三维空间的向量

1、三维空间的向量 平面与直线【内容提示】 本章讨论三维空间的向量及其运算 向量加法、数乘向量以及内积，并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系线性代数的主要研究对象 n维向量是从三维向量的概念发展而来，因此，了解直观的三维空间有助于更好地理解抽象的n维空间.本章中三维向量及其运算首先作为一个几何系统提出，经过空间直角坐标系建立向量的坐标后，转化为一个代数系统这两个系统之间保持着完全的一致性，这一过程再现了人类的认识过程 对一组三维向量位置关系的讨论为下一 步研究n维向量组的线性关系提供了直观的背景材料而平面与直线对研究线性方程组提供了直观背景第一节三维向量及其线性运算在中学物理中讨论过一

2、种既有大小又有方向的量，称为矢量，例如力、速度、位移等等在数学中这种量称为 向量.物理学中的矢量大多除了大小、方向外，还与起点（或作用点等） 有关，而本书中讨论的向量与起点无关，即：大小相等、方向一致的向量被认为是相等的， 而无论它的起点在那里，这种向量称为 自由向量通常将向量看作一个有向线段，有向线段的长度表示向量的大小，称为 向量的模（或长度），有向线段的方向表示向量的方向以点A为起点、点B为终点的向量记作 AB，有时也用粗斜体字母表示三维向量，例如 a，b，r 等等.向量a的模用|a|表示，|AB |=|AB| （|AB|表示线段AB的长度）模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为 零

3、向量，通常用o表示，零向量的方向被认为是任意的如果两 个向量的方向相同或相反，则称这两个向量 共线，向量a与b共线记作a/b.零向量方向任 意，因此认为零向量与任何向量共线 如果一组向量可以放到同一个平面上， 则称这组向量 共面.共线的向量一定共面 .、向量的线性运算1、图a，b是两个向量，将向量b的起点放在向量 a的终点，以a的起点为起点，b的终点为终点的向量称为向量a与b的和，记作a+b,(见图1).例如AB BC二AC .称这种方法为三角形法.物理学中力的合成、位移的叠加就是向量加 法的实际应用.用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算向量的加法，其结果是一致的.(见图2)2、

4、数乘向量k是个实数，a是个向量，依照下列方法定义的向量称为k与a的数量乘积，记作ka.ka的大小依下列规定：|ka|=|k|a|;其中|ka|表示ka的模，|k|表示k的绝对值，|a|表示a 的模.ka的方向遵循下列规定：若 k>0, ka与a方向相同，若k<0, ka与a方向相反.若 k=0,依照模与零向量的规定， ka= o.向量加法与数乘向量合称 向量的线性运算.ai, a?,，as是一组向量，& , k?,，k$是一组实数，kia计k2a2+ksas称为向量组ai, a?,，as的一个线性组合.如果存在一组实数 ki, k?,，k$,使得b=kia计k2a2+ksa

5、s,则称b可以被向量组ai, a?,，as线性表示或线性表出，其中ki,ks称为组合系数图3不难验证，向量的线性运算满足下列运算法则：(i)向量加法满足交换律，即a+ b= b+a;(i)这从图2中即可看出.2)向量加法满足结合律，即(a+b)+ c = a+(b+ c);(2)三个向量的和向量是以这三个向量为三条棱的平行六面体的体对角线(对顶线)，而其中两个向量的和是它们所在的侧面的对角线，再与第三条棱相加即得到体对角线，这与相加的先后顺序无关.(见图3)零向量o在向量加法中有着特殊的地位，即：(3) 对于任意向量 a,有a+ o=a;(3)在三维空间全部向量的范围内，对于每一个向量，都一定

6、存在一个和它大小相等，方向相反的向量，用一个数学表达式来表示，即：(4) 对于任意向量 a, 一定存在一个向量 b,使a+b=o;(4) 我们称这个向量 b为向量a的负向量，用-a表示.(5) 对于任意向量 a, ia= a;(5)(6) k, l是任意两个实数，(kl) a=k(la)(6)(7) (k+l) a=ka+la;(7)(8) k(a+ b)= ka+kb.(8)这八条运算法则是线性运算最基本的法则.看起来这些法则都是很显然的，有些甚至好象没必要，然而，人们通过长期实践观察，发现这八条法则每一条都是独立的，即其中任何 一条都不能用逻辑手段通过其它几条推导出来，但是线性运算的全部性

7、质都可以利用这八条法则推导出来，而如果缺少其中任何一条则有些性质不能通过逻辑推导出来因此，在线性代数中，这八条法则称为 线性运算公理系统，它是线性代数的理论基础 除这八条法则外， 线性运算还满足下列几条主要性质：零向量的唯一性 在全部三维向量中，只存在唯个零向量负向量的唯一性任意向量只有唯一一个负向量.对于任意向量 a,0 a=o;(9)对于任意实数k,k o= o;(10)对于任意向量 a,(-1)a= -a;(11)如果ka= o,那么,k=0或a= o中至少有一个成立（称为 消去律）.(12)规定a- b=a+（- b），因此，向量的减法不被看作是个独立的运算不难看出，a- b是以b的终

