整式恒等变形一览

1、ab2abb2 a(ab)2a2 2abb22 ab2a b 22ab22亠 2 .2aba b2 a bc2 2ab2bc2cab2ab bc ca初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后， 对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的 名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所 谓的民间定理” ！【"在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同 难度要求对恒等式进行分类 【课内涉及的恒等式】(1) 平方差公式2 2a b a b a b(

2、2) 完全平方和、差公式2 2 2(a b)a 2ab b(3) 平方和与完全平方和差的关系22 2a2 b2a b 2ab(4) 完全平方和差的关系2 2a b a b 4ab(5) 三项和完全平方公式a b c 2 a2 b2(6) 两项轮换差的完全平方和(7) 十字相乘法2x p q X pq(8) 分组分解法ax by ay bx a b x y【自招中涉及的公式】(1) 立方和、差公式(a b)(a2 ab b2) a3 b3(2) 完全立方和、差公式33223(a b) a 3a b 3ab b(3) 立方和差与完全立方和差的关系333a3 b3 a b 3ab a b(a b)(

3、a2 ab b2) a3 b333223(a b) a 3a b 3ab b333a3 b3 a b 3ab a b(4) 杨辉三角1 1121133 1146411 5 10 10 5 11 6152015611 T 21 35 35 21 7 11 ft 26 56 70 5 26 A 11 9 36 84 126 126 84 36 91.55a ba5a4b10a3b210a2b35ab4 b5.55a ba5a4b10a3b210a2b35ab4 b5(5)四项和完全平方公式a b c d 2a2 b22 cd2 2ab2ac2 ad 2bc 2bd 2cd【几个比较有名的配方公式】

4、(1)a2 b2 c2 d22 2 2 2ac bd ad be ac bd ad be这是着名的菲波那切(Fibonacci , 1170-1250 )恒等式该恒等式可以推出元柯西不等式a4 b4 ab42 a2abb22(3)n1 2 n2n1 2 n22 n2n 14 ab44 cd44abcd2 a2 2 2 2 2 2 bc d2 ab cd该恒等式可以推出四元的均值不等式2(5) x x 1 x 2 x 3 1x2 3x 1该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数(6) a一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式(7) n4 4k4n2 2nk 2

5、k2 n2 2nk 2k2双二次式的因式分解， 配方法和平方差结合的典例， 类似的方法可以证明对于 切整数n 1， 4n4 1及n4 4都是合数，前者被称为哥德巴赫定理( Goldbach， 1690-1764)，后者被称为吉梅茵(Germain，1776-1831 )定理【2】.当然，4这个系数还可以改为 64、324、1024等具有形式4t4的数。【竞赛中常见的恒等式】（1）a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab be ca1 2 2 2a b c a b b c c a2一个非常有名的“民间定理”，很多的竞赛题与它有关这个恒等式有很多称号,小编还查不到不知道哪个是

6、真的 从它可以得到下面的恒等式：333222222 a b b c c aab bc ca a b b c c a3从它还可以推出三项的均值不等式（2）两项n次方差公式(I)n abnabn 1n 2,aa b n 2nabb1（ n为正整数）(n)n abnabn 1n 2aa b n 2nabb1（ n为正偶整数）（川）n abnabn 1n 2aa b abn 2 bn1（ n为正奇整数）后两个公式都源于公式（I)，都是b取b后，公式（I）分别在奇数次幂和偶数次幕条件下展现的结果所以只要记住第一个公式就可以啦！（3）a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1这个公式

7、的多元推广形式可用于求正整数n的所有正因数的和展开后的结果非常好记忆它的姊妹就稍微难一点：a1b1 c1abcabbcca abc 1(5)abcabbccaa2bab2b2cbc22c a2ca 3abcabbc caa2bab2b2c bc22 c2a ca2abc上面这两个恒等式经常一起出现，它们只差一个 abc，常被用于证明一些有关分 式的条件恒等式（7）a b b c c a ab2 bc2 ca2 a2b b2c c2a式子左边再乘以一些对称式（例如abc、a2 b2 c2 ab bc ca ）可以得到一些很漂亮的结果（8）abc abcabcabc a4 b4 c4 2a2b2

8、2b2c2 2c2a2这个公式主要用于求递推数列 Tnn n的值，对给定k, l，上式可改写为：Tn1k TnlTn1.这样可逐步递推求得Tn的值可解决例如这样的问2016题：求、2 ,3的末位数其推广形式为牛顿公式(10)6x x 1 3 x 1 3 x3 x3由这个恒等式可以证明任何整数都能表示成五个整数的立方和的形式【学生小课题级别】(1)多项和完全平方公式naii 12ai 2aiaji 1i j(2) 三项和的完全立方展开式:(3) 牛顿公式法n即用基本对称式j 1 i n表达Skxk.例如：考虑n 3时，记i 11 x y z,2 xy yz zx,3 xyz则有：S11S2122 2S313 1 23 3S41S32S23SS51S42S33S278年的上海数学竞赛中出现过这样一个条件恒等式的证明若a,b, c是实数，且满足 a b c 0，试证明：5. 552. 223. 33（）a b c a b c a b c5237.772.225.55（n） a b c a b c a b c以及求