第一章生活中的轴对称 (2)

1、第一章生活中的轴对称 复习 2020世纪著名数学家赫尔曼世纪著名数学家赫尔曼外外 尔所说的，尔所说的，“对称是一种思想，对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善丽和完善” 生生活活中中的的轴轴对对称称轴轴对对称称的的性性质质轴轴对对称称图图形形 两个图形成轴对称两个图形成轴对称 镜面对称镜面对称 线段线段 角角等腰三角形等腰三角形轴对称轴对称的应用的应用本章知识回顾轴对称图形：如果一个图形沿一条直线轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则称这个图形是轴对称图形。则称这个图形是轴对称图形。

2、成轴对称：如果两个图形沿一条直线对成轴对称：如果两个图形沿一条直线对折后，它们能完全重合，则称这两个图折后，它们能完全重合，则称这两个图形成轴对称形成轴对称对称轴：这一条直线叫对称轴对称轴：这一条直线叫对称轴1 1、轴对称图形和轴对称的区别与联系、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, , 只对只对( )( ) 图形而言图形而言; ;(2)(2)对称轴对称轴( )( ) 只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指( )( )图形图形 的位置关

3、系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ;(2)(2)只有只有( )( )对称轴对称轴. .如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称. .如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. . B C A C B A A B C一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾：角平分线性质角平分线所在的直线是角的角平分线所在的直线是角的对称轴对称轴角平分线上的

4、点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等线段垂直平分线性质线段的垂直平分线是线段的一条对线段的垂直平分线是线段的一条对称轴称轴线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段的两端距离相等的两端距离相等等腰三角形等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形它的对称轴是底边上的中线、底边它的对称轴是底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线所在的直上的高、顶角的角平分线所在的直线。并且三线合一。线。并且三线合一。等边对等角、等角对等边等边对等角、等角对等边等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。轴对称的性质对应点所连的线段被对称轴垂直对应点所连的

5、线段被对称轴垂直平分平分对应线段相等，对应角相等对应线段相等，对应角相等我们一起来做个游戏。游戏规则：将走道抽象成一条直我们一起来做个游戏。游戏规则：将走道抽象成一条直线，将每位同学抽象成一个点，现在以这条直线为对称线，将每位同学抽象成一个点，现在以这条直线为对称轴，老师报一个同学的学号也就是确定一个点（报到学轴，老师报一个同学的学号也就是确定一个点（报到学号的同学立刻起立），请表示其对称点的这位同学也立号的同学立刻起立），请表示其对称点的这位同学也立刻起立，并回答：刻起立，并回答：“我叫某某某，我是某某某的对称我叫某某某，我是某某某的对称点。点。”放松一下：放松一下：1 1、国旗是一个国家的

6、象征，观察下面的国旗，是轴对称、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（图形的是（ ）A.A.加拿大、韩国、乌拉圭加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C 3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴成轴对称，则对称，则CC是多少度？是多少度？ 65 40 FEDCBAL 1 1、 一个角的角平分线就是一个角的角平分线就是这个角的对称轴这个角的对称轴.( )(

7、)判断判断 2 2、 直线直线BDBD是长方形是长方形ABCDABCD的对称轴的对称轴.( ).( )DCBA 4 4 、如图、如图,在在ABCABC中中, ,ABCABC的角平分线的角平分线交交ACAC于于P,P,一个同学马上就得到一个同学马上就得到PA=PCPA=PC, ,你你觉得对吗觉得对吗? ? CP = 1.90 厘米厘米AP = 2.10 厘米厘米PCBAEFPCBA当当BABABCBC时，时，有有PA=PCPA=PC2、轴对称图形的、轴对称图形的对应线段对应线段相等相等，对应角对应角相等。相等。3、如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线、如果一个图形是轴对称图形，那么连结对

8、称点的线段与对称轴关系段与对称轴关系 。对称轴垂直平分连结对称点的线段对称轴垂直平分连结对称点的线段4、线段的垂直平分线的点到、线段的垂直平分线的点到 的的 距离相等。距离相等。这条线段两端点这条线段两端点5、一个角的角平分线上的点到、一个角的角平分线上的点到 的的距离相等。距离相等。这个角的两边这个角的两边3 3、“有一个等腰三角形的两条边长有一个等腰三角形的两条边长分别是分别是4cm和和8cm，则当腰长为，则当腰长为4cm时，时，这个等腰三角形的周长为这个等腰三角形的周长为16cm；当腰；当腰长为长为8cm时，这个等腰三角形的周长时，这个等腰三角形的周长为为20cm。”这个说法正确吗？为什