8、点为起点，以 a的终点为终点的向量.例1用向量证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：如图，设四边形 ABCD的对角线AC与BD交于0点，因为0点平分AC、BD ,所以向量又AO=OC, DO=OBAB = AO+OB , DC =DO+OC所以AB = DC （向量相等包括：长度相等，方向一致）即：四边形ABCD的一组对边平行且相等，ABCD是平行四边形.从这个例子可以看出，用向量处理几何问题往往非常简练、向量的共线与共面定理1.1 （数轴原理）如果向量 a丰o,那么向量b与向量a共线的充分必要条件是： 存在唯一一个实数 人使b=扫.证明：由数乘向量的定义.充分性是显然的.下面证明必要

9、性：设 b/a，取入满足：|入=，当b与a同向时， 曰开；当b与a反向时，且-|开.a用数乘向量的定义可以验证，b= ?a.证明 入的唯一性：如果存在入，心，使Na= b,?2a=b,则有入ia-Z2a=o,即卩（入仁a= o（向量线性运算的基本性质 7）.由消去律，因为 az o,所以入 1-豪0,即入i=加?这个定理也可以这样叙述： 一条直线上的所有向量都可以被这条直线上的一个非零向量 线性表出，并且，表示方法是唯一的.这个定理是建立数轴的理论基础 .推论 向量a, b共线的充分必要条件是：存在不全为零的实数汕&，使入ia+ &b= o证明：首先证明充分性：不妨设入丰0,则

10、a= - b,因此a/b.入证明必要性：若a, b都是零向量，结论成立.如果a丰o,由定理1.1,b=Za,即-怯+1 b=o?过去我们熟悉的数轴是： 在一条直线上取定一个坐标原点 0与单位长度1，直线上任意一点P对应唯一一个实数 X （称为P点的坐标），x的绝对值等于线段 0P的长度（或P点到0点的距离），当P点在0点右侧时x为正，当P点在0点左侧时x为负.下面我们利用定理1.1建立数轴上的点与实数的对应法则：i是个与直线I平行的单位向量，0是I上一定点，P是直线I上任意一点，做向量0P ,由于0P与i共线并且iM 0,所以存在唯个实数人使0P =为,入即P点的坐标.（图4）不难看出,两种方

11、法建立的直线上点与实数的对应关系是一致的 将定理1.1推广到平面，我们有定理1.2平面上所有向量可以被这个平面上两个不共线的向量线性表出，并且表示方法证明：a, b是平面n上两个不共线的向量，（因为零向量与任何向量共线，所以a、ba、b所在直线.因为：a、b都不会是零向量），c是平面n上任一向量.设c的起点为0,终点为P,即c= 0P .将a、b的起点放在0点.从P点做两条直线11, 12分别平行于向量l1 P不共线，并且P点在a、b所在的平面上，所以I2 一定与a所在直边形0APB是平行四边形，0P是它的对角线，线相交，设交点为 A; h 定与b所在直线相交，设交点为B.四 c= 0P =

12、0A + 0B .因为0A/a, 0Bb,并且a, b者E不是零向量.由定理1.1，存在唯一一组实数k1, k2，使得c=如+k2b. ?推论1 三向量共面的充分必要条件是：其中一个向量可以被其余向量线性表出证明：充分性显然.必要性：设向量a, b, c共面，如果a, b共线，由定理1.1,结论 成立.如果a, b不共线，由定理1.2，结论成立.推论2 三向量a, b, c共面的充分必要条件是：存在不全为零的实数入1, b 也使入 1a + ?2b+ ?sc= o.向量的共线与共面统称为线性相关.一般地，如果存在不全为零的实数入 1, d，心使入少+滋2+ has=o,则称向量a 1, a 2

13、,，as线性相关，否则称为 线性无关.不难得到一组向量线性相关的充分必要条件是：其中一个向量可以被其余向量线性表出请读者试着证明（参考图 3 ）：定理1.3三维空间任意向量可以被三个不共面的向量线性表出，并且表示方法是唯一的.推论三维空间任意四个或更多向量线性相关第二节 向量的坐标空间直角坐标系在空间选定一点0作为坐标原点，以0点为起点做三条相 互垂直的数轴，分别为 Ox轴、Oy轴、Oz轴（简称x轴，y轴, z轴），就构成一个空间直角坐标系，记这个坐标系为0; x, y,z.让这三条轴的排列顺序依照 右手法则，即令右手拇指竖起指 向Oz轴的正向，其余四指伸开指向 Ox轴正向，然后旋转弯曲-2指

