平面PBC所成白角.由于AD/ BC,DF/ AB,故 BF=AD=1,由已知，得 CF=BC-BF=2.又 AD£ DC,故 BCL DC,I j 工 w FD在

26、RtDCF 中，可得 DF=/CIT - CF =255,在 RtDPF 中，可得 sin / DFP=所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 当16.【解】(1)证明：延长 AQ BE CF相交于一点K,如图所示.因为平面 BCFEL平面 ABC且ACL BC 所以A(X平面BCK因此BF± AC又因为 EF/ BC BE= EF= FC= 1, BC= 2,所以BC等边三角形，且 F为CK的中点，则BFL CK所以BFL平面 ACFD(2)因为BFL平面ACK所以/ BD比直线BD与平面ACFM成的角.321在 RtBFD中,BF=十，DF= 5,得 cos/BDF=半，所以

27、直线BD与平面ACF所成角的余弦值为 -21.17 .(1)证明 由题设知，平面 CMD_平面ABCD交线为CD因为BCL CD BC?平面ABCD所以BCL平面 CMD又DM?平面CMD故BCL DM因为M为而上异于C, D的点，且DC为直径，所以 DML CM又 B6 CM= C, BC, CM?平面 BMC所以DML平面BMC又DM?平面AMD故平面 AMD_平面BMC(2)解 当P为AM的中点时，M。平面PBD证明如下：连接 AC BQ交于点O因为ABC师矩形，所以O为AC的中点.连接 OP因为P为AM的中点，所以MC/ OP又MC平面PBD OF?平面PBD所以M。/平面PBD、一，一.118 .(1)证明：在题图(1)中，因为AB= BC= 2A