2012年高考数学真题——江苏卷（教师版含解析）有附加题

1、淘宝网·营丘书社 地址：2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题数学12012·江苏卷 已知集合A1,2,4，B2,4,6，则AB_.11,2,4,6解析 考查集合之间的运算解题的突破口为直接运用并集定义即可由条件得AB1,2,4,622012·江苏卷 某学校高一高二高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生215解析 本题考查简单随机抽样中的分层抽样解题突破口为直接运用分层抽样的定义即可由题意可得高二年级应该抽取学生50×15(名)32012·江

2、苏卷 设a，b，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_38解析 本题考查复数的四则运算解题突破口为将所给等式右边的分子分母同时乘以分母的共轭复数即可因为53i，所以a5，b3.42012·江苏卷 图11是一个算法流程图，则输出的k的值是_图1145解析 本题为对循环结构的流程图的含义的考查解题突破口为从循环终止条件入手，再一一代入即可将k1,2,3，分别代入可得k5.52012·江苏卷 函数f(x)的定义域为_5(0，解析 本题考查函数定义域的求解解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件由解得0<x.62012·江苏卷 现有10个数，它们能构成一个以1为

3、首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_6.解析 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解解题突破口为等比数列通项公式的运用由通项公式an1×(3)n1得，共有516个数小于8，从而所求概率为P.72012·江苏卷 如图12，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.图1276解析 本题考查四棱锥体积的求解以及对长方体性质的运用解题突破口为寻找四棱锥的高连AC交BD于点O，因四边形ABCD为正方形，故AO为四棱锥ABB1D1D的高，从而V×2

4、5;3×6.82012·江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_82解析 本题考查双曲线离心率的求解解题突破口是明确焦点所在轴根据双曲线方程可得：m>0，所以e，解之得m2.图1392012·江苏卷 如图13，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·，则·的值是_9.解析 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为建立平面直角坐标系以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则(，0)设(x,2)，则由条件得x，得x1，从而F(1,2)，(，1)，(1，2)，

5、于是·.102012·江苏卷 设f(x)是定义在上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，b.若ff，则a3b的值为_1010解析 本题考查函数的周期性以及分段函数的函数值求解解题突破口为根据周期性将f转化为f.由条件得f，ffa1，从而a1，化简得3a2b2，又f(1)f(1)得a1，联立解之得a2，b4，从而a3b10.112012·江苏卷 设为锐角，若cos，则sin的值为_11.解析 本题考查三角函数求值问题解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系由条件得sin，从而sin，cos2×1，从而sinsin××.1

6、22012·江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_12.解析 本题考查用几何方法判定两圆的位置关系解题突破口为设出圆的圆心坐标圆C方程可化为(x4)2y21，设直线上一点坐标为(x，kx2)，因为两个圆有公共点，故2，整理得(k21)x2(84k)x160，此不等式有解的条件是(84k)264(k21)0，解之得0k，故最大值为.132012·江苏卷 已知函数f(x)x2axb(a，b)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数

7、c的值为_139解析 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系由条件得a24b0，从而f(x)2，不等式f(x)<c解集为<x<，故两式相减得3，c9.142012·江苏卷 已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则的取值范围是_14e,7解析 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元题设条件可转化为记x，y，则且目标函数为z，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形由方程组得交点坐标为C，此时zmax

8、7.又过原点作曲线yex的切线，切点为(x0，y0)，因yex，故切线斜率kex0，切线方程为yex0x，而y0ex0且y0ex0x0，解之得x01，故切线方程为yex，从而zmine，所求取值范围为e,7152012·江苏卷 在ABC中，已知·3·.(1)求证：tanB3tanA；(2)若cosC，求A的值15解：(1)证明：因为·3·，所以AB·AC·cosA3BA·BC·cosB， 即AC·cosA3BC·cosB，由正弦定理知，从而sinBcosA3sinAcosB，又因为0&

9、lt;A<，0<B<，所以cosA>0，cosB>0，所以tanB3tanA.(2)因为cosC，0<C<，所以sinC，从而tanC2，于是tan(AB)2，即tan(AB)2，亦即2，由(1)得2，解得tanA1或，因为cosA>0，故tanA1，所以A.图14162012·江苏卷 如图14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.16证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三