14、向Oy轴正向.（也可以令右手的拇指、食指、中指相互垂直，它们依次指向Ox轴、Oy轴、Oz轴的正向），这个坐标系称为 右手系.坐标系中的每两条轴确定一个平面，分别称为XOY坐标面、YOZ坐标面、XOZ坐标面.P是空间一点，过 P点分别做与 Ox轴、Oy轴、 Oz轴垂直的平面，每个平面与坐标轴有一个交点，与Ox轴的交点对应实数 a、与Oy轴的交点对应实数b、与Oz轴的交点对应实数 c,则三元有序数组（a, b, c）称为P点的坐标（见 图6）.空间每一个点都对应一组坐标，不同点的坐标不相同.反之，任给一个三元有序数组（a, b, c）,在Ox轴上选定实数a所对应的点，在 Oy轴上选定实数b所对应的

15、点，在 Oz 轴上选定实数 c所对应的点，分别过这三个点做与Ox轴、Oy轴、Oz轴垂直的平面，这三个平面两两垂直，因此，有唯一一个交点，三元有序数组（a, b, c）就是这个交点的坐标.不同的三元有序数组对应的交点也不相同.所以，在空间建立一个直角坐标系后，空间的点与它的坐标即三元有序数组（a, b, c）之间存在一一对应关系.今后我们经常记坐标为（a, b, c）的点 P 为 P（a, b, c）.向量的坐标r是个向量，在空间建立直角坐标系O; x, y, z，将r的起点放到坐标原点O,设r的终点为P,即r= OP，若P点坐标为（a, b, c）,则定义三元有序数组（a, b, c）为向量r

16、的坐标，记作r=（a, b, c）.（注意：向量OP的坐标与点P的坐标表示方法不同，分别为：点 P(a, b, c)与向量 OP=(a, b, c).)以上是用通常的方法定义向量的坐标.为了进一步研究向量,义向量的坐标.F面用单位向量的观点定Az 图7以空间一点 O为起点，做三个相互垂直（两两垂直）的单 位向量i, j, k，这三个向量的顺序符合右手法则，即构成一个 空间直角坐标系，记作O; i, j,町，（图7）. i, j, k 称为这个坐标系的 基向量组，也叫坐标基架，简称基.由于它们相互垂直并且都是单位向量，所以 称为标准正交基.将向量r分解为三个向量 0A, OB , 0C之和，r=

17、 OA+OB+OC其中OA, OB , OC分别与i, j, k共线，由上一节定理1.3，这个分解式是唯一的.而由 上一节定理1.1，存在唯一一个三元有序数组 (a, b, c),使OA=ai, OB =bj, OC =ck即r=a i+bj+ck(1)三元有序数组(a, b, c)称为向量r的坐标，记作r=(a, b, c)(2)(1)式称为向量r的分量表达式，(2)式称为向量r的坐标表达式，其中a、b、c分别称为向量r的第一、第二、第三 分量.对照图6、图7,显然对于同一个向量，两种定义是一致的.而采用第二种定义，下面我们将看到，等式r=(a, b, c)=ai+bj+ck(3)有着非常重

18、要的作用.(注：点的坐标与坐标系的原点有关，而自由向量的坐标与坐标系的原点无关.事实上，用上述方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点，今后我们经常记坐标系O; i, j, k为i, j, k).例 1 i= (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k= (0, 0, 1)； o = (0, 0, 0).三、用坐标进行向量运算向量加法：设a的坐标为(a1,a2,a3),b的坐标为(g,b?,b3),贝Ua = (a1, a2, a3)= a1i+a2j+a3k； b= (b1, b2 , b3)= b1i+ b2 j +b3ka + b=(a1i+a2j +a3k)+(b1i

19、+b2 j +b3k)=(a1 + b1)i+(a2+b2)j +(a3+b3)k 由()式，(a1+m , a2+b2 , a3+b3)就是 a + b 的坐标.数乘向量： 扫=Xa1i+a2j+a3k)= pi+扫2 j + &k ；(七1 , &, 还)就是 扫的坐标.因此，a + b= (a1 ,a2 ,a3)+ (S ,b2 ,b3)=(a 什3 ,a2+b2 ,a3+b3) ；(4)扫=入(a1 ,a2 ,a3)=( &,砂,总3)(5)向量的模(长度)：r=(a , b , c),将向量r的起点放在坐标原点 O ,设终点为P ,则r= OP ,由图7 ,

20、r的模|r|就是P点到原点的距离.因为线段OP是以OA , OB , OC为三条棱的长方 体的体对角线，所以|r|= a2 b2 c2(6)例2 A点坐标为(a1 , a2 , a3), B点坐标为(B , b2 , b3),求向量AB的坐标解：因为 OA+ AB = OB,即 AB = OB -OA ,而OB = ( b1 ,b2,b3), OA=( a1, a2,a3)所以，AB = (bi,b2,b3)-( a1 ,a2,a3)= ( b1 ai , b22, b333)因为向量Ab的模等于A, B两点之间的距离，由此得到空间两点A (ai, 32, a3)、B(bi, b2，b3)之间

