二次函数知识树

1、人教版人教版九年级数学下册九年级数学下册滕守林滕守林 青龙山中学二次函数二次函数教材地位和作教材地位和作用用教材地位和作用教材地位和作用是某些变化量是某些变化量最优化问题的最优化问题的数学模型数学模型是描述现实是描述现实世界变量之世界变量之间关系的重间关系的重要数学模型要数学模型抛物线是人们抛物线是人们最熟悉的曲线最熟悉的曲线之一，在建筑之一，在建筑上有着广泛的上有着广泛的应用应用对二次函数的研对二次函数的研究将为学生进一究将为学生进一步学习函数，进步学习函数，进而体会函数的思而体会函数的思想奠定基础，积想奠定基础，积累经验累经验教材内容教材内容编排意图编排意图中考要中考要求求教学建议教学建议

2、课标要求课标要求课标要求课标要求课标要求课标要求通过对实际问通过对实际问题题情境的分析确情境的分析确定定二次函数的表二次函数的表达式，并体会达式，并体会二次二次函数的意义函数的意义会用描点法画出会用描点法画出二次函数的图象，二次函数的图象，能从图象上认识能从图象上认识二次函数的性质二次函数的性质 会根据公式确定会根据公式确定图象的顶点、开图象的顶点、开口方向和对称口方向和对称轴轴 , ,并能解决简并能解决简单的实际问题单的实际问题 会利用二次函会利用二次函数的图象求一数的图象求一元二次方程的元二次方程的近似解近似解 编编 者者的的意意图图 遵循认遵循认知知 规规律律正确处理正确处理 关系关系社

3、会社会数学数学学生学生数学课程数学课程现代技术现代技术编者的意图编者的意图 教材教材改进呈现方改进呈现方式和研究方法式和研究方法适应形势适应形势关注需要关注需要广泛联系广泛联系多学科多学科感受广泛感受广泛联系联系应用价值应用价值加深对相关内容加深对相关内容的认识和理解的认识和理解提高教学效益提高教学效益更新认识更新认识突出数突出数学化学化培养创新意识培养创新意识着眼长远发着眼长远发展展提高能力提高能力性质性质图象的图象的直观的直观的非形式化非形式化图象图象从简单从简单到复杂到复杂从特殊从特殊到一般到一般学生学生探究活动探究活动教师教师营造氛围营造氛围互动提供资源互动提供资源提高兴提高兴趣趣获得

4、知识技能获得知识技能积累经积累经验验创造空创造空间间简简单化单化章前章前图、图、引言引言节节回顾与回顾与思考思考课题课题学习学习复习题复习题激发兴趣激发兴趣导入新课导入新课知识结构图知识结构图经历研究经历研究性学习性学习体会数学体会数学的的应用价值应用价值正文正文读一读一读读问题情境问题情境 问题问题想一想想一想做一做做一做议一议议一议介绍介绍与正与正文相文相关的关的背景背景知识知识给对数学有兴给对数学有兴趣的学生以更趣的学生以更多了解数学，多了解数学，探究数学的机探究数学的机会会借助现代技借助现代技术手段，提术手段，提高教学效益高教学效益为学生提供为学生提供思维发展、思维发展、合作交流的合作

5、交流的空间空间拓广探索拓广探索综合运综合运用用课上所学内容的巩固与延伸课上所学内容的巩固与延伸供课上使供课上使用用随堂练习随堂练习复习巩复习巩固固复习全章使用复习全章使用带有带有*问题问题面向部面向部分学生分学生弹性弹性教学教学体例安排体例安排章章节节习习题题体例安排体例安排内在逻辑关系内在逻辑关系 内内在在逻逻辑辑关关系系知识纵向逻辑结构知识纵向逻辑结构对二次函数的研究经历了对二次函数的研究经历了从具体情境到一般理论到从具体情境到一般理论到实际应用的过程，实际问实际应用的过程，实际问题贯穿始终题贯穿始终知识横向联系知识横向联系注意沟通二次函数和一元注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系

6、二次方程、不等式的联系和相互转化和相互转化 ，注意，注意“数数“与与”形形”的联系的联系螺旋上升的思想螺旋上升的思想如对函数图象和性质的研究如对函数图象和性质的研究经历了从顶点式到一般式的经历了从顶点式到一般式的过程过程联系实际应用联系实际应用 将二次函数与将二次函数与“最大利润最大利润”，“最大面积最大面积”，“拱桥问题拱桥问题”等相联系，体现了数学来源等相联系，体现了数学来源于生活又服务与生活的思想于生活又服务与生活的思想y=ax2+bx+c(a.b.c为常数为常数a0)系数系数a a、b b、c c与抛物线与抛物线的位置关系的位置关系一般式一般式) 0(2akhxay顶点式顶点式看看式式

