2012年泉州市一模理科数学第20题说题稿

1、2012泉州市质检第20题说题稿2012年2月有幸参与了2012年福建省泉州市高中毕业班质量检查试题的命题工作，对理科第20题的命制感触颇深，现将这个试题的命制过程展示出来，与同行探讨。 1 题目内容（2012年泉州市质检）已知，（）.()请写出的表达式（不需证明）；()求的极小值；()设， 的最大值为，的最小值为，试求的最小值.2 题目用途本题是2012年泉州市普通高中毕业班质量检查（理科）的导数部分的解答题，是整份试题的压轴试题。本题主要考查学生对函数导数等数学基础知识、基本技能、的掌握程度，数学思想方法、数学本质的理解水平，并希望通过本题体现出整份试卷必要的区分度和难度。3 命制过程3.

2、1缘起（1）在寻找试题的命制载体时，笔者打算以对数或者指数为载体进行试题的命制；（2）借鉴于历年高考试题和各地模拟试题，试卷中函数导数试题的背景以选择、与的经四则运算后的函数居多，因为选择这样的函数载体在运算求解过程中式子较为简洁、美观，能体现出数学的简洁美，同时也有利于试题难度的控制；（3）翻阅课本时，在普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-2第18页，习题1.2A组第6题：“已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程”；在阅览杂志时，恰好学习了2011年卓越联盟自主招生试卷中的一个导数试题，其第（）步为“设，求”，于是笔者想，把函数改为能延续或类比原问题的

3、结论吗？不幸的是，改来改去总是与原问题的设计想去甚远；幸运的是，在求导一次之后，笔者再次进行了求导，于是得到了，（），作出图像之后，我们欣喜地看到了一系列有趣的曲线，它有单调性、有极值最值.于是笔者决定以此为载体进行试题的命制，试题也有了一个基本的载体和思路，即：设计第()步考查导数的求导法则和合情推理，设计第()步考查利用导数研究函数的单调性，极值、最值；设计第()步考查导数与不等式、数列等知识的交汇、交融，实现压轴。 3.2第一稿设，（）.()请写出的表达式；() 求的极小值；()在()的情况下，证明：点恒在直线的下方。在第一稿中，第()步考查复合函数的求导法则、数列、归纳推理等知识；第(

4、)步考查利用导数研究函数的极值；由第()步易得点，所以点在函数图像上，结合普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2人教A版习题1.3 B组第1题（3）：“利用函数的单调性，证明不等式”，即，因此，这里我结合了不等式的知识设计了问题的第()步：点恒在直线的下方。问题设计完后，我结合几何画板进行了验证，发现是函数图像上一群孤立的点， 与切于点，而我们只要求点，恒在直线的下方即可，因此可以考虑将直线往下移动；同时，问题()的难度显然不足以压轴，因此应考虑适当加大难度。3.3第二稿设，（）.()请写出的表达式（不需证明）；() 求的极小值；()在()的情况下，证明：（）点不可能在直线的上方；（）恒为钝

5、角三角形；在第二稿的第()步中，我们加入了“不需证明”的说明，以避免不必要的争议； 在第()步中， 笔者对直线进行了调整，使得恰在直线上，而中的其他点都在直线的下方；为了加大问题的难度，观察点列的几何特征，结合了平面几何、平面向量、不等式等知识笔者设置了“证明：恒为钝角三角形”，期望能起到压轴的作用。完成第二稿后，发现实则直线还可以再往下移动，因为（）恒不可能在直线的上方；而“证明：恒为钝角三角形”有2011高考福建卷第10题（附后）的影子，为避嫌，决定舍弃此步骤，重新构思，另起炉灶.（2011福建高考福建卷）已知函数。对于曲线上横坐标成等差数列的三个点，给出以下判断：一定是钝角三角形 可能是

6、直角三角形可能是等腰三角形 不可能是等腰三角形A B C D3.4第三稿设，（）.()请写出的表达式（不需证明）；() 求的极小值；()设， 的最大值为，的最小值为，求的最小值.在第三稿的第()步中，结合点列的几何特征，笔者决定构造另一个点列，求两个点列（当相同时）对应两点间距离的最值问题。在选择新的点列问题上，笔者考虑构造最简单常见的二次函数的最大值点作为新的点列，由第()步得：当时，取得最小值，因此笔者考虑构造一个二次函数，且当时，取得最大值，因此，这里的必须尽量使的展开式简洁、漂亮，于是笔者尝试令，则，此时恰能得到：当时，取得最小值。但是，感觉有点特殊，因此考虑把改变的最小值位置，于是把

7、的值改为，即。以上是此试题命题思路及其较有代表性的几稿，试题命制完毕后，回过来一看，虽然尚有许多不足之处，但是总体还是感觉满意，感觉试题新而不难，且能充分实现试题命制从知识交汇走向思想交融。4 解题思路第()步是送分的一步，只要有尝试解题的勇气，学生当不然根据，猜测出的表达式（）；第() 步中，要求，即求的极小值点，因此学生应该都能判断出这是一步考查利用导数判断函数极值的问题，因此必须先求出，然后分别求出和时所在的区间，最后求出取得极小值。因为时，；当时，.所以，当时，取得极小值，即（）. 这也是中等学生很容易拿到分数的一步，可能存在的主要问题是，当学生面对一个含有的函数解析式时，如何把平时练