21、的距离公式：d (A， B)= J(bi - ai )(b2 - a2 ) (b3 1 a3 )( 7)四、向量的方向角与方向余弦首先定义两向量之间的 夹角：设a、b都是非零向量，将 a、b的起点放在一起，将a、b看成两条边，就形成两个角，规定其中不超过n的那个角为向量a、b之间的夹角记作<a, b>.显然Ow < a, b><兀将向量r的起点放在空间直角坐标系的原点，用角a 3, 丫分别表示r与x轴，y轴，z轴的夹角.即a=<r, i> 3=<r, j > Y=<r, k>，数组(a, 3, Y称为向量r的方向角.零向量不确定

22、方向，因此零向量没有方向角.任何非零向量都有唯一一组方向角.用向量的方向角可以表示向量的方向，但是，任意三个角不一定构成一组方向角，构成一组方向角的三个角之间应该满足的数量关系也不是很明显的，所以用方向角表示向量的方向不很方便.向量的方向通常用方向余弦表示.如果向量勺，称(cos a, COS 3,cos Y为r的方向余弦，其中a , 3, 丫是向量r的方向角.由于当0 w xw n时，余弦函数COS X单调，所以方向角与方向余弦'对应.如果r= (xXyz-；cos 3=-,cos y-rrrcos a=y=|r|cos 3 z=|r|cos y,y , z),显然有(8)或不难看出

23、,x=|r |cos a,(8 '2 2cos a+cos 3+cos Y=1(9)这也是一组数构成一个向量的方向余弦的充分必要条件.如果将一个向量的方向余弦也看作是一个向量，显然它是与这个向量方向一致的一个单位向量.如果ro ,用r0表示与r方向致的单位向量：0 1r = r.(10)r一个向量可以用其模与方向余弦表示为：r=|r| (cos a , cos 3 , cos Y .(11)或r=|r|r0(11'例3求与三个坐标轴夹角相等的方向角.解：设此方向角为(a, 3 Y ,因为a= 3= Y COS2 a+COS2 3+COS2y1解得cosa=cos 3=cos y

24、 二满足这一条件的角有两个，即(arccos1.3，1arccos 3arccos),(arccos约 0.3 n),(arccos ",3arccosarccos1(arccos，约 0.8 n J3第二节 向量的内积、内积的定义在物理学中一个质点在力F （矢量）的作用下经过位移s （矢量）所做的功 w （标量）等于这个力在位移方向上的分力乘以位移的距离 w可以用F与s的运算表示为w=| F | s| cos<F, s>定义1.1向量a、b的模| a|、| b|以及a、b之间夹角余弦的乘积称为向量a与b的内积.记作a b （读作"a点b”，内积亦称点积）.即a

25、 b=| a| b| cos<a, b>向量的内积是个数量，是用两个向量运算出的一个数量(1)、内积的性质由内积的定义可以直接看出向量的内积满足交换率1、a b=b a这一性质称为向量的内积具有对称性.2、a （b+ c）=a b+ a c证明：图8中的两个平面都与向量a所在直线垂直，终点即c的起点在平面1 上, c的终点在平面2上，因此 的终点也在平面 2 上.两条虚线分别在两个平面上，所以都 与a所在直线垂直.因此可以看出：| b+c| cos<a, b+c>=| AC|;| b| cos<a,b>=| AB| c| cos<a, c>=|

26、BC| .所以，| b+c| cos<a, b+c>=| b| cos<a, b>+| c| cos<a, c> b的 b+c由此得到向量的内积与加法满足分配律 ？(注：内积运算优先于加法运算，所以( 加括号)3、( ?a) b=入(a b) = a (血)式称为准结合律.我们只证明前一个等式，(扫) b=| 扫|b|cos< 扫,3）式右端没有由定义 当入0时, 所以 当X0时， 所以由交换律即可得到第二个等式:b> ；內 FIZai,|扫|=开a|, < Za, b>=<a, b>.(扫) b=| 扫|b|cos<

27、; 扫,b>= Za|b|cos<a, b>= Z (a b); |?a|=-入|a|, <扫，b>=n-a,b>,cos<a,b>=- cos<a,b>.(扫) b=| Z |b|cos< 扫,b>=-入|a |b| (- cos< a, b>) = Z a - b). ?注意上式等号左边 扫是数量与向量的数乘运算，入（a b）是数量 入与数量a b的普通乘法.性质2、3合称为向量的内积具有 线性性.4、a a > 0;当且仅当a=o时，a a=0（称为向量的内积具有 正定性）今后我们记 a a为a2.

