数列极限的几种求法

1、数列极限的几种求法学习并掌握这些方法，对于学摘 要 本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法. 好数学分析颇有益处.关键词 数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号O 171Several Methods of Seque nee limitAbstract : Through examples , summarized several series method for finding the limit . Learn and master these methods, mathematical analysis is quite good for studying

2、.Keywords : Sequenee limit ； Series； Definite integral ； Important limit ； Monotone bounded sequenee1 引言极限是分析数学中最基本的概念之一， 用以描述变量在一定的变化过程中的 终极状态.极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特(Democritus)是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、 逻辑、教育与文学艺术等方面.年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴 比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识.马克思、恩格斯称他为“经验 的自然科学家和希腊

3、人第一百个百科全书式的学者”.谟克里特以探求真理为最 大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位.”在 他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成， 利用这一理 论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽.公元前五世纪，希腊数学家安提丰(An tiphon)在研究化圆为方问题时创立 了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度.实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合.稍后，另一位希腊数学家

4、布里松(Bryso n)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤. 这种以直线形逼近曲边形的过程表明， 当时的 希腊数学家已经产生了初步的极限思想.公元前4世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较 为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”.穷竭法成功地运用于 面积的计算.这些都可以看作是近代极限理论的雏形.朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载.女口，中国古代的墨 经中载有“穷，或有前，不容尺也”，庄子天下中载有“一尺之棰啊，日 取其半，万世不竭” 公元3世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割

5、圆，得到圆内接6*2 n边形序列，并指出割得越细，正多边形的面 积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割.则与圆和体，面无所失矣” 其中包括了深刻的极限思想.2 基本概念定义1 若函数f的定义域为全体正正数集合 N，则称f : N R 或 fn,n N为数列.因正整数集N的元素可由小到大的顺序排列，故数列 f n也可写作或简单地记为an，其中an称为该数列的通项.定义2 设an为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n N时，不等式an a 都成立，那么就称常数a是数列an的极限，或者称数列 an收敛于a，记为liman a或 nan a n .

6、若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列.3 数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类， 其中计算数列极限有着多种多样的方 法，除了要熟练运用极限的四则运算法则， 极限和无穷小量之间的关系和初等函 数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧. 在这里，主要总结了以下 几种方法：（1）四则运算法；（2）变量替换法；（3）初等变形法；（4）利用 重要极限求数列极限；（5）单调有界数列法；（6）利用定积分求数列极限；（7） 利用两边夹定理法；（8）级数法.下面通过实例讲述数列极限的若干种求法.（1）用四则运算法则求极限定理若an与bn为收敛数列，则a需bn，anbn ，

7、an bn也都是收敛数列，且有lim a bnnlim annlim bn，nlim an bnnlim annlim bn .n例1 求 lim i n . n 1 n .n1. n2，由 1 11, nn1 1 1(2) 用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简， 点，适当引入新变量，以替换原有的变量, 化的极限过程.转化成为已知的极限，可根据极限式的特使原来较复杂的极限过程转化为更简an 1 ，an；n1,2,求(i)lim 4n 1 an ;n(ii)a2an于是可令aocos0,an，则1 cos印1 aocos.2cos, n1,2, nim4n 1 cos歹limn4n1 a

8、rccosao(ii) lim a1 a2annlimnCOS2COS 7 cos-;222nlimncos cos= cossin n2 2 2 2sin2n1nsi n艸一si n飞2nsin2 aoarccosa0(3) 运用初等变形求极限,可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单对于某些较繁的数列an的数列，然后再对之求极限.11 1例3 求极限 lim 1-2I-,1 -2n 23n解因为112211F1 4n1325n 1 n12233nn111lim121 212n23n1n 11limn2n2(4)利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为(i)sinx lim1 ；X 0 X

9、(ii)nlim 1 -enn例4 求lim 1x 02X X .2解 lim 1 x Xlim111:x X 1 x Xex 0x 0(5)利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理： 单调有界数列必有极限，其方法为： 判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ;建立数列相邻两项之间的关系 式；在关系式两端取极限，得到一个关于 A的方程，若能解出A，问题得解.求数列,，其中 a 0的极限.解设Xoa,X1a .a,Xn 1'.aXn n 0,1,2,则Xn是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A .在Xn 1 a Xn两边取极限得A a A，即 A2A a 0 .所以 A

10、1,1 4a2因为AO,所以 A +，即 nimXn(6)利用定积分求数列极限 若一个数列an是一个和式的形式,1且每一项可提出一个1或其他形式的代 n数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求 解.例6 求 lim 1 , 1 cos n n Vn2cosnncosn1 n解原式lim 一n n i 11 cosi、1 cos xdx01. cozdx2x2,2：i 2 cos dx0 2(7)利用两边夹定理求数列极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩 小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的 极限值存在

11、，且等于它们的公共值.AlZ求 lim -7n n2n22n2 n 2n n 12n n 2，又因为limnn n 12n n 2limnn n2 n2所以limn1n2 n 12n2 n 2(8)级数是用级数展开式求数列极限一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列.有时为了方便可将 数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限.1例 8 计算 lim nn2 n 1 1 n sin.nn3解 由泰勒公式知：sin x x - o x3 , x 3!令 x 1 得，n2 1 n sin1nn丄 O 1 , n3!则lim n2 1 n sin丄1为所求.nn 6总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适 当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(上册，第三版)M.北京：高等教育出版社，2006.2 黄丹妹.试论极限的计算方法数列篇J.福建：福建省侨兴轻工学.2005(07): 18