8、习中所掌握的知识与技能迁移应用到陌生的问题情境中。第()步中，当你面对一个陌生问题而感到无从下手时，最好的办法就是从条件出发，直译条件，把条件进行化简化归，去伪存真。波利亚解题表的四个步骤，首先也是要求我们必须“理解问题”，搞清楚：已知是什么?条件是什么? 未知是什么?进而结合已有解题经验从已知的条件中导出某些有用的东西，进而转化问题、解决问题。因此要先求出的最大值为，的最小值为，采用配方法可以求出，又因为，所以，问题转化为求的最小值。下面可以采用两种方法求解的最小值，方法一（构造函数）：令，则，又在单调递增，所以，又因为，所以存在使得. 又因为在单调递增，所以当时，；当时，即在单调递增，在单

9、调递减，所以，又因为，所以当时，取得最小值. 方法二（利用数列的单调性）：因为，当时，又因为，所以，所以，所以.又因为，所以当时，取得最小值. 上述的两种方法，各有千秋。方法一通过构造函数，然后以导数为工具进行单调性的判断，最后求出最值，这很好地体现了“数列是一个特殊的函数”这一本质思想，体现了数列的函数属性，体现了函数思想在数列问题中的应用；而方法二则是通过单调性的定义判断数列的单调性，进而得到数列的最值，虽然此种方法的适用范围较为狭隘，但是妙在应用此法求解此题恰能实现简解，问题的解决源于对于式子的观察，式子中，的最小值则在的位置，而的变化却是微乎其微的，因此有理由猜测当时，取得最小值，也应

10、该能用定义证明出数列的单调性，并且应该是当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，于是，问题以“观察猜测证明”的思维方式得到了解决。解题过程充满思辨，这正是对考试大纲中“创新意识”的有力诠释。“创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强” (注：考试大纲考试说明).5 试题的功能5.1试题的考查评价

11、功能5.1.1交汇考查核心知识 本题重点考查了函数导数中的重点知识，如复合函数的导数、利用导数求解函数的单调性极值、二次函数的最值等；同时，交汇考查了合情推理、数列等核心知识点，试题的交汇自然和谐，综合程度较高，充分体现了“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”的考查要求 (注：考试大纲).5.1.2综合考查数学能力 本题有效覆盖了3个能力2个意识（考试大纲考试说明要求5个能力2个意识），如：抽象概括出函数解析式的过程考查了抽象概括能力；由归纳推理得的解析式、第()步的先猜后证的过程考查了推理论证能力；求最小值的过程考查了运算

12、求解能力；以导数为工具性求的极小值点考查了应用意识；第()步解法一构造函数、解法二利用数列的单调性创造性解题考查了创新意识。同时，也考查了6种数学思想方法（考试说明要求7种数学思想方法），如：求函数、的最值中，实际上是研究函数、的图像，考查了数形结合思想，以数释形的同时也应以形助数；解题中的每一个步骤都体现了化归与转化思想的数学思想；用导数求的最值、利用配方法求的最值、以及求的最小值的过程中渗透着函数的零点定理都考查了函数与方程思想；从，到的推理过程渗透着特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与或然思想。 从本题所考查的数学能力与数学思想方法，可以看出本题的命制严格遵循“数学科的考试，按照考查基

13、础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养”这一命题原则(注：考试大纲).5.2试题的教学导向功能5.2.1试题的适标性在上述试题的“考查评价功能”中我们能清楚地看出，本题的设计是切合考试大纲与考试说明的有相关要求的。同时，在探索求解的过程中也充分落实了课程的基本理念之“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”、“注重提高学生的数学思维能力”。5.2.2教学的导向性（1）本题命制的最初想法以及第一、二稿的思路都是来源源于课本的例、习题，考查的是常规问题、常见思路、常用方法，高考命题亦如是，这提醒我们中学数学教学必需合理应用教材，

14、以“纲”为纲，以“本”为本，克服题海战术； （2）本题命制时充分考虑了数学知识与数学能力并重的命题思路，这将引导我们将数学教学的重点放在最有价值的常规训练中，促使教学立足于学生的素质教育；（3）本题的命制以合情推理开始，渗透探究意识至始至终，考查了学生观察、分析、猜想、归纳思维能力。引导我们从教与学这两个方面对学生探究能力和创新精神的培养，引导教学由结果教育向过程教育的转变。 （4）本题体现对数学文字语言、符号语言、图形语言的识别、理解和转化能力的考查，引导中学数学教学重视数学语言的教学，重视对学生利用数学语言进行思维和交流的能力的培养。6 试题的主要亮点（1）知识、能力的考查从交汇

15、走向交融本题综合考查了函数、导数、合情推理、数列等数学知识；考查了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识、创新意识等数学能力；考查了数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与或然思想等数学思想；全面检测了学生的数学素养。且众多知识、能力交叉渗透考查，问题的设置不见拼接痕迹，从交汇走向了交融，问题浑然天成。（2）问题设置新而不难且区分度明显鉴于2011年高考福建省数学试卷难度整体偏易，以及对2012年高考福建数学试卷难度的期望，为使考试“具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度” (注：考试大纲)，我们必须设置合理难度压轴试题以把握全局，而我们认为有效的压轴题不应让所有学生都望而却步，因此这里笔者设计了环环相扣、层层递进且梯度分明的三个问题，以控制试题的难度，体现试题的区分度。第()问难度为“易”，知