28、当a、b中有一个是零向量时，显然 a b=0.因为零向量不确定方向，可以认为零向量 垂直于任意向量.从向量内积的定义可以看出，定理1.4 a b=0的充分必要条件是 a丄b.设r=(a, b, c)=ai+bj+ckr i=(ai+bj+ck) i=a;或r i=|r|cos<r, i>=a;r j=(ai+bj+ck) j = b;或r j=|r|cos<r, j>=b;r k=(ai+bj+ck) k=c.或r k=|r|cos<r, k>=c.向量的坐标就是这个向量与基向量组的内积.从右边三个式子也可以看出用向量方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐

29、标原点，用基本单位向量组i, j, k就可以建立坐标系.因为空间任意向量都可以被三个不共面的向量唯一分解，即使i, j, k不相互垂直，只要它们不共面，就可以作为坐标系的基来建立坐标系.这种不需要基本单位向量相互垂直的坐标系称为仿射坐标系.三、用坐标计算向量的内积设a的坐标为(ai, a2, a3), b的坐标为(bi, b?, b3),即 a= (ai, a2, a3)=aii+a2j+a3k, b= (bi, b2, b3) = bii+ b2j+b3k a b= (aii+a2j+a3k) (bii+b2j+b3k) =aibi+a2b2+a3b，所以3(5)a b= ' ai

30、bii A例1用内积表示向量的模与两个向量之间的夹角由内积定义得到：|a|= a 2 =此处a2表示a a.如果a、b都不是零向量，则cos< a, b>=3x -2aii d3、bi2i=i零向量不确定方向，因而也不存在与其它向量的夹角由|cos< a ,b>|w i，得到一个代数中很重要的不等式,等号成立的充分必要条件是3r aibil wi壬ai, a2, a3与bi, b2, b3成比例，在几何中就是a /b.这个不等式可以推广到n项.例2 设 c=a b,贝U c c= (a b) (a b) = a a+ b b 2a b图9ABC即Ch a |2+|b|2

31、 2| a |b| cos< a, b>.图 9 中，a =CB , b=CA , c= AB , |a|=|CB|=a, |b|=|CA|=b, C|=|AB|=c.以上等式就是余弦定理：c2=a2+b22abcosZ C例3证明平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和(广 义勾股定理).如图10, AC与BD是平行四边形 ABCD的对角线.AC = AB BC ； BD=BC CD ； CD = - AB22图 10AC BD = (AB BC)2 + (BC CD)2 = (AB BC)2 +(BC - AB)22 2 2 22 2=AB BC 2AB?BC+ AB BC -

32、2AB?BC=2 ( AB BC )即| AC|2 |BD|2 = |AB|2 |BC|2 + |CD|2| AD |2第四节三维空间的平面与直线、平面及其方程经过空间一点可以且只能做一个平面与已知直线垂直.设n是一个非零向量，如果它与平面n垂直，则称n为n的法向量.给定平面n上一个定点M。与n的法向量n,这个平面就完全确定了.下面讨论在空间直角坐标系O;x,y,z下过定点Mo(Xo,yo,z°),以非零向量n = (a, b, c)为法向量的平面方程(见图 11).(1)设M (x, y, z)为空间一动点，M点在n上的充分必要条件是：向量 M0M与n垂直，而两向量垂直的充分必要条

33、件是内积为0，即n M 0M =0.将n与M0M的坐标代入,得到a(x -c°)+b(y 丁0)+ c(z 0)=0称为平面的点法式方程任何平面上都存在点，都有法向量，所以，任何平面的方程都是一次方程，今后我们称次方程为线性方程.那么，是否任何一个线性方程都表示一个平面呢？三个变量的线性方 程的一般形式为ax+by+cz+d=0其中a, b, c不全为0.这个方程显然一定有解.设(X。，y°,勺)是方程(2)的一组解，贝Uax0+by0+cz0+d=0(3)式减式，得到 a(x-<o)+b(y -0)+c(zo)=O这是一个经过点(xo, yo,勾)，以n=(a, b

34、, c)为法向量的平面方程方程(2)称为平面的一般方程.综上所述，任何平面的方程都是线 性方程，任何线性方程都表示平面例1方程x+2y -5z+3=0表示一个平面，(1 , 2, -5)是它的一个法向量.将它化为点法式 方程：解：(0,1,1)是方程的一组解，所以这个平面的点法式方程为：x+2(y-1) -5(z-)=0例2方程x+2y-5z=0表示一个平面，(1, 2, -5)是它的一个法向量，方程常数项为 0,故(0 , 0, 0)是方程的解，这个平面经过坐标原点例3方程x+2y-仁0表示一个平面，n =(1 , 2, 0)是它的 一个法向量，因为n垂直于z轴，所以这个平面平行于 z轴.注