9、么？这个说法正确吗？为什么？ 耐心做一做：耐心做一做：1、等腰三角形的对称轴最多有、等腰三角形的对称轴最多有 条，最少有条，最少有 条，圆条，圆的对称轴有的对称轴有 条，它的对称轴是条，它的对称轴是 。2、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图形？形？ （1） （2） （3） （4） （5） （6）3、如图，画出所示图形关于直线、如图，画出所示图形关于直线l的对称图形。的对称图形。AllABCll（1） （2）31B答：轴对称图形是：答：轴对称图形是： （1）（）（2）（）（3）（）（5）（）（6）。）。 无数无数直径所在的直线直

10、径所在的直线4、如图，是齐新新同学照镜子时看到的如图，是齐新新同学照镜子时看到的 对面墙上钟表指针的情况，你能告诉对面墙上钟表指针的情况，你能告诉 他当时的时间大约是几点几分吗？他当时的时间大约是几点几分吗？ 、5、如图：在、如图：在ABC中，中，DE是是AC的垂直的垂直平分线，平分线，AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长等于的周长等于13厘米，则厘米，则ABCABC的周长是的周长是 。ABDEC6、如图：在、如图：在ABC中，中， C=900，AD平平分分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE= 。ABCD18厘米厘米E127、研究下列数字，找出它们的

11、规律，并加以猜想：、研究下列数字，找出它们的规律，并加以猜想： 121=112，12321=1112，.，1239321=（ ）2111111111答：当时的时间大约是四点十分。答：当时的时间大约是四点十分。1 1、如图，、如图， （1 1）等腰）等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， 顶角顶角A=100A=100，那么底角，那么底角 B=B= ， C=C= 。B BA AC C（2 2）ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，B=72B=72，那么，那么A=A= 。（3 3）等腰）等腰ABCABC中有一个角中有一个角为为5050，那么另外两个角分，那么另外两个角分别是多少？别是多少

12、？3636404040402、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC时，时，(1)ADBC _= _;_=_(2) AD是中线是中线_; _= _(3) AD是角平分线是角平分线_ _;_=_BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD答：相等。答：相等。 AOAO平分平分BACBAC EAO= DAOEAO= DAO OEAB,ODACOEAB,ODAC AEO= ADOAEO= ADO由由AEO= ADOAEO= ADOEAO= DAOEAO= DAOAO=AOAO=AO得得 AEO ADO(AAS) AEO ADO(AAS)OE=ODOE=OD试试一一试试下面用我

13、们学过的知识证明发现：下面用我们学过的知识证明发现：如图，已知如图，已知AOAO平分平分BACBAC，OEACOEAC，ODAB ODAB 。则。则OE=ODOE=OD吗？请说明理由。吗？请说明理由。ABCEDO如图，已知AD是BC的中垂线，所能得到的结论是： 你能根据现有条件，推得ABD=ACD如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC=16cm，AB的的垂直平分线交垂直平分线交AC于于D，如果，如果BC=10cm，那么那么BCD的周长是的周长是_cm. N如图，如图，P、Q是是ABC边上的两点，边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求求BAC的度数。的度数。PABCQ1 1、 如图如图,

14、 AB/CD,ACDACD的角平分线交的角平分线交ABAB与与E,E,想一想想一想ACEACE是什么三角形是什么三角形. . EDCBA321EDCBA 如图如图, ABC、ACB的平分线相的平分线相 交于交于F, ,过过F作作DE/BC交交AB于于D,交交AC于于E,若若AB=9cm, AC=8cm,则则ADE的周长是的周长是多少多少? ? FEDCBAAC=AE+EC=AE+EFAB=AD+DB=AD+DF某开发区新建了两片住宅区某开发区新建了两片住宅区:A区、区、B区（如图）区（如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向这两个小区供气

15、同时向这两个小区供气.请问请问,这个接口应建在这个接口应建在哪哪,才能使得所用管道最短才能使得所用管道最短?A小区小区B 小区小区煤气主管煤气主管道道）A 如图，七（如图，七（1）班与七（）班与七（2）班）班两个班的学生分别在两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳两处参加植树劳动，现要在道路动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一的交叉区域内设一个茶水供应点个茶水供应点P，使，使P到两条道路的距离相到两条道路的距离相等，且使等，且使PM=PN，请你用折纸的方法找出，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。点并说明理由。 BCMN 如图，古罗马有一位将军，他每如图，古罗马有一位将军，他每天都要从驻地