7、子子类类型型能能口口述述性性质质021axxxxay交点式交点式开口方向，增减性，开口方向，增减性，对称轴对称轴xyoxyo看看图图象象能能口口述述性性质质抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点一元二次一元二次方程的根方程的根0 0=0=0有两交点有两交点（x x1 1,0,0）( x( x2 2,0,0 ）有一交点有一交点（ ,0,0）无交点无交点有两个不等根有两个不等根X X1 1， x x2 2有两个等根有两个等根x x1 1= x= x2 2 = = 无实根无实根ab2ab20 02axy kaxy22hxaykhxay2利用抛物线求一利用抛物线求一元二次方程的近元二次方程的近似根似根

8、教材内容教材内容开口方向开口方向. . a a0.0.向上向上a a0.0.向下向下对称轴对称轴在在y y轴的轴的位置位置 左左同右异同右异 与与y y轴交点位置轴交点位置 c c0.0.在正半轴在正半轴 c=0.c=0.在原点在原点 c c0.0.在负半轴在负半轴y=ax2+bx+c(a.b.c为常数为常数a0)拱桥问题拱桥问题最优化最优化问题问题实际问题实际问题表格表格解析式解析式 二次函数二次函数定义定义表示表示方法方法图象和图象和性质性质应用应用与一元二次与一元二次方程的关系方程的关系图象图象性质性质1.1.开口方向开口方向2.2.顶点坐标顶点坐标3.3.对称轴对称轴4.4.增减性增减

9、性5.5.极值极值注意三种表示方式的联系和区别注意三种表示方式的联系和区别公式公式法法学法指导学法指导两种两种方法方法确定解确定解析式析式待定待定系数系数法法配方配方法法确定确定对称对称轴轴确定顶确定顶点点求最求最值值建立函数建立函数关系式关系式最大最大利润利润最大最大面积面积分割图形分割图形借助相似借助相似反思解反思解题策略题策略两类变换两类变换平移平移轴对称轴对称转化的转化的 思想思想分类讨论的分类讨论的思想思想函数函数的思想的思想数形结合数形结合的思想的思想确定解析式确定解析式左加右减左加右减上加下减上加下减关于谁对称谁关于谁对称谁不变另外一个不变另外一个变成相反数变成相反数（20102

10、010枣庄）枣庄）已知已知m m、n n是方程的两个实数根，是方程的两个实数根，且且m mn n，抛物线的图象经过点，抛物线的图象经过点A A（m m，0 0）、）、B B（0 0，n n）（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）设（）设（1 1）中的抛物线与）中的抛物线与x x轴的轴的另一个交点为另一个交点为C C，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D D，求求C C、D D点的坐标和点的坐标和BCDBCD的面积；的面积；（3 3）P P是线段是线段OCOC上一点，过点上一点，过点P P作作PHPHx x轴，轴，交抛物线于点交抛物线于点H H，若直线，若直线BCBC把把PCHP

11、CH分成面积分成面积相等的两部分，求相等的两部分，求P P点的坐标点的坐标yxBAOCD学学法法指指导导思维方思维方法点拨法点拨数学思想数学思想选择选择填空填空解答解答代数代数几何几何三角形三角形压轴题压轴题会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象认识二次会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象认识二次函数的性质函数的性质会用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向会用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求

12、解二次函数的最值问题和对称轴，并会求解二次函数的最值问题结合具体情境体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念结合具体情境体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念会用二次函数的图象求一元二次方程的解会用二次函数的图象求一元二次方程的解考试要求考试要求中中考考要要求求命题趋势命题趋势考试要求考试要求图象与图象与表达式表达式图象与图象图象与图象表达式与表达式与表达式表达式类比类比重视理重视理解思路解思路对解题策对解题策略反思略反思数形结合数形结合的思想的思想最优化最优化问题问题建模的思想建模的思想引导性引导性问题问题小组小组讨论讨论降低难度降低难度概念概念教学建议教学建议图象图象和性和性质质实际实际问题问题二次函数二次函数与一元二次与一元二次方程的关系方程的关系教学建议教学建议鼓励借助图象鼓励借助图象和方程解决问题和方程解决问题交点式交点式降低降低难度难度实际实际情境情境体会函数体会函数模型思想模型思想经历数学经历数学化的过程化的过程借助现代借助现代化手段化手段加深认识和理解加深认识和理