35、 意方程x+2y - 1=0在平面直角坐标系中表示一条直线，而在空 间直角坐标系中表示一个平面，它可以看作是XOY平面上的直线x+2y- 1=0沿着平行于z轴方向延伸而成.(见图12)例4 求经过点(1 , 2, 3),法向量平行于y轴的平面方程.解：j=(0 , 1, 0)平行于y轴，取j为这个平面的法向量.所求平面方程为y - 2=0,或写作y=2 .这个平面垂直于y轴.例5求经过点(1, 2,- 3)与x轴的平面方程解：经过点(1 , 2, -3)的平面方程为a(x- 1)+b(y- 2)+c(z+3)=0因为x轴在平面上，所以它的法向量垂直于i, (a, b, c)与i= (1, 0,

36、 0)的内积为0,得到a=0 .由于平面经过x轴，所以坐标原点在平面上，将(0, 0, 0)代入b(y - 2)+c(z+3)=0得到取c=2, b=3.所求方程为-2b+3c=03(y- 2)+2(z+3)=0、平面与平面的位置关系比、n2是空间两个平面，它们的方程分别为 a1X+b1y+C1Z+d1=0;a2x+b2y+ C2Z+d2=0m=(a1,b1,cj,n2=( a2,b?,c?)分别为巧、n2的法向量.两个平面之间的位置关系可以通过它们的法向量之间关系反映出来当n 1 n 2时，显然有 口1口2.根据向量共线的充分必要条件，因为 m、n 2都不是零向 量，所以存在 入旳，使n 1

37、=冶2.若同时d1=壮，则两平面重合.若d1?d2，则两平面平行 而不重合，此时两平面没有公共点，与此相对应的是方程组a1X+b1y+C1Z+d1=0 a2x+b2y+C2Z+d2=0(4)无解.(两个方程不相容).若n 1、n 2不共线，即(a1, 3, C1)与(a2, b2, C2)不成比例， 则两平面相交，它们的公共部分是一条直线，方程组(4)有无穷多组解.两平面之间的夹角(平面角)：当0 w < n 1, n 2> w 时就是n 1与n 2的夹角< n 1,23Tn 2>，当 < < n 1, n 2>w二时是二-< n i, n 2&

38、gt; .所以两平面之间的夹角2<ni, n2>=arccosE “21ni n2例6求过点P (xo, yo,勺)且与平面ax+by+cz+d=O平行的平面方程.解：过一点与一已知平面平行的平面是唯一确定的.因为所求平面与平面ax+by+cz+d=o平行，所以，可以取 n = ( a, b, c)为它的法向量，所求平面方程为a(xo)+b(y-yo)+ c(zo)=0例7求过点P (i, 3, -2)且与平面2x-+3z-=0和x+2y+2zZ=0都垂直的平面方程. 解：当两个平面不平行时，过一点且与这两个平面都垂直的平面是唯一确定的n = (a, b, c),由 n 与设所求平

39、面 n的方程为a(x-)+b(y£)+ c(z+2)=o，其法向量是两个平面都垂直可知，n±( 2, -i, 3), n丄(i, 2, 2)，即2a- b+3c=0a+2b+2c=08(x-1)+(y£)-5(z+2)=0按照以上方法求解平解此方程组，取其一组解 a=8, b=1,c=-5.所求平面n的方程为请读者考虑：若两个已知平面平行，此时所给条件不能确定平面,面方程会遇到什么问题？三、空间直线及其方程平面口、n?的方程分别为a1X+b1y+C1Z+d1=O;n i= ( ai, bi, ci)与 n 2= (a2, b2, c2) 两平面的公共部分是一条直线

40、，所以方程组a2x+b2y+c2z+d2=o分别为ni、口2的法向量当n i、n 2不共线时,aix+biy+ciz+di=O(6)a2X+b2y+C2Z+d2=0(ai, bi, ci与a2, b2,勺不成比例)表示一条直线，称为直线的一般方程.Mo (Xo, yo, Zo)是空间一定点， r= 的直线是唯一确定的，下面推导它的方程：过Mo做一条直线I与r平行，M (x, y, z) 是空间一动点.M点在直线(m, n,P)是个非零向量，经过Mo且平行于rl上的充分必要条件Mo是：向量M0Mr.因为r不是零向量，根据向图13量共线的充分必要条件，存在入，使M 0M =廿即(x- xo, y-

41、yo, z-zo)=入(m,令入取遍全体实数，得到动点M的轨迹就是直线I.将这个向量方程展开，得到x=xo+ 加y=yo+ 冶 z=zo+ Ap称为直线的参数方程参看图13.它的向量形式是(x, y, z) = (xo, 请读者根据图i3中的虚线给出向量解释.将直线的参数方程改写为yo, z) + 入(m, n, p).(8)X -Xo(9)称为直线的点向式方程 或对称式方程 或标准方程注意当分母中含有 0时,例如m=0,而n, p均不为0时，这个式子表示X=Xoy y。Z-Zo直线与直线的夹角直线Ii与I2的方程分别为y 一 yiX -x2y 一 y2z - Z2miniPim2n2P2Ii