10、棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.172012·江苏卷 如图15，建立平面直角坐标系xOy，

11、x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由图1517解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程

12、a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(km)时，可击中目标182012·江苏卷 若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)f(f(x)c，其中c2,2，求函数yh(x)的零点个数18解：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2

13、(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x<2时，g(x)<0；当2<x<1时，g(x)>0，故2是g(x)的极值点当2<x<1或x>1时，g(x)>0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.(3)令f(x)t，则h(x)f(t)c.先讨论关于x的方程f(x)d根的情况，d2,2当|d|2时，由(2)可知，f(x)2的两个不同的根为1和2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)2的两个不同的根为1和2.当|d|<2时，因为f(1)df(2)d2d>0，f(1

14、)df(2)d2d<0，所以2，1,1,2都不是f(x)d的根由(1)知f(x)3(x1)(x1)当x(2，)时，f(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)2.此时f(x)d无实根同理，f(x)d在(，2)上无实根当x(1,2)时，f(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)d<0，f(2)d>0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,2)内有唯一实根同理，f(x)d在(2，1)内有唯一实根当x(1,1)时，f(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(1)d>0，f(1)d<0，yf(x)d的图象不间断，

15、所以f(x)d在(1,1)内有唯一实根由上可知：当|d|2时，f(x)d有两个不同的根x1，x2满足|x1|1，|x2|2；当|d|<2时，f(x)d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|<2，i3,4,5.现考虑函数yh(x)的零点(i)当|c|2时，f(t)c有两个根t1，t2满足|t1|1，|t2|2，而f(x)t1有三个不同的根，f(x)t2有两个不同的根，故yh(x)有5个零点(ii)当|c|<2时，f(t)c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|<2，i3,4,5，而f(x)ti(i3,4,5)有三个不同的根，故yh(x)有9个零点综上可知， 当|c

16、|2时，函数yh(x)有5个零点；当|c|<2时，函数yh(x)有9个零点192012·江苏卷 如图16，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2和BF1交于点P.(i)若AF1BF2，求直线AF1的斜率；(ii)求证：PF1PF2是定值图1619解：(1)由题设知a2b2c2，e.由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21.又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，

17、所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.由得(m22)y2my110，解得y1，故AF1.同理，BF2.(i)由得AF1BF2，解得m22，注意到m>0，故m.所以直线AF1的斜率为.(ii)因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，故PF1BF1.由B点在椭圆上知BF1BF22，从而PF1(2BF2)同理PF2(2AF1)因此，PF1PF2(2BF2)(2AF1)2.又由知AF1BF2，AF1

18、83;BF2，所以PF1PF22.因此，PF1PF2是定值202012·江苏卷 已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，n.(1)设bn11，n，求证：数列是等差数列；(2)设bn1·，n，且an是等比数列，求a1和b1的值20解：(1)由题设知an1，所以，从而221(n*)，所以数列是以1为公差的等差数列(2)因为an>0，bn>0，所以ab<(anbn)2，从而1<an1.(*)设等比数列an的公比为q，由an>0知q>0.下证q1.若q>1，则a1<a2，故当n>logq时，an1a1qn>，与(

19、*)矛盾；若0<q<1，则a1>a2>1，故当n>logq时，an1a1qn<1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(n*)，所以1<a1.又bn1··bn(n*)，所以bn是公比为的等比数列若a1，则>1，于是b1<b2<b3.又由a1得bn，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾所以a1，从而bn.所以a1b1.数学(附加题)212012·江苏卷 【选做题】选修41：几何证明选讲如图17，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求

20、证：EC.图17选修42：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程选修45：不等式选讲已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.21A.选修41：几何证明选讲证明：如图，连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.B选修42：矩阵与变换解：因为1，所以(1)1.因为1，所以(1)1，于是矩阵的特征多项式为f()234.令f()0，解得的特征值11，24.C选修44：坐标系与参数方程解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos.D选修45：不等式选讲证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，