16、天都要从驻地A A 出发，到河边饮马，出发，到河边饮马，再到河岸同侧的军营再到河岸同侧的军营B B 巡视。他经巡视。他经常想因该怎样走才能使路程最短，常想因该怎样走才能使路程最短，但他百思不得其解。但他百思不得其解。 LBA2 2、某居民小区搞绿化、某居民小区搞绿化, ,要在一块长方形要在一块长方形空地上建花坛空地上建花坛, ,现征集设计方案现征集设计方案, ,要设计要设计的图案由圆和正方形组成的图案由圆和正方形组成( ( 圆与正方形圆与正方形的个数不限的个数不限),),并且使整个长方形场地成并且使整个长方形场地成轴对称轴对称 , ,请在下边长方形中画出你的设请在下边长方形中画出你的设计方案计

17、方案. . 例例3 几年前，老李承包了一个正方形的鱼塘，当时为了更好地几年前，老李承包了一个正方形的鱼塘，当时为了更好地管理鱼塘和住宿方便，老李在鱼塘四个角落处各盖了一间小屋管理鱼塘和住宿方便，老李在鱼塘四个角落处各盖了一间小屋（如图），现在他决定将现有鱼塘扩大（如图），现在他决定将现有鱼塘扩大1倍，而四角的小屋不拆，倍，而四角的小屋不拆，请你帮他设计一种方案，满足他的要求？请你帮他设计一种方案，满足他的要求？拓展题：拓展题：动手折一折动手折一折 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，将图中的三角形纸片沿虚线折叠，图中由粗实线围成的图形面积与三角形图中由粗实线围成的图形面积与三角形面积之比为面积之比为

18、2：3，已知图中三个阴影的，已知图中三个阴影的三角形面积之和为三角形面积之和为1，试确定重叠部分的，试确定重叠部分的面积。面积。解：设重叠部分的面积为解：设重叠部分的面积为x, 则粗实线围成则粗实线围成的图形面积为的图形面积为1+ x ，三角形面积为，三角形面积为1+ 2 x 。由题意得，由题意得，1+x=23(1+2x)解得解得 x=1答：重叠部分的面积为答：重叠部分的面积为1。例例1 如图：设如图：设L1，L2是平行且镜面是平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球相对的两面镜子，把一个小球A放放在在L1，L2之间，小球在镜之间，小球在镜L1中的像中的像为为A1，A在镜在镜L2中的像为中的像为A

19、2,当当L1，L2间的距离为间的距离为18厘米。厘米。（1）试求）试求A1与与A2间的距离；间的距离；（2）若小球在）若小球在L1，L2间运动，间运动， A1 与与A2 间的距离改变吗？间的距离改变吗？AL1L2A1A2BC解：如图，解：如图， A 与与 A1关于关于L1对称，对称， A 与与 A2关于关于L2对称对称 A1 B=AB， A2 C=AC A1A2=2BC=36厘米厘米答：答：A1与与A2间的距离为间的距离为36厘米。厘米。例例1 如图：设如图：设L1，L2是平行且镜面是平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球相对的两面镜子，把一个小球A放放在在L1，L2之间，小球在镜之间，小球在镜

20、L1中的像中的像为为A1，A在镜在镜L2中的像为中的像为A2,当当L1，L2间的距离为间的距离为18厘米。厘米。（1）试求）试求A1与与A2间的距离；间的距离；（2）若小球在）若小球在L1，L2间运动，间运动， A1与与A2 间的距离改变吗？间的距离改变吗？AL1L2A1A2BC解：解： （1）如图，）如图， A 与与 A1关于关于L1对称，对称， A 与与 A2关于关于L2对称对称 A1 B=AB， A2 C=AC A1A2=2BC=36厘米厘米答：答：A1与与A2间的距离为间的距离为36厘米。厘米。（2）答：不论）答：不论A 在在L1，L2间的哪个位置，间的哪个位置，A1与与A2 间的距离

21、都不间的距离都不会改变吗。会改变吗。例例2 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（1）当汽车行驶到什么位置时距村庄）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么最近？行驶到什么位置时距村庄位置时距村庄N最近？最近？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P1时，距村庄时，距村庄M最近，最近， 当汽车行驶到当汽车行驶到P2时，距村庄时，距村庄N最近。最近。ABMNP1P2根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。例例2 已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距离相等？的距离相等？答：如图答：如图 ，当汽车行驶到，当汽车行驶到P3时，与村庄时，与村庄M、N的距离相等。的距离相等。ABMNP3根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距