42、与I2的夹角(o)2的夹角或其补角所以：就是它们方向向量(mi,ni, Pi)与 r2= (m2,n2, P2)之间直线与平面的夹角cos<li, l2>=l cos< ri, r2>|设直线I的方程为平面n的方程为直线的方向向量 r= (m,ri Ir2(io)n,x Xo y-yo z-zopax+by+cz+d=o,.p)与平面的法向量 n = (a, b, c)ji之间夹角为<r, n >，直线与平面的夹角就是|一-< r, n>|，所以2sin<l, n>=|cos<r, n>| =r nr|n例8将下列直线I的

43、一般方程化为对称式方程与参数方程(I)2x +3z -=oX+2y+2z -4=oI，因为I同时在解：直线I的一般方程是用两个平面方程联立来表示两个平面的交线 两个平面上，所以与两个平面的法向量都垂直设直线I的方向向量为r = ( m, n, p),方程组2m-n+3p=0m+2n+2p=0的解即为直线I的方向向量.取方程组的一组非零解r=(8 ,1,-5). 再求出直线I上的任意一个点：取方程组(I)的一组解(-2, 1, 2),得到直线I的对称式方程为x 2 y -1 z -28一 5参数方程为x=-2+8 入y=1+ 入z=2-5 入参数方程的向量形式为(x, y, z)=(-2, 1,

44、 2)+ A(8, 1, -5)例9求过点(xo, yo, %)与平面ax+by+cz+d=O垂直的直线方程以及垂足坐标.解：设所求直线 I的方程为 _=z .因为|与平面 ax+ by+cz+d=0垂mnp直，所以I的方向向量与平面的法向量平行，所求直线I的方程为x _ X。_ y _ y° _ z _ z°a b c将直线方程与平面方程联立，即可求出交点即垂足的坐标(注意直线的对称式方程实际上是两个方程联立).例10M°(xo, yo, z°)是空间一点，平面n的方程为ax+ by+cz+d=0.求点Mo到平面n的距离.解:这个问题可以利用例 9的方

45、法求出垂足坐标，然后求出两点距离即点到平面距离但是这个方法比较麻烦，下面我们探讨用其它方法求解参看图14,在平面n上任取一点M1，设其坐标为(X1, y1, Z1),做向量M1Mo=(xo-X1, yo-y1, zo-z”则Mo到n的距离就等于 MNo的模乘以M1Mo与n的法向量n =(a, b, c)的余弦的绝对值，即：d(Mo, n)=| M1M o |cos< M1Mo , n>|其中d(Mo,得到n)表示Mo到n的距离.禾U用向量的内积,d(Mo,n)=将M1M o与n的坐标代入，得到M1M o nn图15d(Mo,n)=1a2 b2 c2a(xo xj b(y°

46、 yj a(z° -zjn的一般方程 ax+by+cz+d=0可以写注意到(Xi, yi, Zi)为平面上一点 Mi的坐标，所以,成点法式方程 a(x-<i)+b(y-i)+ c(zi)=O .因此，a(xo _xj b(yo _yj a(zg - Zi) = ax° byo czo d方程(ax by cz d)=0 a2 b2 c2(12)是以单位向量(a,b'c)-为法向量的平面方程，称为平面的法式方程.a2b2c2.点Mo到平面n的距离就是将点的坐标代入平面的法式方程的左边，然后取绝对值d(Mo, n)=ax0 by0 CZ) da2 b2 c2过空间

47、一点P向一个平面 n引垂线，垂足称为点 P在这个平面上的投影, 投影面.一条曲线上各点在一个平面上的投影所形成的曲线称为这条曲线在这个平面 影.一条直线I在一个平面 n上的投影是一条直线.例11求直线I在平面n上的投影.其中I和n的方程分别为：(13)平面 n称为 上的投x+y -=0x-y+z+1=0与x+y+z=0直线I在平面n上的投影是过直线I做一个与投影面与n的交线.因此，只要求出 m的方程与n联立即可.方法一、设m的方程为ax+by+cz+d=0(l)(n)n垂直的平面巧(称为投影平面)n的法向量与I的3).将此三个条件因为 巧过直线I，所以直线I上任意一点满足 口的方程(1),并且

48、方向向量垂直(2).又 巧与n垂直，所以 巧与n的法向量相互垂直( 联立即可求出a、b、c、d之间的关系，从而求出比的方程.但是此题直线用一般方程给出，所以上述方法比较麻烦，要求解两个方程组.下面我们利用平面束方程求解.是直线的一般方程，方程(l)aix+biy+ciz+di=0a2X+b2y+C2Z+d2=0入(aix+biy+ciz+di)+ ?2(a2X+b2y+C2Z+d2)=0 表示一个平面，显然满足直线方程(I)的点都满足此方程，所以，此方程代表所有经过I的平面，称为过I的平面束方程.设 n1 的方程为x+y -+ Xx -y+z+1)=0即(1+ Xx+(1 - X+(入-)z+

49、 入-=0(这个平面束方程中不包括后一个平面x-y+z+1=0 ,由于这个平面显然不是所求平面旺，这个假设是合理的).因为 口丄口，所以1(1+力+1(1 - )X1(入-)=0解得-1 .所求投影方程为四、直线之间的位置关系x+y+z=O y -=0直线与直线之间的关系有：重合、平行而不重合、相交、异面前三种均为共面设直线11与12的方程分别为miy -yiniz -乙Pix -卷m2y 一 y2 z - Z2ri=（mi， ni, pi）、r2=（m2，门2，P2） 分别为li与12的方向向量M i(xi， yi， Zi)、M2(X2,y2，Z2）分别为li与12上的点作向量MiM2两条直

50、线共面的充分必要条件是三向量共面两条直线平行即ri/r2，其充分必要条件是（mi, ni, pi）与（m2, n?, P2）成比例.考察向量方程入 ri + hr 2= M iM 21、如果ri/r2且方程有解，则两直线重合；2、如果rir2且方程无解，则两直线平行而不重合;3、如果ri、r2不共线且方程有解，则两直线相交；4、如果ri、r2不共线且方程无解，则两直线异面；五、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线与平面相交；直线在平面上；直线在平面外 设直线I的参数方程为平面n的方程为x=xo+ Amy=yo+ Anz=zo+ Apax+ by+cz+d=O(I)(n)将（I）代入

51、（n）: a（x°+ hm）+b（yo+ A）+c（zo+初+d=0.得到一个关于 入的方程(am+bn+cp) A(axo+byo+czo+d)=O直线与平面相交：方程（ 直线在平面上：方程（ 直线在平面外：方程（请读者分析 am+bn+cp丰0；1、2、3、A有唯一解,A无穷多解，A无解， am+b n+cp=O ；(A)即：am+bn+cpz0；即：am + bn+cp=0 ,并且 axo+byo+cz0+d=O ； 即：am+bn+cp=0,并且 ax0+by0+cz0+d 0. ax°+by0+cz0+d=0 ； ax0+by0+cz0+d 丰0分别代表什么，可以

52、看出这三个条件的几何意义如果直线方程以一般方程给出，直线与平面的位置关系应该如何讨论?第五节坐标变换、坐标系的平移将空间直角坐标系O; i, j, k（为方便计暂且称其为“旧”坐标系）平行移动到新的坐标原点O' （X0, y。，z），得到直角坐标系O' i, j, k（暂称为“新”坐标系），i, j, k为坐标轴上的单位向量，即一个标准正交基.P是空间一点，k1k "； PP点在旧坐标系和新坐标系下的坐标分别为（x, y,乙）与（x',y', z').做向量 OP ,'-j图18iOP=OO' + O'P(1)OP =x

53、i+yj +zk, OO' = xoi+yoj+z0k,O' P =x'i+y'j+z'k(2)将（2）式代入（1 ）式，比较系数，由于i, j, k是一组基，而向量在基下的分解是唯一的，得到坐标平移公式：x=x'+ X0y=y'+ y 0( 3)z=z'+ Zo请读者考虑：向量的坐标在坐标系的平移下有无变化、坐标系的旋转变换将空间直角坐标系 O; i, j,町（“旧”坐标系）绕坐标原点旋转为直角坐标系0; i'.k与i', j',k'分别为新旧坐标系的标准正交基.它们之间j'，k'

54、（“新”坐标系），i, j, 的夹角余弦如下表：i'j'k'iCOS aicos acos ajcos 3cos 3cos 3kcos Ycos ycosy显然，新坐标系的基向量组在旧坐标系下的坐标为(4)i'= ( cos al, cos 31, COSy), j'= (cos a, cos 3, cosy), k'= (cos a, cos 3, cosy)P是空间一点，P点在坐标系0; i, j, k下的坐标为（x, y, z）,在坐标系0; i', j', k' 下的坐标为（x', y', z'）.因此，向量(5)OP =xi+yj+zk= x' i'+ y'j'+z'k',将（4）式代入（5）式右边，重新集项，由于i, j, k是坐标系的基向量组，任何向量在一组基下的分解式是唯一的，所以等式两边i, j, k的系数相等，得到坐标变换公式x=x'cos ai+y'cos a+z'cos ay=x'cos 3+y'cos 3+z'cos3（6）z=x'cos